二次函数图像与系数关系含答案.docx
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二次函数图像与系数关系含答案
二次函数图像与系数关系小题)一.选择题(共92+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)2013?
义乌市)如图,抛物线y=ax,顶点坐标为(1,n),与y1.(轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),则下列结论:
﹣;④3≤n≤4中,0;③﹣1≤a≤y①当x>3时,<0;②3a+b>正确的是()
①②③④①④①③A.B.C.D.
考点:
二次函数图象与系数的关系.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(﹣1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;
②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;
﹣,然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a,得到根据两根之积=﹣3a=③的取值范围;
n=a+b+c=c,利用c的取值范围可以求得④把顶点坐标代入函数解析式得到n的取值范围.
2解答:
+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)解:
①∵抛物线y=ax,对称轴直线是x=1,
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0),
∴根据图示知,当x>3时,y<0.
故①正确;
②根据图示知,抛物线开口方向向下,则a<0.
﹣=1,∵对称轴x=
∴b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,即3a+b<0.
故②错误;
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是(﹣1,0),(3,0),
∴﹣1×3=﹣3,
﹣.3,则a=∴=﹣∵抛物线与y轴的交点在(0,2)、(0,3)之间(包含端点),
∴2≤c≤3,
﹣.≤a1≤1∴﹣≤﹣﹣,即﹣≤故③正确;
,﹣=1,根据题意知,a=﹣④
b=﹣,2a=∴
n=a+b+c=c.∴∵2≤c≤3,
,即≤n≤4.∴≤c≤4故④错误.
综上所述,正确的说法有①③.
故选D.
2点评:
+bx+cy=ax系数符号由抛物线开口方向、本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.
2+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,02.(2013?
烟台)如图是二次函数y=ax).下
(,y)是抛物线上两点,则,y),④2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;若(﹣5列说法:
①abc<0;②21y>y.其中说法正确的是()21
①②②③①②④②③④A.B.C.D.
考点:
二次函数图象与系数的关系.
专题:
压轴题.
分析:
根据图象得出a>0,b=2a>0,c<0,即可判断①②;把x=2代入抛物线的解析式即可判断③,求出点(﹣5,y)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y),根据当x>﹣1时,y随x的11增大而增大即可判断④.
解答:
解:
∵二次函数的图象的开口向上,
∴a>0,
∵二次函数的图象y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c<0,
∵二次函数图象的对称轴是直线x=﹣1,
﹣=﹣∴1,
∴b=2a>0,
11
/2
∴abc<0,∴①正确;
2a﹣b=2a﹣2a=0,∴②正确;
2y=ax∵二次函数+bx+c图象的一部分,其对称轴为x=﹣1,且过点(﹣3,0).
∴与x轴的另一个交点的坐标是(1,0),
2y=axx=2代入∴把+bx+c得:
y=4a+2b+c>0,∴③错误;
2y=ax∵二次函数+bx+c图象的对称轴为x=﹣1,
∴点(﹣5,y)关于对称轴的对称点的坐标是(3,y),11根据当x>﹣1时,y随x的增大而增大,
∵<3,
∴y<y,∴④正确;12故选C.
点评:
本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力.
2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,13.(2013?
十堰)如图,二次函数y=ax)和(﹣2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1,0).下列结论:
①ab<0,②b1时,y>0,其中正确结论的个数是()
A.5个B.4个C.3个D.2个
考点:
二次函数图象与系数的关系.
专题:
压轴题.
分析:
由抛物线的对称轴在y轴右侧,可以判定a、b异号,由此确定①正确;
2﹣4ac>0,又抛物线过点(0,轴有两个交点得到b1),得出c=1,由此判定②由抛物线与x正确;
由抛物线过点(﹣1,0),得出a﹣b+c=0,即a=b﹣1,由a<0得出b<1;由a<0,及ab<0,得出b>0,由此判定④正确;
由a﹣b+c=0,及b>0得出a+b+c=2b>0;由b<1,c=1,a<0,得出a+b+c<a+1+1<2,由此判定③正确;
2+bx+c=0的两个根之间时,函数值axyx由图象可知,当自变量的取值范围在一元二次方程>0,由此判定⑤错误.
2解答:
+bx+c(a≠0)过点(0,y=ax1)和(﹣1,0),:
解∵二次函数∴c=1,a﹣b+c=0.
