天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考二数学文试题及答案.docx
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天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考二数学文试题及答案
天津市十二重点中学高三毕业班联考
(二)
数学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
祝各位考生考试顺利!
第I卷(选择题,共40分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.选出答案后,用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其它答案,不能答在试卷上。
参考公式:
锥体的体积公式.其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.
一、选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一
个是正确的。
1.集合,,则()
A.B.C.D.
2.从大小相同的红、黄、白、紫、粉个小球中任选个,则取出的两个小球中没有红色的概率为()
A.B.C.D.
3.阅读右边的框图,运行相应的程序,若输入的值为6,则输出的值为()
A.B.C.D.
4.若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
5.已知双曲线,其中,双曲线半焦距为,若抛物线的准线被双曲线截得的弦长为(为双曲线的离心率),则双曲线的渐近线方程为()
A.B.C.D.
6.已知奇函数在上是增函数,若,
,则的大小关系为()
A.B.C.D.
7.函数的图象与轴的两个相邻交点的距离是,将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则函数在上的单调增区间为()
A.B.C.D.
8.已知函数, 函数,若方程有个
不同实根,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题,共110分)
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.
9.已知复数,则在复平面内所对应的点位于第象限.
10.若曲线在点处的切线方程为,则.
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.
12.已知圆的圆心在轴的正半轴上,且轴和直线均与圆相切,则圆的方程为.
13.已知且,则的最小值为.
14.如图所示,在中,,点是的中点,且点在的内部(不含边界),若,则的取值范围.
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)在中,角所对的边分别是,且
的面积为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
16.(本小题满分13分)“五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某共享单车公司欲投放一批共享单车,单车总数不超过100辆,现有A,B两种型号的单车:
其中A型车为运动型,成本为400元/辆,骑行半小时需花费0.5元;B型车为轻便型,成本为2400元/辆,骑行半小时需花费1元.若公司投入成本资金不能超过8万元,且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次,每次不超过半小时(不足半小时按半小时计算),问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多,最多为多少元?
17.(本小题满分13分)如图,四棱锥中,
.
(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅱ)证明:
平面平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(本小题满分13分)已知为正项等比数列,且数列满足:
.
(I)求和的通项公式;
(II)求数列的前项和,并求使得恒成立的取值范围.
19.(本小题满分14分)已知椭圆左顶点为,上顶点为,直线的斜
率为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线与椭圆交于两点,与轴交于点,以线段为对角线作正方形,若.
(i)求椭圆方程;
(ii)若点在直线上,且满足,求使得最长时,直线的方程.
20.(本小题满分14分)已知函数,函数.
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)当时,证明:
对一切的,都有恒成立;
(Ⅲ)当时,函数有最小值,记的最小值为
证明:
;
天津市十二重点中学高三毕业班联考
(二)
数学试卷(文科)评分标准
一、选择题:
本题共8个小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
B
D
C
B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.一;10.2;11.16;12.;13.15;14..
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分13分)在中,角所对的边分别是,且的面积为
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
解:
(Ⅰ)由,,得…………………2分
解得:
………………3分
又………………5分
即………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
,……………8分
……………10分
故……………11分
……………13分
16.(本小题满分13分)“五一”期间,为了满足广大人民的消费需求,某共享单车公司欲投放一批共享单车,单车总数不超过100辆,现有A,B两种型号的单车:
其中A型车为运动型,成本为400元/辆,骑行半小时需花费0.5元;B型车为轻便型,成本为2400元/辆,骑行半小时需花费1元.若公司投入成本资金不能超过8万元,且投入的车辆平均每车每天会被骑行2次,每次不超过半小时(不足半小时按半小时计算),问公司如何投放两种型号的单车才能使每天获得的总收入最多,最多为多少元?
解:
根据题意,设投放A型号单车辆,B型号单车辆,单车公司可获得的总收入为元;…1分
目标函数为.……………2分
,满足的约束条件为:
即……………5分
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.
; ……………8分
考虑,将它变形为:
,这是斜率为,随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距,当取最大值时,的值最大,所以由上图可知,当直线经过可行域中的点时,截距最大,即最大.……………11分
解方程组得点的坐标为.……………12分
所以的最大值为元.
答:
公司投放A型号单车80辆,B型号单车20辆时每天获得的总收入最多,最多为120元.
……………13分
17.(本小题满分13分)如图,四棱锥中,
.
(Ⅰ)求异面直线与所成角的余弦值;
(Ⅱ)证明:
平面平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
解:
(Ⅰ)……………1分
……………2分
……………3分
而故
……………4分
……………5分
(Ⅱ)由勾股定理得……………6分
……………8分
……………9分
(Ⅲ)直线与平面所成角即为直线与平面所成角
……………10分
由(Ⅱ)可知,=又
……………11分
……………12分
故
直线与平面所成角的正弦值为.……………13分
18.(本小题满分13分)已知为正项等比数列,且数列满足:
.
(I)求和的通项公式;
(II)求数列的前项和,并求使得恒成立的取值范围.
解:
(I)为正项等比数列,设公比为,……………2分
……………3分
又……………4分
(II)①
②
①-②得
……………7分
而()……………8分
又单调递增……………10分
……………11分
……………12分
综上的取值范围为:
……………13分
19.(本小题满分14分)已知椭圆左顶点为,上顶点为,直线的斜率为.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)直线与椭圆交于两点,与轴交于点,以线段为对角线作正方形,若.
(i)求椭圆方程;
(ii)若点在直线上,且满足,求使得最长时,直线的方程.
解:
(Ⅰ),,……………1分
……………3分
(Ⅱ)(i)方法一:
设,椭圆方程为,线段中点为,
则
……………5分
……………6分
……………9分
椭圆方程为:
……………10分
(Ⅱ)(i)方法二:
设,椭圆方程为,线段中点为,
则
……………5分
又
即①……………7分
又即
化简为:
代入整理得②……………9分
由①②可得椭圆方程为:
……………10分
(ii)……………11分
……………12分
使得最长,此时使得>成立。
……………13分
直线的方程为……………14分
20.(本小题满分14分)已知函数,函数
(Ⅰ)求函数的极值;
(Ⅱ)当时,证明:
对一切的,都有恒成立;
(Ⅲ)当时,函数有最小值,记的最小值为
证明:
解:
(Ⅰ)令则……………2分
随着变化,变化情况如下表,
+
-
所以在处取得极大值,极大值为无极小值.……………4分
(Ⅱ)要证:
,即证:
即证:
……………5分
由(Ⅰ)知以在处取得极大值也是最大值
令,
令则,令则,故在递减,在递增,
故在处取得极小值也是最小值……………7分
故得证,即得证……………8分
(Ⅲ),设,则由得,而得
故在单增,又
所以存在唯一,使得即,即……………10分
当,当,故在递减,在递增,
故在处取得极小值也是最小值
……………12分
而,由故,即
因此在单调递减,……………13分
故即
从而,即……………14分
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