中考数学三角形复习大纲后附答案.docx
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中考数学三角形复习大纲后附答案
2020年中考数学三角形复习大纲(后附答案)
●【知识回顾】
1、三角形及有关概念
(1)不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
(注意:
三条线段必须①不在一条直线上,②首尾顺次相接。
)
(2)组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边所组成的角叫做三角形的内角,简称角,相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC。
三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
2、三角形三边的不等关系
三角形的任意两边之和大于第三边.(由此可进一步推出:
三角形的任意两边之差小于第三边)
3、三角形的分类
三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形,我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
按角分类:
三角形直角三角形
斜三角形锐角三角形
钝角三角形
三边都相等的三角形叫做等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。
显然,等边三角形是特殊的等腰三角形。
按边分类:
三角形不等边三角形
等腰三角形底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
4、与三角形有关的线段:
三角形的高
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D。
(注意:
高与垂线不同,高是线段,垂线是直线。
)
请你再画出这个三角形AB、AC边上的高,看看有什么发现?
三角形的三条高相交于一点。
三角形的中线如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做
△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现?
三角形的三条中线相交于一点。
三角形的角平分线如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD=∠BAC。
(注意:
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的。
)
请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现?
三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上述结论仍然成立。
(三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点都在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形的三条高的交点是直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。
)
5、三角形的稳定性:
具有稳定性,具有不稳定性.
6、三角形内角和定理:
三角形三个内角的和等于180°
三角形内角和定理的推论:
直角三角形的两个锐角互余。
7、三角形的外角
如图,∠ACD叫做△ABC的外角。
也就是,三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角。
(注意:
每个顶点处有两个外角,它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时,通常每个顶点处取一个外角.)
三角形外角的性质:
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
三角形外角的和等于3600。
8、多边形及有关概念
在平面内,由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。
这就是说,一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形,三角形是最简单的多边形。
与三角形类似,多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.(n边形有
条对角线。
)
凸多边形和凹多边形
在图
(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;而图
(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形。
(注意:
今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.)
正多边形的概念我们知道,等边三角形、正方形的各个角都相等,各条边都相等,像这样各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
n边形的内角和等于(n一2)·180°.
n边形的外角和等于360°.
●【典型例题】
例1已知等腰三角形的两边长分别为10和6,则该三角形的周长是.
【变式1】若等腰三角形的周长为20,一边长为4,则其他两边长为.
【变式2】小明用一条长20cm的细绳围成了一个等腰三角形,他想使这个三角形的一边长是另一边长的2倍,
那么这个三角形的各边的长分别是多少?
例2 如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线BD,CE交于点O.
若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则:
∠BOC=.
【变式1】若∠A=80°,则∠BOC=.
【变式2】你能猜想出∠BOC与∠A之间的数量关系吗?
【变式3】如图,若换成两外角平分线相交于O,则∠BOC与∠A又有怎样的数量关系?
【变式4】如图,若换成一内角与一外角平分线相交于点O,则∠BOC与∠A又有怎样的数量关系?
【变式5】如图,若换成两条高相交于点O,∠A与∠BOC又有怎样的数量关系?
例3如图,在△ABC中,∠A︰∠B︰∠C=3︰4︰5,AE、BD分别是边BC、AC上的高,AE、BD相交于点H,求∠BHC的度数。
●【巩固练习】
1、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是()
A.1、2、3B.1、2、4C.2、3、4D.2、3、6
2、如果三角形的三个内角的度数比是2:
3:
4,则它是()毛
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.钝角或直角三角形
3、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;
若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.
4、在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC=.
5、如图,∠CAB的外角为120°,∠B为40°,则∠C的度数是___.
6、如图,AB∥CD,∠A=38°,∠C=80°,则∠M为()
A、52°B、42°C、10°D、40°
第5题第6题
7、若从一个多边形的一个顶点最多可以引10条对角线,则它是()
A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形
8、一个多边形的内角和与外角和的比是7∶2,则这个多边形是边形.
9、一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多边形是边形.
10、下列可能是n边形内角和的是()
A、300°B、550°C、720°D、960°
11、如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于()
A.120°B.115°C.110°D.105°
第11题第12题
12、如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
13、一个多边形的每一个内角都比相邻的外角的3倍还多20°,求这个多边形对角线的条数。
14、如图,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数。
第十二章全等三角形
●【知识回顾】
一、全等三角形的概念及其性质
1、全等三角形的定义:
能够完全的两个三角形叫做全等三角形。
(两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻折、旋转的方法.)
2、全等三角形性质:
全等三角形的对应边相等.
全等三角形的对应角相等.
