初中函数专题一次函数反比例函数二次函数解读.docx
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初中函数专题一次函数反比例函数二次函数解读
初中函数专题
一次函数
1、函数
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
注意:
在整式中,自变量为全体实数;分式中满足分母不为零;开偶次方根满足被开方数是非负数;在零指数幂中,底数不为零;在实际问题中,要满足实际意义;在具体的问题中,一般要综合上述几种情况同时考虑。
函数的表示方法
2、一次函数
一次函数:
y=kx+b(k、b为常数,k≠0的形式,
则称y是x的一次函数。
(x为自变量,y为因变量
特别地,当b=0时,一次函数y=kx(常数K≠0,也叫做正比例函数
y
y
(1一次函数y=kx+b(k≠0的图象是一条直线。
(2正比例函数y=kx(k≠0的图象是经过原点(0、0的一条直线。
作一次函数图象的步骤:
(1列表;(2描点;(3连线
3、一次函数的应用
在解一次函数的应用题时,要仔细审题,根据题意列出一次函数,根据实际问题的需要确定自变量的取值范围。
画图像时,x轴与y轴的单位长度可以不同。
要懂得用函数的观点来看方程(组与不等式。
(1一元一次方程kx+b=0(k≠0的解是一次函数y=kx+b(k≠0的图象与x轴交点的横坐标,反过来,一次函数y=kx+b(k≠0的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0(k≠0的解.
(2一元一次方程kx+b=y0(y0是已知数的解,就是直线y=kx+b与y=y0交点的横坐标.
(3二元一次方程组的解与以这两个方程所对应的一次函数图象的交点坐标相对应。
精选例题
知识点【1】要使函数的解析式有意义,要结合相关的式子的性质求解,一般要根据函
数各部分有意义的要求,列出限制自变量的条件的不等式(组,利用数轴求出其解集。
例题1、求下列函数自变量的取值范围。
(1
yx=(2
yx=
(3
y(4
(0
3yx=-3
1-x
知识点【2】确定一次函数ykxb=+的图像要明确三点:
一是直线的倾斜方式,即k的
符号;二是直线在y轴上的截距,即b的值;三是直线与x轴的交点的横坐标。
同时也可以通过这三点来判断一次函数的图像。
例题1、函数1
12
yx=-
+的图像不经过(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
例题2、已知直线y=kx+b(k≠0与x轴、y轴都交于负半轴,则((Ak>0,b>0(Bk<0,b<0(Ck>0,b<0,(Dk<0,b>0
例题3、.已知正比例函数kxy=(0≠k的函数值y随x的增大而增大,则一次函kxy+=
的图象大致是(
ABCD
知识点【3】从形的角度看,解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
例题1、图中两直线L1,L2的交点坐标可以看作方程组(的解.
A.121xyxy-=⎧⎨
-=-⎩
B.
121xyxy-=-⎧⎨
-=⎩
C.321xyxy-=⎧⎨
-=⎩D.
321xyxy-=-⎧⎨
-=-⎩
例题2已知方程组230,2360yxyx-+=⎧⎨+-=⎩的解为4,31,xy⎧=⎪⎨⎪=⎩
则一次函数y=3x-3与y=-32x+3的交P的坐标是___
综合小测
1、下列函数关系式中,那些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1y=-x-4(2y=x2(3y=2πx(4y=
1x
2、下列函数中,自变量x的取值范围是x≥2的是(
Ay=x-2
B.y=21
-x
C.y=24x
D.y=
2+x·2-x
.3、已知等腰三角形的周长为20cm,则腰长y(cm与底边x(cm的函数关系式为______,其中自变量x的取值范围是______.
4、画出直线y=-2x+2的图象,并根据图象回答:
①写出直线与x轴的交点,与y轴的交点的坐标②直线与坐标轴围成的三角形的面积是多少?
③y随x增大变化情况如何?
5、某空中加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过
程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油为Q2吨,加油时间为t分钟,Q1,Q2与t之间的函数图象如图14-3-4所示,请回答下列问题.
(1加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?
将这些油全部加给运输飞机需要多少分
钟?
(2求加油过程中,运输飞机的余油量Q1(吨与时间t(分钟的函数关系式;
(3运输飞机加油后以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油是否够用?
请说明理由.
反比例函数
1、反比例函数
一般地,如果变量y和x之间函数关系可以表示成k
yx
=(k是常数,且k≠0的形式,则称y是x的反比例函数。
2反比例函数的图像与性质
反比例函数k
y=(k是常数,且k≠0的图象是双曲线,气图象与性质如下图所示:
kk精选例题
知识点【1】反比例函数需注意一下两点:
①k为常数,0k≠;②自变量x的取值范
围是0x≠的一切实数;③因变量y的取值范围是0y≠的一切实数
(0k
ykx
=
≠还可以写成1ykx-=(0k≠或xyk=(0k≠的形式。
例题1、下列的等式中,哪些是反比例函数?
(123xy=(22xy=(3yx
=-(432yx=-
(51
4yx
=+(64yx=-例题2、当m=_____时,函数(2
32mymx
-=-是反比例函数
知识点【2】能否通过观察、比较、分析和探讨,判断出反比例函数图象所在的象限由
k决定,能否由反比例函数图象的位置判断出k的符号,由k值说出反比例函数图象的位置;例题1、已知反比例函数4k
yx
-=
(1若函数的图象位于第一、三象限,则k______;(2若在每一象限内,y随x增大而增大,则k______。
例题2、.反比例函数y=-
1
x
的图象大致是(.
