关于高等数学微积分笔记doc.docx
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第一章函数、极限和连续
§1.1函数
一、主要内容
㈠函数的概念
1.函数的定义:
y=f(x),x∈D
定义域:
D(f),值域:
Z(f).
2.分段函数:
y
f(x)xD1
g(x)xD2
3.隐函数:
F(x,y)=0
4.反函数:
y=f(x)
→x=φ(y)=f-1(y)
y=f
-1
(x)
定理:
如果函数:
y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的;
则它必定存在反函数:
y=f-1(x),D(f
-1)=Y,Z(f
-1)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
1.函数的单调性:
y=f(x),x
∈D,x1、x2∈D
当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加();
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少();
若f(x1)<f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加();
若f(x1)>f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少()。
2.函数的奇偶性:
D(f)关于原点对称
偶函数:
f(-x)=f(x)
奇函数:
f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性:
周期函数:
f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞)
周期:
T——最小的正数
4.函数的有界性:
|f(x)|≤M,x∈(a,b)
㈢基本初等函数
1.常数函数:
y=c,(c为常数)
2.幂函数:
y=xn,(n为实数)
3.指数函数:
y=ax,(a>0、a≠1)
4.对数函数:
y=logax,(a>0、a≠1)
5.三角函数:
y=sinx,y=conx
y=tanx,y=cotx
y=secx,y=cscx
6.反三角函数:
y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx
㈣复合函数和初等函数
1.复合函数:
y=f(u),u=φ(x)
y=f[φ(x)],x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,
并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2极限
一、主要内容
㈠极限的概念
1.数列的极限
:
limn
yn
A称数列
yn
以常数
A为极限;
或称数列
yn
收敛于
A.
定理:
若
yn
的极限存在
yn
必定有界
.
2.函数的极限:
lim
f(x)
A
⑴当x
时,f(x)的极限:
x
limf(x)A
lim
f(x)
A
x
x
⑵当xx0时,f(x)的极限:
limf(x)
A
xx0
左极限:
lim
fx
)
A
右极限:
lim
f
xA
(
()
xx0
xx0
⑶函数极限存的充要条件:
定理:
limf(x)
A
limf(x)limf(x)
A
xx0
xx
0
xx
0
㈡无穷大量和无穷小量
1.无穷大量:
limf(x)
称在该变化过程中f(x)为无穷大量。
X再某个变化过程是指:
2.无穷小量:
limf(x)0称在该变化过程中f(x)为无穷小量。
3.无穷大量与无穷小量的关系:
1
(f(x)
0)
定理:
limf(x)0lim
f(x)
4.无穷小量的比较:
lim
0,lim
0
⑴若lim0,则称β是比α较高阶的无穷小量;
⑵若limc(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;
⑶若lim1,则称β与α是等价的无穷小量,记作:
β~α;
⑷若lim
则称β是比α较低阶的无穷小量
定理:
若:
~
,
2~
;则:
lim
1
lim
1
2
1
2
㈢两面夹定理
1
2
1.
数列极限存在的判定准则:
设:
yn
xn
zn
(n=1、2、3)
且:
lim
y
n
z
a
则:
limx
n
a
limn
n
n
n
2.
函数极限存在的判定准则:
设:
对于点x0的某个邻域内的一切点
(点x0
除外)有:
g(x)
f(x)
h(x)且:
limg(x)
limh(x)
A则:
limf(x)A
xx0
xx0
xx0
㈣极限的运算规则
若:
limu(x)A,limv(x)
B
则:
①lim[u(x)
v(x)]
limu(x)
limv(x)
A
B
②
lim[u(x)v(x)]
limu(x)
limv(x)AB
③
limu(x)
limu(x)
A
(limv(x)
0)
v(x)
limv(x)
B
推论:
①lim[u1(x)u2(x)
un(x)]limu1(x)
limu2(x)limun(x)
②lim[cu(x)]
climu(x)③lim[u(x)]n
[limu(x)]n
㈤两个重要极限
1
.lim
sinx
1
或
lim
sin(x)
1
0
(x)
x0
x
(x)
1)x
1
2
.lim
(1
e
lim(1x)x
e
x
x
x0
§1.3连续
一、主要内容
㈠函数的连续性
1.函数在x0处连续:
f(x)在x0的邻域内有定义,
1olimy
lim[f(x
x)
f(x)]0
2
olim
f(x)
f(x0)
x0
x
0
0
0
xx0
左连续:
lim
f(x)
f(x
)
右连续:
lim
f
(
x
)
f
(
x0
)
x
x0
0
xx0
2.函数在x0处连续的必要条件:
定理:
f(x)在x0处连续f(x)在x0处极限存在
3.函数在x0处连续的充要条件:
定理:
limf(x)f(x0)
limf(x)
limf(x)f(x0)
x
x0
xx0
xx0
4.