﹣,x=0>y①∵抛物线的对称轴在轴右侧,∴0,正确;a与b异号,∴ab<∴2b,﹣4ac>0②∵抛物线与x轴有两个不同的交点,∴22bc=1∵,∴>4a,正确;0﹣4a>,b,<0④∵抛物线开口向下,∴a.>ab<0,∴b0∵∴a=b﹣1,,∵a﹣b+c=0c=1,,0b<1,<﹣∴0a∵<,b1<<∴0b1,正确;11
/3
③∵a﹣b+c=0,∴a+c=b,
∴a+b+c=2b>0.
∵b<1,c=1,a<0,
∴a+b+c=a+b+1<a+1+1=a+2<0+2=2,
∴0<a+b+c<2,正确;
2+bx+c与x轴的一个交点为(﹣1,0),设另一个交点为(x抛物线y=ax,0),则x>0,⑤00由图可知,当x>x>﹣1时,y>0,错误;0综上所述,正确的结论有①②③④.
故选B.
2点评:
+bx+cy=ax难度适中.二次函数本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系,不等式的性质,(a≠0),a的符号由抛物线开口方向决定;b的符号由对称轴的位置及a的符号决定;c的符号2﹣4acb的符号,此外还y轴交点的位置决定;抛物线与x轴的交点个数,决定了由抛物线与要注意二次函数与方程之间的转换.
2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中,二次函数y=ax正确的是()4.(2012?
沙坪坝区模拟)
B.a+c<4a>2b﹣cb
..abc<0C.b>2aDA
.:
二次函数图象与系数的关系;二次函数与不等式(组)考点轴题.:
压专题的关系,然后根据c轴的交点判断与0分析:
由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y对称轴及图象经过的点的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
﹣轴左侧,与y轴交于正半轴,∴c>0,∵对称轴在y0解:
A、∵图象开口向下,∴a<,∵,故本选项错误;,∴b<0,∴abc>0<0>0,故本选项错误;>b,∴a+c>、B∵当x=﹣1时,对应的函数值y0,即a﹣b+c
,故本选项正确;∴b>2a、C∵抛物线的对称轴为直线x=,又﹣>﹣1a<0,D、∵当x=﹣2时,对应的函数值y<0,即4a﹣2b+c<0,∴4a<2b﹣c,故本选项错误.
故选C.
点评:
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与不等式的关系,难度中等.
2+bx+c(a≠0小轩从如图所示的二次函数y=ax)的图象中,观察得出了下面五条信息:
20135.(?
鄂州)
⑤.;2b+4c>0﹣④0b+2c;<②0ab①>;a+b+c0③>;a)你认为其中正确信息的个数有(
11
/4
3个B.4个D.5个A.2个C.
考点:
次函数图象与系数的关系.二轴题.压专题:
的关系,然后根据与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c0分析:
由抛物线的开口方向判断a与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.对称轴及抛物线与.∴a<0①解答:
解:
如图,∵抛物线开口方向向下,
,a∵对称轴x=<﹣=﹣,∴0b=正确;0.故①∴ab>
.a+b+c<0x=1时,y<0,即②如图,当正确;故②
,>01时,y=a﹣b+c﹣③如图,当x=,>00,即3b﹣2b+2c∴2a﹣2b+2c>.>0∴b+2c正确;故③
0.﹣b+c﹣时,y>0>,即④如图,当x=a0,﹣2b+4c>∴a④正确;故
正确.,则﹣=.故﹣⑤⑤如图,对称轴x=个.,共5综上所述,正确的结论是①②③④⑤.故选D
2点评:
系数符号由抛物线开口方向、+bx+c题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数本y=axx轴交点的个数确定.对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与
2的图象如图所示,有以下结论:
+bx+c与2013.(?
德州)函数y=xy=x622.0x+c1bx3x1④3b+c+6=0;②04c①b﹣>;b+c+1=0③;当<<时,+(﹣)<11
/5
其中正确的个数为()
B.2D.4.1C.3A
二次函数图象与系数的关系.考点:
压轴题.专题:
22分析:
;时,y=9+3b+c=3当<0;x=1时,y=1+b+c=1;由函数y=x当+bx+c与x轴无交点,可得bx=3﹣4c2x<x<3时,二次函数值小于一次函数值,可得x,继而可求得答案.+bx+c<当12解答:
轴无交点,解:
∵函数y=x+bx+c与x2b∴;﹣4c<0错误;故①,当x=1时,y=1+b+c=1错误;故②y=9+3b+c=3∵当x=3时,,∴3b+c+6=0;③正确;当1<x<3时,二次函数值小于一次函数值,∵2x∴+bx+c<x,2x∴0.)x+c<b+(﹣1④正确.故B.故选要考查图象与二次函数系数之间的关系.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.点评:
主
2,,0)(2012?