如图所示,
≌
其中的对应边:
____与____,____与____,____与____,
对应角:
_____与_____,____与_____,____与_____.
3、找对应元素的常用方法有两种:
(1)从运动角度看
a.翻折法:
一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合,从而发现对应元素.
b.旋转法:
将三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
c.平移法:
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
(2)根据位置元素来推理
a.有公共边的,公共边是对应边;b.有公共角的,公共角是对应角;c.有对顶角的,对顶角是对应角;
d.两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;
e.两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角;
二、三角形全等的判定
1.定义(重合)法;
2.SSS:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”;
3.SAS:
两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等.简称“边角边”和“SAS”;
4.ASA:
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”);
5.AAS:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”);
6、直角三角形全等特有的条件(HL):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”和“HL”).
证明两个三角形全等的基本思路:
(1):
已知两边----
已知一边和它的邻角
(2):
已知一边一角---
已知一边和它的对角
(3):
已知两角---
三、角的平分线
角平分线的性质定理:
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的判定定理:
到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
四、尺规作图
尺规作图是指限定用无刻度的直尺而圓規能以一給定點為圓心,過另一個給定點畫出一個圓(當然,這兩種工具都是理想化的。
試問哪把尺子能有無限長?
)。
和圆规作为工具的作图。
例1.如图,已知
和射线
,用尺规作图法作
的角平分线OC,以及
。
(要求保留作图痕迹).
例2.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB=30°,用圆规和直尺作图,用两种方法把它分成两个三角形,且其中一个是等腰三角形.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明).
●【巩固练习】
1、如图,
≌
,BC的延长线交DA于F,交DE于G,
求
、
的度数.
2、如图,在
中,
,D、E分别为AC、AB上的点,且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证:
DE⊥AB。
3、如图,AE=CF,AD∥BC,AD=CB,求证:
已知△ADF≌△CBE。
4、如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证:
。
5、如图,梯形ABCD中,AB//CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于F。
求证:
≌
。
6、如图,在
中,AB=AC,D、E分别在BC、AC边上。
且
AD=DE,求证:
≌
.
7、如图,已知∠A=90°,AB=BD,ED⊥BC于D.求证:
AE=ED。
(提示:
构造两个三角形,证明全等)
8、如图,在
中,
,
平分
,
,那么
点到直线
的距离是cm.
9、如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于D.
(1)若∠BAC=30°,则AD与BD之间有何数量关系,说明你的理由;
(2)若AP平分∠BAC,交BD于P,求∠BPA的度数.
10、如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,BE=CF.求证:
AD是△ABC的角平分线.
第十三章轴对称
●【知识回顾】
一、基本概念
1.轴对称图形:
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做,这条直线就叫做.折叠后重合的点是对应点,叫做.
2.轴对称:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线,这条直线叫做,折叠后重合的点是对应点,叫做.(说明:
两个图形关于某条直线对称也叫两个图形成轴对称)。
3.线段的垂直平分线
经过线段点并且这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
4.等腰三角形
有的三角形,叫做等腰三角形.相等的两条边叫做,另一条边叫做,两腰所夹的角叫做,底边与腰的夹角叫做.
5.等边三角形
三条边都的三角形叫做等边三角形.
二、主要性质
1.如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的.或者说轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的.
2.线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离.
3.通过画出坐标系上的两点观察得出:
(1)点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标为P′(,).
(2)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标为P″(,).
4.等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角(简称“等边对等角”).
(2)等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的相互重合.(简称“三线合一”)
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的.
5.等边三角形的性质:
(1)等边三角形的三个内角都,并且每一个角都等于0.
(2)等边三角形是轴对称图形,共有条对称轴.
(3)等边三角形每条边上的、和该边所对内角的互相重合.
6.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的.
三、有关判定
1.与一条线段两个端点距离的点,在这条线段的垂直平分线上.
2.如果一个三角形有两个角,那么这两个角所对的边也(简写成“等角对等边”).
3.三个角都相等的是等边三角形.
4.有一个角是60°的是等边三角形.
●【巩固练习】
1.已知等腰三角形的一个内角是800,则它的另外两个内角是;
2.已知等腰三角形的一个内角是1000,则它的另外两个内角是;
3.已知等腰三角形有两边的长分别为6,3,则这个等腰三角形的周长是;
4.等腰三角形的周长是16,其中两边之差为2,则它的三边的长分别为;
5.已知等腰三角形一条腰上的高与另一腰的夹角为30°,则它的顶角度数为;
6.若一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分,则这个等腰三角形的底边长是;
7.如图,∠DEF=36°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠A。
8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N,求证:
CM=2BM.
9.如图所示,AD是△ABC的角平分线,EF是AD的垂直平分线,交BC的延长线于点F,连结AF.
求证:
∠BAF=∠ACF.
10.如图所示,F、C是线段BE上的两点,A、D分别在线段QC、RF上,AB=DE,BF=CE,∠B=∠E,
QR∥BE.求证:
△PQR是等腰三角形.
11.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点.
(1)写出点D到ΔABC三个顶点A、B、C的距离的关系(不要求证明)
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△DMN的形状,并证明你的结论
12、已知:
如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E,使CE=CD,过点D作DF⊥BE于F.
求证:
(1)BD=DE;
(2)BF=EF;(3)试猜想FC与BF间的数量关系,并说明理由.
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