函数在a,b上连续:
f(x)在a,b上每一点都连续。
在端点a和b连续是指:
limf(x)f(a)
左端点右连续;
xa
limf(x)
f(b)
右端点左连续。
xb
a
+0b
-
x
5.函数的间断点:
若f(x)在x0处不连续,则x0为f(x)的间断点。
间断点有三种情况:
1
o
)x(f
在x0处无定义;2
olim
f(x)不存在;
x
x0
o
)x(f
在x0处有定义,且
lim
f(x)
3
x
x
存在,
0
lim
f(x)
f(x0)
但xx0
。
两类间断点的判断:
1o第一类间断点:
lim
f(x)
lim
f(x)
特点:
xx
0
和x
x
都存在。
0
lim
f(x)
可去间断点:
xx
存在,但
0
limf(x)
f(x0)
在x0处无定义。
xx0
,或)x(f
2o第二类间断点:
limf(x)
lim
f(x)
特点:
xx
0
和xx
至少有一个为∞,
0
limf(x)
或xx0振荡不存在。
limf(x)
lim
f(x)
无穷间断点:
xx
和xx
至少有一个为∞
0
0
㈡函数在x0处连续的性质
1.连续函数的四则运算:
limf(x)
f(x0)limg(x)g(x0)
设xx0
,xx0
1
2
o
o
lim[f(x)g(x)]f(x0)g(x0)
xx0
lim[f(x)g(x)]f(x0)g(x0)
xx0
f(x)
f(x0)
limg(x)0
o
lim
g(x0)
3
xx0g(x)
xx0
2.复合函数的连续性:
则:
limf[(x)]
f[lim(x)]f[(x0)]
xx0
xx0
3.反函数的连续性:
㈢函数在[a,b]上连续的性质
1.最大值与最小值定理:
f(x)在[a,b]上连续
f(x)在[a,b]上一定存在最大
值与最小值。
y
y
+M
M
f(x)
f(x)
0a
bx
m
-M
0a
bx
2.有界定理:
f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]上一定有界。
3.介值定理:
f(x)在[a,b]上连续在(a,b)内至少存在一点
,使得:
f()c,
其中:
mcM
yy
M
f(x)
C
f(x)
0a
ξbx
m
0aξ1ξ2bx
推论:
f(x)在[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号
在(a,b)内至少存在一点,使得:
f()0。
4.初等函数的连续性:
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章一元函数微分学
§2.1
导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
1.导数:
yf(x)在x0的某个邻域内有定义,
2
.左导数:
f(x0)lim
f(x)
f(x0)
右导数:
xx0
x
x0
f
(x0)lim
f(x)
f(x0)
x
x0
xx0
定理:
f(x)在x0的左(或右)邻域上连续在
其内可导,且极限存在;
则:
f(x0)limf(x)
x
x0
(或:
f(x0)
limf(x))
xx0
3.函数可导的必要条件:
定理:
f(x)在x0处可导f(x)在x0处连续
4.函数可导的充要条件:
定理:
yxx0f(x0)存在f(x0)f(x0),
且存在。
5.
导函数:
y
f(x),x
(a,b)
f(x)在(a,b)内处处可导。
y
f(x0)
f(x)
6.