天门)已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣17.)8a+c>0.其中正确的有(;0①).对于下列命题:
b﹣2a=0;②abc<;③a﹣2b+4c<0④0(3,
A.3个B.2个C.1个D.0个
考点:
二次函数图象与系数的关系.
专题:
压轴题.
分析:
首先根据二次函数图象开口方向可得a>0,根据图象与y轴交点可得c<0,再根据二次函数的
﹣,结合图象与x轴的交点可得对称轴为x=1,结合对称轴公式可判断出对称轴x=①的正误;根据对称轴公式结合a的取值可判定出b<0,根据a、b、c的正负即可判断出②的正误;利用a﹣b+c=0,求出a﹣2b+4c<0,再利用当x=4时,y>0,则16a+4b+c>0,由①知,b=﹣11
/6
2a,得出8a+c>0.
解答:
解:
根据图象可得:
a>0,c<0,
﹣>0,对称轴:
x=①∵它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0),
∴对称轴是x=1,
﹣=1,∴∴b+2a=0,
故①错误;
②∵a>0,
∴b<0,
∵c<0,
∴abc>0,故②错误;
③∵a﹣b+c=0,
∴c=b﹣a,
∴a﹣2b+4c=a﹣2b+4(b﹣a)=2b﹣3a,
又由①得b=﹣2a,
∴a﹣2b+4c=﹣7a<0,
故此选项正确;
④根据图示知,当x=4时,y>0,
∴16a+4b+c>0,
由①知,b=﹣2a,
∴8a+c>0;
故④正确;
故正确为:
③④两个.
故选:
B.
点评:
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简称:
左同右异)③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).
2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:
①abc>0二次函数y=ax;②2a+b<0;③a+b≠m已知:
8.22;⑤a>1,其中正确的是(a+c)<b)
(1)(am+b(m≠的实数);④
A.2个B.3个C.4个D.1个
考点:
二次函数图象与系数的关系.
分析:
由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及11
/7
抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.
解答:
解:
①∵抛物线的开口向上,∴a>0,
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上,∴c<0,
﹣>0,∵对称轴为x=∴a、b异号,即b<0,
又∵c<0,∴abc>0,
故本选项正确;
﹣>0,ax=>0,②∵对称轴为
1﹣<,∴﹣b<2a,
∴2a+b>0;
故本选项错误;
③当x=1时,y=a+b+c;1当x=m时,y=m(am+b)+c,当m>1,y>y;当m<1,y<y,所以不能确定;12122故本选项错误;
④当x=1时,a+b+c=0;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0;
22)a+c)=0,即(a∴(a+b+c)(﹣b+c=0,﹣b22)a+c∴(=b故本选项错误;
⑤当x=﹣1时,a﹣b+c=2;
当x=1时,a+b+c=0,
∴a+c=1,
∴a=1+(﹣c)>1,即a>1;
故本选项正确;
综上所述,正确的是①⑤有2个.
故选:
A.
点评:
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及2+bx+c系数符号的确定:
y=ax二次函数与方程之间的转换;二次函数
(1)a由抛物线开口方向确定:
开口方向向上,则a>0;否则a<0;
﹣判断符号;由对称轴和a的符号确定:
由对称轴公式x=
(2)b(3)c由抛物线与y轴的交点确定:
交点在y轴正半轴,则c>0;否则c<0;
222﹣4ac=0b,>0;1个交点,)b由抛物线与﹣4acx轴交点的个数确定:
2个交点,b4ac﹣(42﹣4ac<0没有交点,b.
2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列2013?
莒南县二模)已知二次函数y=ax5个结论:
(9.①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b;⑤a+b>m(am+b)(m≠1的实数).
