参数方程练习试题docx.docx
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参数方程练习试题docx
一、选择题:
1.直线l的参数方程为
x
a
t(t为参数),l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a,b)之间的
y
b
t
距离是(C
)
A.t1
B.2t1
C.2t1
D.
2t1
2
2.参数方程为
x
t
1
(t为参数)表示的曲线是(D
t
)
y
2
A.一条直线
B.两条直线
C.一条射线
D.两条射线
x
1
1
t
2
(t为参数)和圆x2
y2
3.直线
16
交于A,B两点,则AB的中点坐标为(D
)
y
33
3t
2
A.(3,
3)
B
.(
3,3)
C.(3,3)
D.(3,
3)
4.把方程xy
1化为以t参数的参数方程是(
D
)
1
x
sint
x
cost
xtant
x
t2
A.
1
B.
y
1
C.
1
D.
y
1
y
t
2
sint
y
cost
tant
5.若点
P(3,m)
x
4t
2
PF
等于(C
在以点
为焦点的抛物线
为参数
上,则
)
F
(t
)
y
4t
A.2B.3C.4D.5
6.直线x
3
tsin200
(t
为参数)的倾斜角是(
)
y
1tcos200
.70
0
C
二、填空题:
7.曲线的参数方程是
x
1
1
为参数,t
0
,则它的普通方程为_
x(x
2)
____
t
(t
)
y
2
(x1)
y
1
t2
(x
1)
8.点P(x,y)是椭圆2x23y212上的一个动点,则x2y的最大值为_____22______。
x
2pt2
(t为参数,p为正常数)上的两点M,N
对应的参数分别为t1和t2,,
9.已知曲线
2pt
y
且t1
t2
0,那么MN=______4pt1
___
10.直线
x
tcos
与圆
x
42cos
相切,则_____
或5
__________。
y
tsin
y
2sin
6
6
x=t
11.设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴
y=t2
建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为__cos2sin0_____.
三、解答题:
12.已知点
P(x,y)是圆
x2
y2
2y
上的动点,
(1)求
2x
y的取值范围;
(2)若
x
ya
0恒成立,求实数
a的取值范围。
解:
(1)设圆的参数方程为
x
cos
,
y
1
sin
2x
y
2cos
sin
1
5sin(
)
1
512xy51
(2)xy
acos
sin
1a
0
a
(cos
sin)
1
2sin(
)
1
4
a
2
1
x
1
(et
et
)cos
13.分别在下列两种情况下,把参数方程
2
化为普通方程:
1(et
y
et
)sin
2
(1)为参数,t为常数;
(2)t为参数,
为常数;
1.解:
(1)当t
0时,y
0,x
cos
,即x
1,且y
0
;
当t
0时,cos
x
sin
y
1(et
et)
1(et
et)
2
2
而x2
y2
1,即
1t
x2
1
y2
1
e
t
)
2
t
e
t
2
(e
(e
)
4
4
(2)当
k,k
Z时,y
0,x
1(et
et),即x
1,且y
0;
2
当
k
2
kZ时,x
0,y
1(et
et),即x
0;
2
k
et
et
2x
2et
2x
2y
当
k
Z时,得
cos
,即
cos
sin
2
et
et
2y
2et
2x
2y
sin
cos
sin
得2et2et
(
2x
2y
)(
2x
2y
)
cos
sin
cos
sin
即
x2
y2
1。
cos2
sin2
14.已知直线
l
经过点
P(1,1)
倾斜角
,()写出直线
l
的参数方程。
6
1
(2)设l与圆x2
y2
4相交与两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积。
x
1
tcos
x
1
3
t
解:
(1)直线的参数方程为
6,即
2
y
1
tsin
6
y
1
1t
2
x
1
3
t
3t)2
1t)2
(2)把直线
2
代入x2
y2
4得(1
(1
4,t2
(
31)t20
y
1
1t
2
2
2
t1t2
2,则点P到A,B两点的距离之积为
2
15.过点P(
10,0)作倾斜角为
的直线与曲线x2
12y2
1交于点M,N,求PM
PN的最大值
2
及相应的的值。
x
10
tcos
(t为参数),代入曲线并整理得
解:
设直线为
2
y
tsin
3
3
(1
sin2
)t2
(
10cos)t
0,则PM
PN
t1t2
2
2
1sin2
所以当sin2
1
时,即
2
,
PM
PN的最大值为
3
,此时
0。
2
16.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
.已知点A的极坐标为
2,,直线l的极坐标方程为
cos(
)
a,且点A在直线l上。
4
4
(Ⅰ)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(Ⅱ)圆C的参数方程为
x
1
cosa,(a为参数),试判断直线
l
与圆C的位置关系.
y
sina
【解析】(Ⅰ)由点A(
2,
)在直线
cos(
)
a上,可得a
2
4
4
所以直线l
的方程可化为
cos
sin
2
从而直线l
的直角坐标方程为
x
y2
0
(Ⅱ)由已知得圆
C的直角坐标方程为
(x
1)2
y2
1
所以圆心为
(1,0)
,半径r
1
以为圆心到直线的距离d
2
1,所以直线与圆相交
2
17.在直角坐标系中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为.