导数的几何性质:
y
f
(x0)是曲线y
f(x)上点
x
Mx0,y0处切线的斜率。
ox
0
x
㈡求导法则
1.基本求导公式:
2.导数的四则运算:
1
o(u
v)
u
v
2
o(u
v)
u
v
uv
3
ou
u
v
uv
(v0)
v
v2
3.复合函数的导数:
dy
dy
du
dx
du
dx,或{f[(x)]}f[(x)](x)
☆注意{f[(x)]}与f[(x)]的区别:
{f[
(x)]}
表示复合函数对自变量
x求导;
f[
(x)]表示复合函数对中间变量
(x)求导。
4.高阶导数:
f
(x),f
(x),或f(3)(x)
函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念
1.微分:
f(x)在x的某个邻域内有定义,
其中:
A(x)与x无关,o(x)是比x较高
limo(x)0
阶的无穷小量,即:
x0x
则称yf(x)在x处可微,记作:
2.导数与微分的等价关系:
定理:
f(x)在x处可微f(x)在x处可导,
且:
f(x)A(x)
3.微分形式不变性:
不论u是自变量,还是中间变量,函数的
微分dy都具有相同的形式。
§2.2中值定理及导数的应用一、主要内容
㈠中值定理
1.罗尔定理:
f(x)满足条件:
y
f()
f()
f(x)
ao
ξ
bx
a
o
ξ
b
x
2.拉格朗日定理:
f(x)满足条件:
0,
㈡罗必塔法则:
(0
型未定式)
定理:
f(x)和g(x)满足条件:
lim
f(x)
0
(或)
xa
o
;
1limg(x)
0
(或)
xa
2o在点a的某个邻域内可导,且g(x)
0;
lim
f(x)
o
A,(或)
3
xa(
)g(x)
f(x)
f
(x)
lim
lim
A,(或)
则:
xa()g(x)
xa()g(x)
☆注意:
1o法则的意义:
把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。
2o若不满足法则的条件,不能使用法则。
0
即不是0型或型时,不可求导。
3o应用法则时,要分别对分子、分母
求导,而不是对整个分式求导。
4
o若f
(x)和g(x)还满足法则的条件,
可以继续使用法则,即:
5
o若函数是0
型可采用代数变
0
型;若是1
0
0
0
形,化成
0或
型可
0
采用对数或指数变形,化成0或型。
㈢导数的应用
1.切线方程和法线方程:
设:
yf(x),M(x0,y0)
切线方程:
yy0f(x0)(xx0)
法线方程:
y
y0
1
f
(xx0),(f(x0)0)
(x0)
2.
曲线的单调性:
⑴
f(x)0x(a,b)
f(x)在(a,b)内单调增加;
⑵
f(x)0x(a,b)
在(a,b)内严格单调增加;
3.函数的极值:
⑴极值的定义:
设f(x)在(a,b)内有定义,
x0是(a,b)内的一点;
若对于
x0
的某个邻域内的任意点
xx0
,都有:
则称f(x0)是f(x)的一个极大值(或极小值),
称x0为f(x)的极大值点(或极小值点)。
⑵极值存在的必要条件:
10.f(x)存在极值f(x0)
定理:
20.f(x0)存在。
f(x0)0
x0称为f(x)的驻点
⑶极值存在的充分条件:
定理一:
当x渐增通过x0时,f(x)由(+)变(-);
则f(x0)为极大值;
当x渐增通过x0时,f(x)由(-)变(+);则f(x0)为极小值。
10.f(x0)
0;
f(x0)是极值;
20.f(x)存在。
x0是极值点。
定理二:
0
若f
(x0)
0,则f(x0)为极大值;
若f
(x0)
0,则f(x0)为极小值。
☆注意:
驻点不一定是极值点,极值点也不一定是驻点。
4.曲线的凹向及拐点:
⑴若f(x)0,xa,b;则
f(x)在(a,b)内是上凹
的(或凹的),(∪);
⑵若f(x)0,xa,b;则f(x)在(a,b)内是下凹的(或凸的),(∩);
⑶
10.f(x0)0,x0,f(x0)称
20.f(x)过x0时变号。
为f(x)的拐点。
5。
曲线的渐近线:
⑴水平渐近线:
⑵铅直渐近线:
第三章一元函数积分学
§3.1不定积分
一、主要内容
㈠重要的概念及性质:
1.原函数:
设:
f(x),F(x),xD
若:
F(x)f(x)
则称F(x)是f(x)的一个原函数,
并称F(x)C是f(x)的所有原函数,
其中C是任意常数。
2.不定积分:
函数f(x)的所有原函数的全体,
称为函数f(x)的不定积分;记作:
其中:
f(x)称为被积函数;
f(x)dx称为被积表达式;
x称为积分变量。
3.不定积分的性质:
⑴f(x)dxf(x)
或:
df(x)dxf(x)dx
⑵f(x)dx
f(x)
C
或:
df(x)
⑶[f1(x)
f(x)
f2(x)
C
fn(x)]dx
—分项积分法
⑷kf(x)dxkf(x)dx(k为非零常数)
4.基本积分公式:
㈡换元积分法:
⒈第一换元法:
(又称“凑微元”法)常用的凑微元函数有:
1
d(ax)
1
1o
dx
d(axb)
a
a
(a,b为常数,a0)
2o
xmdx
1
dxm1
1
d(axm1
b)
m
1
a(m
1)
oexdxd(ex)
1d(aex
b)
3
a
o
1dxd(lnx)
4
x
5osindxd(cosx)cosxdxd(sinx)
1
dxd(arcsinx)
d(arccosx)
6o
x
2
1
2.第二换元
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