其中正确的结论有()
11
/8
.5个C.4个DA.2个B.3个
二次函数图象与系数的关系.考点:
压轴题;数形结合.专题:
轴0;抛物线与y轴的右侧得到a、b异号,则b>分析:
观察图象:
开口向下得到a<0;对称轴在y,b+c<01时图象在x轴下方得到y=a﹣的交点在x轴的上方得到c>0,所以abc<0;当x=﹣;利用对称轴>0,可得x=1x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c即a+c<b;对称轴为直线
,;开口向下,当x=1<0,所以2c<,而a﹣b+c<03b,则﹣b﹣x=b+c﹣=1得到a=﹣b2).)(m≠a+b+c>am1+bm+c,即a+b>m(am+by有最大值a+b+c,得到x轴的交点在b>0;抛物线与ya<0;对称轴在y轴的右侧,a、b异号,则:
开口向下,解答:
解不正确;abc<0,所以①轴的上方,c>0,则不正确;<b,所以②x轴下方,则y=a﹣b+c<0,即a+c﹣当x=1时图象在正确;>0,所以③对称轴为直线x=1,则x=2时图象在x轴上方,则y=4a+2b+c
3b,所以④正确;﹣b+c<0,2c﹣=1,则a=<﹣b,而a﹣b+c<0,则﹣bx=22,amy=am+bm+c+bm+c,则a+b+c>x=1当,y有最大值a+b+c;当x=m(m≠1)时,开口向下,⑤正确.()m≠1),所以即a+b>m(am+bB.故选2点评:
,>0a≠0)的图象,当题考查了二次函数图象与系数的关系:
对于二次函数本y=axa+bx+c(
同b﹣,a与0开口向上,函数有最小值,a<,开口向下,函数有最大值;对称轴为直线x=轴的交点yc>0,抛物线与异号,对称轴在号,对称轴在y轴的左侧,a与by轴的右侧;当20,抛物线与x轴有两个交点.在x轴的上方;当△=b4ac﹣>
二.填空题(共1小题)2,其0)图象的对称轴是直线x=1b,c是常数,a≠201310.(?
柳林县一模)二次函数y=ax,+bx+c(a﹣a3a+c<0;④时,当﹣1<x<3y>0;③;①图象的一部分如图所示.对于下列说法:
abc<0②(把正确的序号都填上).,其中正确的是①③④b+c<0
二次函数图象与系数的关系.考点:
的关系,然后根据0c与0a与的关系,由抛物线与y轴的交点判断由分析:
抛物线的开口方向判断x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.对称轴及抛物线与0.cb,>0,>0a解解答:
:
根据图象可得:
<正确;①0abc则<,故11
/9
轴的下方,故②错误;3时图象在x轴的上方,且有的点在x当﹣1<x<
﹣1时,y=a﹣2a.那么当x=根据图示知,该抛物线的对称轴直线是x=1﹣,即﹣=1,则b=③正确;b+c=a+2a+c=3a+c<0,故④正确.﹣b+c<0,故﹣1时,y=a﹣b+c一定在x轴的下方,因而a当x=①③④.故答案是:
的关系,以及二次与b主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a点评:
函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.2+bx+c?
绵阳)二次函数y=ax的图象如图所示,给出下列结论:
(2013
.④3|a|+|c|<n<1,则m+n2|b|<﹣;③①2a+b>0;②b>a>c;若﹣1<m<其中正确的结论是①③④(写出你认为正确的所有结论序号).
考点:
二次函数图象与系数的关系.
专题:
压轴题.
分析:
分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a,b,c的符号,再利用特殊值法分析得出各选项.
解答:
解:
∵抛物线开口向下,∴a<0,∴2a<0,
对称轴x=﹣>1,﹣b<2a,∴2a+b>0,故选项①正确;
∵﹣b<2a,∴b>﹣2a>0>a,
2+bx﹣,令抛物线解析式为y=﹣x
此时a=c,欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2,
则=﹣,
解得:
b=,
2x﹣∴抛物线y=+x﹣,符合“开口向下,与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间,
对称轴在直线x=1右侧”的特点,而此时a=c,(其实a>c,a<c,a=c都有可能),
故②选项错误;
∵﹣1<m<n<1,﹣2<m+n<2,
>1,>2,m+n,故选项③正确;∴抛物线对称轴为:
x=﹣当x=1时,a+b+c>0,2a+b>0,3a+2b+c>0,
∴3a+c>﹣2b,∴﹣3a﹣c<2b,
11
/10
∵a<0,b>0,c<0(图象与y轴交于负半轴),
∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c<2b=2|b|,故④选项正确.
故答案为:
①③④.
点评:
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键.
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