安徽中考数学函数的实际应用.docx
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安徽中考数学函数的实际应用
类型一最大利润问题
1.某企业推销自己的品牌,设计了一款篮球工艺品投放市场进行试销.根据市场调查,这种工艺品一段时间内每周的销售量y(个)与销售单价x(元)之间的对应关系如图所示(x为大于6的整数).
(1)试判断y与x的函数关系,并求出y关于x的函数表达式;
(2)已知篮球工艺品的进价为10元/个,按照上述销售规律,当销售单价x定为多少时,试销该工艺品每周获得的利润w(元)最大?
最大利润是多少?
(3)某体育超市每周购进该款篮球工艺品的进货成本不超过1000元,要想每周获得的利润最大,试确定该工艺品的单价(规定取整数),并求出此时每周所获得的最大利润.
第1题图
解:
(1)由题图可知,y是x的一次函数.
设此一次函数表达式为y=kx+b,
把点(10,300),(12,240)代入,
得
,解得
,
∴y关于x的函数表达式为y=-30x+600;
(2)由题意可得:
w=(x-10)(-30x+600)=-30x2+900x-6000=-30(x-15)2+750,
∵-30<0,
∴当x=15时,w有最大值750,
即当销售单价定为15元时,试销该工艺品每周获得的利润最大,最大利润为750元;
(3)由题意得:
10(-30x+600)≤1000,
解得x≥
,
由
(2)知,w=-30(x-15)2+750的函数图象开口向下,对称轴为直线x=15,
∴当x≥
时,w随x的增大而减小,
又∵x取整数,
∴当x=17时,w最大,且w最大=-30(17-15)2+750=630,
即该工艺品的单价定为17元时,每周获得的利润最大,最大利润为630元.
2.某公司销售一种进价为20元/个的计算器,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:
销售价格x(元/个)
销售量y(万个)
30≤x≤60
-
x+8
60 (1)求出当销售量为2.5万个时,销售价格为多少? (2)求出该公司销售这种计算器的净得利润w(万元)与销售价格(元/个)的函数关系式; (3)销售价格定为多少元时,该公司获得的利润最大? 最大利润是多少? 解: (1)根据表格中数据可得,当y=2.5时,代入y=- x+8,得x=55, 当y=2.5时,代入y= ,得x=48(不合题意,舍去), ∴当销售量为2.5万个时,销售价格为55元/个; (2)根据题意得,当30≤x≤60时,y=- x+8, ∴w=(x-20)y-40=(x-20)(- x+8)-40=- x2+10x-200=- (x-50)2+50; 当60 , ∴w=(x-20)y-40=(x-20)· -40=- +80. 综上可得,w= ; (3)当30≤x≤60时,w=- (x-50)2+50, ∴当x=50时,w最大=50; 当60 +80, ∴当x=80时,w最大=50. 综上可得,当销售价格定为50元/个或80元/个时,该公司获得的利润最大,最大利润为50万元. 类型二最优方案问题 3.某物流公司现有31吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,准备一次运完,且恰好每辆车都载满货物.已知: 每辆A型车载满货物一次可运货3吨,每辆B型车载满货物一次可运货4吨. (1)该物流公司共有几种租车方案? 请分别写出来; (2)若A型车每辆需租金100元/次,B型车每辆需租金120元/次.请选出最省钱的租车方案,并求出最少租车费. 解: (1)由题意得3a+4b=31,∵a,b都是整数, ∴ 或 或 . 即共有3种租车方案; 分别为方案一: 租A型车9辆、B型车1辆;方案二: 租A型车5辆、B型车4辆;方案三: 租A型车1辆、B型车7辆. (2)∵租A型车每辆需租金100元/次,租B型车每辆需租金120元/次, ∴方案一需租金: 9×100+1×120=1020(元); 方案二需租金: 5×100+4×120=980(元), 方案三需租金: 1×100+7×120=940(元). ∵1020>980>940, ∴最省钱的租车方案是方案三: 租A型车1辆、B型车7辆,最少租车费为940元. 4.现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,小明计划给朋友快递一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示: 快递物品重量不超过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示: 按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克. (1)根据题意,填写下表: 公司 费用(元) 重量(千克) 0.5 1 3 4 … 甲公司 22 67 … 乙公司 11 51 … (2)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的函数关系式; (3)小明应选择哪家快递公司更省钱? 