核心母题一.docx
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核心母题一.docx
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核心母题一
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核心母题一 全等在几何探究题中的应用
【母题示例】
如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC上一点,连接AD,过点C作CE⊥AD于E,过点B作BF⊥BC,交CE的延长线于F.求证:
AD=CF.
【命题形式】以特殊三角形、特殊的平行四边形为背景,借助基本的全等模型,考查全等三角形的证明.
【母题剖析】
要证AD=CF,只需证明△ACD≌△CBF即可.
【母题详解】
【母题解读】
全等三角形是几何问题中证明线段相等、角相等时最常用的方法之一.在几何压轴题中,常以基本模型为背景,通过添加条件,增加动点或变换图形等形式,探究线段之间或角之间的关系,是考查学生数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养的综合体现.在具体解题中,有时需要构造相应的辅助线,从而将所求或所证的量放在两个全等的三角形中进行证明或计算.常见的全等模型有:
倍长中线模型;对角互补模型;手拉手模型(旋转模型);三垂直模型等.
模型一倍长中线模型
【模型解读】倍长中线模型一般以三角形为背景,题中常有三角形中线(或中点)条件.通过延长中线后构造全等三角形解决问题.
【基本图形】
基本
图形
说明
点D是BC的中点,通过延长AD到E,使得DE=AD,构造△DCE≌△DBA
基本
图形
说明
点D是BC的中点,点E是AB上一点,通过延长ED到F,使得DF=DE,构造△BDE≌△CDF
【模型突破】
1.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于点F.求证:
AF=EF.
2.如图①,已知△ABC中,AB=AC,点D是AB上一点,点E是AC延长线上一点,且BD=CE,连接DE交BC于点F.
(1)求证:
DF=EF;
(2)如图②,过点D作DM⊥BC于M,若BC=6,点D是AB的中点,求MF的长.
模型二对角互补模型
【模型解读】对角互补模型是一个特殊的四边形(两组对角分别互补),可通过四边形内角和为360°,从而得到其一个外角等于内对角,进而找到图形中的等角关系,得到全等问题中角度相等关系.
【基本图形】
基本
图形
说明
已知四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,则∠A+∠BCD=∠BCD+∠DCE=180°
基本
图形
说明
△ABC中,点E,F,G分别在BC,AC,AB上,且∠GEF+∠A=180°,则∠BGE=∠AFE
【模型突破】
1.如图,在Rt△ABD中,AB=AD,∠A=90°,点E是AB上一点,且∠BDE=15°,过点D作DC⊥DE,过点B作BC∥AD,BC与DC相交于C.求证:
DC=DE.
2.如图,在△ABC中,∠A=100°,AB=AC,边AB的垂直平分线DE分别交AB于D,交BC于E,点G是AD上一点,且AG=GE,点F在AC上,∠GEF=80°.求证:
BG=EF.
模型三手拉手模型(旋转模型)
【模型解读】手拉手模型(旋转模型)是两个三角形具有公共的顶点,且公共顶点所在的四条线段两两对应相等,常通过角度的加减转化等角关系证明全等.
【基本图形】
基本
图形
说明
已知AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,则△BAE≌△CAD,CD=BE
基本
图形
说明
△ABC和△ADE均是等边三角形,则△BAD≌△CAE,BD=CE
【模型突破】
1.如图,菱形ABCD中,∠A=110°,点E是菱形ABCD内一点,连接CE,将CE绕点C顺时针旋转110°得到线段CF,连接BE,DF.求证:
BE=DF.
2.如图,过△ABC的顶点A作AE⊥AB且AE=AB,AF⊥AC且AF=AC,连接BF,CE交于点M.求∠EMF的大小.
模型四三垂直模型
【模型解读】三垂直模型常出现在正方形或矩形中,也可能在直角三角形中存在,常利用等角的余角相等进行角度转化.
【基本图形】
基本
图形
说明
已知AE⊥AC,DC⊥AC,BE⊥BD,则∠E=∠DBC,∠EBA=∠BDC
基本
图形
说明
已知AC⊥BC,AD⊥CE,BE⊥CE,则∠BCE=∠CAD,∠CBE=∠ACD
【模型突破】
1.如图,正方形EFGH的顶点分别在正方形ABCD的四条边上.