(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极
轴)中,点P的极坐标为(4,),判断点P与直线l的位置关系;
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
解:
(1)把极坐标下的点(4,)化为直角坐标得:
P(0,4)又点P的坐标满足直线方程,所以点P在
2
直线l上。
(2)因为点Q在曲线C上,故可设点Q的坐标为(3sin,cos),从而点Q到直线l的距离为
|3cos
sin
4|
2cos(
)
4
d
6
2cos(
)
22
,因此当cos(
)1
2
2
6
6
时,d去到最小值,且最小值为
2。
x
3
2t,
18.在直角坐标系
xoy中,直线l的参数方程为
2
(t
为参数)。
在极坐标系(与直角坐
2t
y
5
2
标系xoy
取相同的长度单位,且以原点
O为极点,以
x轴正半轴为极轴)中,圆
C的方程为
2
5sin
。
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为(3,
5),
求|PA|+|PB|。
【解析】(Ⅰ)由
25sin
得x2
y2
2
5y
0,即x2
(y
5)2
5.
(Ⅱ)将l
的参数方程代入圆
C的直角坐标方程,得
(3
2t)2
(
2t)2
5,
2
2
即t2
32t
4
0,由于
(32)2
4
4
2
0,故可设t1,t2是上述方程的两实根,
所以t1
t2
3
2,又直线l过点P(3,
5),故由上式及t
的几何意义得:
t1t2
4
|PA|+|PB|=
|t1|+|t2|=t1+t2=3
2。
19.已知直线C1
x
1tcos
x
cos
(
为参数),
y
tsin
(t为参数),C2
sin
y
(Ⅰ)当
=
时,求C1与C2的交点坐标;
3
(Ⅱ)过坐标原点
O做C的垂线,垂足为
A,P为OA中点,当
变化时,求P点的轨迹的参数方程,
1
并指出它是什么曲线。
(23)解:
(Ⅰ)当时,C1的普通方程为y3(x1),C2的普通方程为x2y21。
联立方程组
y
3(x
1),解得C1与C2的交点为(1,0)
1,
3。
x2
y2
1
2
2
(Ⅱ)C1的普通方程为xsinycossin
0。
A点坐标为sin2
cossin
x
1sin2
2
为参数
y
1sincos
2
,故当变化时,P点轨迹的参数方程为:
P点轨迹的普通方程为。
故P点轨迹是圆心为
1,,半径为
1的圆。
0
4
4
22.已知曲线的参数方程是,以坐标原点为极点,轴的正半轴
为极轴建立坐标系,曲线的坐标系方程是,正方形的顶点都在上,且依逆时针次序排列,点的极坐标为
(1)求点的直角坐标;
(2)设为上任意一点,求的取值范围。
【解析】
(1)点的极坐标为
点的直角坐标为
(2)设;则
21.在直角坐标系
xOy中,以O为极点,
x轴正半轴为极轴建立极坐标系。
圆
C1,直线C2的极坐标
方程分别为
4sin
cos(
)
2
2.
4
()求C1与C2的交点的极坐标;
(
)设P为C1的圆心,Q为C1与C2的交点连线的中点,已知直线
x
t3
a,
).
求a,b的值。
PQ的参数方程为
(t
为参数
bt31
R
y
2
【解析】()由
x2
y2,
cos
x,sin
y得,
圆C1的直角坐标方程为
x2
(y
2)2
4
,直线
C2的直角坐标方程分别为x
y40
x2
(y2)2
4,
解得
x1
0,
x2
2,
由
y1
4,
y2
2,
x
y4
0.
所以圆C1,直线C2的交点直角坐标为
(0,4),(2,2)
再由
x2
y2,
cos
x,
sin
y,将交点的直角坐标化为极坐标(4,),(2
2,)所以C1
2
4
与C2的交点的极坐标
(4,
),(2
2,
)
24
()由()知,点P,Q的直
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