解: (1)11,52,19,67; 【解法提示】当x=0.5时,y甲=22×0.5=11;当x=3时,y甲=22+15×2=52;当x=1时,y乙=16×1+3=19;当x=4时,y乙=16×4+3=67; (2)当0 当x>1时,y甲=22+15(x-1)=15x+7. ∴y甲= y乙=16x+3(x>0); (3)若0 ; 当y甲>y乙时,即22x>16x+3,解得x> ; 当y甲 ; 若x>1,则当y甲=y乙时,即15x+7=16x+3,解得x=4; 当y甲>y乙时,即15x+7>16x+3,解得x<4; 当y甲 综上可得,当小明快递物品少于 千克或超过4千克时,选择甲公司更省钱;当快递物品等于 千克或4千克时,选择两家快递公司的费用一样;当快递物品超过 千克或不足4千克时,选择乙公司更省钱. 类型三抛物线型问题 5.如图 ,是安徽省著名的彩虹桥,桥面的截面图可近似地看成一条抛物线.(如图 )已知桥面在拱桥之间的长度CD为40米,桥面CD距拱形支撑的最高点的距离AB为10米. (1)求该抛物线的解析式; (2)小王准备在桥面M处竖直搭建一块广告牌,M为BC的中点,广告牌与拱形的交点为N,为了广告效果,规定广告牌的最高点P距离N点不得少于1.1米,求广告牌PM的最低高度. 图 图 第5题图 解: (1)如解图,以A为坐标原点,过点A的水平线为x轴,BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 由题意知,点C(-20,-10),点D(20,-10), 设该抛物线的解析式为y=ax2, 第5题解图 将点D的坐标代入,得a=- , ∴该抛物线的解析式为y=- x2(-20≤x≤20); 第5题解图 (2)∵M为BC中点,∴设点N的坐标为(-10,k), 则k=- ×(-10)2=-2.5, ∴MN=10+k=7.5, ∴PM=MN+PN≥7.5+1.1=8.6, ∴广告牌PM的最低高度为8.6米. 6.某中学阳光体育跳大绳规定: 2名同学甩绳,5名同学跳绳,甩绳的形状可看作抛物线.如图,以O为坐标原点,OA所在直线为y轴,OD所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,正在甩绳的甲乙两名同学拿绳的手间距AB为6米,到地面的距离AO和BD均为0.9米,点C为抛物线的最低点,且在x轴上,5名同学在OD之间站立. (1)求该抛物线的解析式; (2)如果小华站在OD之间,且离原点O的距离为2米,他至少跳起多少米,才能顺利通过? (3)若小刚的连续弹跳高度为0.4米,作为一名体育老师,应安排他在哪个位置才能顺利通过? 第6题图 解: (1)由题意,设抛物线的解析式为y=a(x-3)2, 将点A(0,0.9)代入,得0.9=a(x-3)2,解得a=0.1, ∴y=0.1(x-3)2,即y=0.1x2-0.6x+0.9; (2)当x=2时,y=0.1×(2-3)2=0.1, ∴小华至少跳起0.1米; (3)当y=0.4时,0.1(x-3)2=0.4,解得x1=1,x2=5, ∴可安排他距离O点1米至5米范围内. 类型四几何面积最大值问题 7.如图,在一面墙的周围用篱笆围成一个矩形ABCD的草坪,在AD、BC边上有一个宽为1m的小路,在草坪中间用篱笆做出一个隔断EF,EF⊥AB,AB>EF,矩形ADFE种植兰花,矩形BCFE种植月季,已知所用篱笆总长度为40m.设矩形ABCD的面积为ym2. (1)设隔断EF的长为xm,请用含x的代数式表示出AB的长; (2)求y与x之间的函数关系式; 第7题图 (3)所围成的矩形草坪面积是否能为150m2,若能,请求出x的值,若不能, 第7题图 求出当x为多少时,所围成的矩形草坪面积最大? 并求出这个最大值. 解: (1)∵隔断EF的长为xm, ∴AB=40-3x+2=(42-3x)m; (2)y=x·(42-3x)=-3x2+42x, ∴y与x之间的函数关系式为y=-3x2+42x; (3)当y=150时,即-3x2+42x=150,b2-4ac=422-4×(-3)×(-150)=-36<0, ∴所围成的矩形面积不能为150m2, ∵AB>EF,∴42-3x>x,∴1 , ∵y==-3x2+42x=-3(x-7)2+147, ∴当x=7时,所围成的矩形草坪面积最大,最大面积为147m2. 8.为了节省材料,某水产养殖户利用水库的一个135°的角(如图,即∠MON=135°)两边为边,用总长为120m的围网围成了 、 、 三块区域,其中区域 为直角三角形,区域 、 均为矩形. (1)若 、 、 这三块区域的面积相等,求OB的长; (2)设OB=x,四边形OBDG的面积为ym2,求y与x之间的函数关系式,并注明自变量的取值范围; (3)x取何值时,y有最大值? 最大值是多少? 第8题图 解: (1)由题意知,∠MON=135°,∠EOB=∠D=∠DBO=90°, ∴∠EGO=∠EOG=45°, ∴EG=EO=DB,DE=FC=OB, 设OB=CF=DE=x,则GE=OE=BD= (120-2x)=40- x. ∵ 这三块区域的面积相等, ∴ (40- x)2= ×(40- x)x,解得x=24或60(舍去), ∴OB=24m; (2)y= =- x2+ x+800(0 (3)y=- x2+ x+800=- (x-15)2+900. ∴当x=15时,y有最大值,最大值为900m2.
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