求证:
AE=BF.
参考答案
【核心母题剖析】
证明:
∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠BCE=90°,
∵AD⊥CF,∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠CAD=∠BCF,
∵BC⊥BF,∴∠CBF=90°=∠ACD,
∵AC=BC,∴△ACD≌△CBF,
∴AD=CF.
【核心归纳突破】
模型一、倍长中线模型
1.证明:
如解图,延长AD到G,使得DG=AD,连接BG.
∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,
∵∠BDG=∠CDA,DG=AD,
∴△BDG≌△CDA,
∴BG=AC,∠BGD=∠CAD.
∵BE=AC,∴BG=BE,
∴∠BGE=∠BEG,
∴∠BEG=∠FAE.
∵∠AEF=∠BEG,∴∠FAE=∠FEA,
∴AF=EF.
2.
(1)证明:
如解图1,过点D作DG∥AC交BC于G,
解图1
∴∠FDG=∠FEC,∠FGD=∠FCE,∠DGB=∠ACB,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠DBG=∠DGB,
∴DG=DB,∵CE=DB,∴CE=DG,
∴△DGF≌△ECF,∴DF=EF.
(2)解:
如解图2,过点A作AN⊥BC于N,
∵AB=AC,∴BN=CN=3,
解图2
∵DM⊥BC,∴DM∥AN,
∵点D是AB的中点,∴BM=MN,
连接DN,∵点D是AB的中点,点N是BC的中点,
∴DN∥AC,由
(1)知,△DNF≌△ECF,
∴NF=CF,
∴MF=MN+NF=
BC=3.
模型二、对角互补模型
1.证明:
如解图,过点D作DF⊥BC于F.
∵∠A=90°,BC∥AD,
∴∠ABC=90°,∴BC⊥AB,∴DF∥AB,
∵BC∥AD,∴四边形ABFD是平行四边形,
∴DF=AB,
∵AB=AD,∴DF=AD.
∵DE⊥DC,BE⊥BC,
∴∠BED+∠C=180°=∠AED+∠BED,
∴∠AED=∠C,
∵∠A=∠DFC=90°,
∴△DAE≌△DFC,∴DE=DC.
2.证明:
如解图,连接AE.
∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,
∴∠EBA=∠EAB,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠BAE=∠C,
∴∠BEA=∠BAC,
∵GA=GE,∴∠GAE=∠GEA,
∴∠GEB=∠FAE.
∵∠GAF=100°,∠GEF=80°,
∴∠AGE+∠AFE=360°-∠GAF-∠GEF=180°,
∵∠BGE+∠AGE=180°,
∴∠BGE=∠EFA,
∴△BGE≌△EFA,∴BG=EF.
模型三、手拉手模型(旋转模型)
1.证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=110°,
∴BC=CD,∠BCD=110°,
∵CF是由CE绕点C顺时针旋转110°得到的,
∴∠ECF=110°=∠BCD,CF=CE.
∴∠BCE+∠ECD=∠ECD+∠DCF,
∴∠BCE=∠DCF,
∴△BEC≌△DFC,∴BE=DF.
2.解:
∵AE⊥AB,FA⊥CA,
∴∠EAB=∠FAC=90°,
∴∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC,即∠EAC=∠FAB,
∵AE=AB,AF=AC,
∴△BAF≌△EAC,
∴∠AEM=∠ABM,
∵AE⊥AB,
∴∠ABE+∠ABM+∠BEM=∠ABE+∠AEB=90°,
∴∠BME=90°,即EC⊥BF,∴∠EMF=90°.
模型四、三垂直模型
1.证明:
∵四边形EFGH是正方形,
∴EH=EF,∠HEF=90°,∴∠AEH+∠BEF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,
∴∠AHE+∠AEH=90°,∴∠AHE=∠BEF,
∴△AEH≌△BFE,∴AE=BF.
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