同步练习:
(1.函数y=
2
x
的图象是_______,当x>0时,该图象在第_______象限.(2如果反比例函数k
yx
=的图像经过点(3,4--,那么该函数的图像位于(
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
知识点【3】过双曲线上任意一点作x轴,y轴的垂线,所得的矩形的面积为k
.这就
是系数k的几何意义
例题1、如图2,在反比例函数6
(0yxx
=-
<的图象上任取一点P,过P点分别作x轴,y轴的垂线,垂足分别为MN,,那么四边形PMON的面积为.
综合小测
1、函数y=
k
x
的图象经过点A(-4,3,则k=________.2、若函数22
(21mymx-=-是反比例函数,且它的图象在第二、四象限,则m的值应该
是。
3、反比例函数的图像在每个象限内,随的增大而减小,则的值可为A.B.0C.1D.24、如图,P是反比例函数5
yx
=-
上的一点,过点P向坐标轴引垂线,垂足分别为M、N,那么四边形PMON的面积为________。
1
kyx
-=
yxk1
-
5、已知正比例函数与反比例函数的图像都过A(,1,则=,正比例函数的表达式是;
6、双曲线与直线相交于两点,如果点的坐标是,那么点的坐标为
7、设某一直角三角形的面积为18cm2,两条直角边的长分别为x(cm,y(cm.(1写出y(cm与x(cm的函数关系式;(2画出该函数的图象;
(3根据图象,求解:
①当x=4cm时,y的值;②x等于多少时,•该直角三角形是等腰直角三角形?
8、如图,已知一次函数ykxb=+的图象与反比例函数8
yx
=-的图象交于A、B两点,且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2,求(1一次函数的解析式;(2△AOB的面积。
kxy=3
yx
=mm1
kyx
=
2ykx=AB,A(12,
B
二次函数
1二次函数
一般地,形如2yaxbxc=++(a,b,c是常数,a≠0的函数,叫做二次函数。
三种表示形式:
①一般式:
2yaxbxc=++
②顶点式:
2(yaxhk=-+(其中0a≠,(h,k为顶点坐标
③交点式:
12((yaxxxx=--(其中0a≠,1x,2x为抛物线与x轴的两个
交点的横坐标
.2二次函数的图象与性质
精选例题
知识点【1】判断一个函数是否为二次函数,要看化简后的结果。
注意它的特殊形式
(2yaxbx=+;2yaxc=+和三种表示形式。
例题1、下列的函数中,哪些是二次函数?
(1231yx=+(22
1
yxx
=+
(3(1(3yxx=--
(4(1yxx=-(5y=
(62(2(2(1yxxx=+---
例题2、m取何值时,函数是221
(1(3mmymxmxm--=++-+是二次函数?
知识点【2】坐标的平移:
ab同号左平移,,ab异号右平移;
c正上移到顶点,c负下移到顶点。
例题1、已知22yx=的图象是抛物线,若抛物线不动,把x轴,y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是(.
A.22(22yx=-+
B.22(22yx=+-
C.
22(22yx=--
D.
22(22yx=++
例题2.直角坐标平面上将二次函数y=-2(x-12-2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为(
A.(0,0
B.(1,-2
C.(0,-1
D.(-2,1
知识点【3】当△>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点,交点坐标为(2ba
-;
(,0
2ba
-
当△=0时,抛物线与x轴有唯一交点,交点坐标为(,02b
a
-当△<0时,抛物线与x轴没有交点。
例题1、已知抛物线的解析式为2
2
(21yxmxmm=--+-(1求证:
此抛物线与x轴必有两个不同的交点;
(2若此抛物线与直线34yxm=-+的一个交点在y轴上,求m得值。
知识点【4】在二次函数中,抛物线与横轴的两个交点的横坐标就是函数值为零时的一
元二次方程的两个跟。
已知抛物线为2yaxbxc=++,则12bxxa+=-
;12cxxa
=例题1、已知抛物线2(132yxkxk=----与x轴交于两点A(α,0,B(β,0,且
2217αβ+=,则k=_______。
例题2、已知抛物线25(1yxmxm=+-+与x轴两交点在y轴同侧,它们的距离的平方等于
49
25
则m的值为(A、-2B、12C、24D、-2或24
综合小测1、k为何值时,函数y=(k−1x已知函数y=(m−3x已知y=(m2+mxm2−mk2+k+1为二次函数?
m2−7是二次函数,求m的值.是二次函数,求m的值2、抛物线y=(k+1)x2+k2-9开口向下,且经过原点,则k=—————————3、抛物线y=12,对称轴是,顶点坐标是x−9的开口41看作是由抛物线y=x2向平移个单位得到的.4,它可以4、二次函数y=x2+bx+c的图象上有两点(3,-8和(-5,-8,则此拋物线的对称轴是()B.x=3C.x=−5D.x=−1A.x=425、已知函数y=ax+b的图象经过第一、二、三象限,那么y=ax+bx+1的图象大致为()6、已知:
抛物线y=x2−6x+c的最小值为1,那么c的值是()A.10B.9C.8D.77、某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克.(10分)
(1)当每千克涨价为多少元时,每天的盈利最多?
最多是多少?
(2)若商场只要求保证每天的盈利为6000元,同时又可使顾客得到实惠,每千克应涨价为多少元?
8、某宾馆有50个房间供游客居住。
当每个房间定价为每天180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间,宾馆每天对每个房间需支出20元的各种费用。
房价为多少时,宾馆利润最大?
11
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- 初中 函数 专题 一次 反比例 二次 解读