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课后习题答案
第1章46页
4.【解答】⑴基本语句是k=k+10*i,共执行了n-2次,所以T(n)=O(n)。
⑵基本语句是k=k+10*i,共执行了n次,所以T(n)=O(n)。
⑶分析条件语句,每循环一次,i+j整体加1,共循环n次,所以T(n)=O(n)。
⑷设循环体共执行T(n)次,每循环一次,循环变量y加1,最终T(n)=y,即:
(T(n)+1)2≤n,所以T(n)=O(n1/2)。
⑸x++是基本语句,所以
5.【解答】其逻辑结构图如图1-3所示,它是一种图结构。
7.【解答】第二种算法的时间性能要好些。
第一种算法需执行大量的乘法运算,而第二种算法进行了优化,减少了不必要的乘法运算。
8.
(1)【解答】下面是简单选择排序算法的伪代码描述。
下面是简单选择排序算法的C++描述。
分析算法,有两层嵌套的for循环,所以,
。
⑵【解答】算法的伪代码描述如下:
算法的C++描述如下:
分析算法,只有一层循环,共执行n-2次,所以,T(n)=O(n)。
第2章78页
4.【解答】顺序表的优点:
①无需为表示表中元素之间的逻辑关系而增加额外的存储空间;②可以快速地存取表中任一位置的元素(即随机存取)。
顺序表的缺点:
①插入和删除操作需移动大量元素;②表的容量难以确定;③造成存储空间的“碎片”。
单链表的优点:
①不必事先知道线性表的长度;②插入和删除元素时只需修改指针,不用移动元素。
单链表的缺点:
①指针的结构性开销;②存取表中任意元素不方便,只能进行顺序存取。
⑴应选用顺序存储结构。
因为顺序表是随机存取结构,单链表是顺序存取结构。
本题很少进行插入和删除操作,所以空间变化不大,且需要快速存取,所以应选用顺序存储结构。
⑵应选用链接存储结构。
链表容易实现表容量的扩充,适合表的长度动态发生变化。
⑶应选用链接存储结构。
因为一个城市的设计和规划涉及活动很多,需要经常修改、扩充和删除各种信息,才能适应不断发展的需要。
而顺序表的插入、删除的效率低,故不合适。
5.算法设计
⑴【解答】算法思想请参见主教材第一章思想火花。
下面给出具体算法。
分析算法,第一次调用Reverse函数的时间复杂度为O(k),第二次调用Reverse函数的时间复杂度为O(n-k),第三次调用Reverse函数的时间复杂度为O(n),所以,总的时间复杂度为O(n)。
⑵【解答】从数组的两端向中间比较,设置两个变量i和j,初始时i=0,j=n-1,若A[i]为偶数并且A[j]为奇数,则将A[i]与A[j]交换。
具体算法如下:
分析算法,两层循环将数组扫描一遍,所以,时间复杂度为O(n)。
⑶【解答】参见2.2.3。
⑷试分别以顺序表和单链表作存储结构,各写一实现线性表就地逆置的算法。
【解答】顺序表的逆置,即是将对称元素交换,设顺序表的长度为length,则将表中第i个元素与第length-i-1个元素相交换。
具体算法如下:
单链表的逆置请参见2.2.4算法2-4和算法2-6。
⑸【解答】利用单循环链表的特点,通过指针s可找到其前驱结点r以及r的前驱结点p,然后将结点r删除,如图2-11所示,具体算法如下:
⑹【解答】在单链表A中依次取元素,若取出的元素是字母,把它插入到字母链表B中,若取出的元素是数字,则把它插入到数字链表D中,直到链表的尾部,这样表B,D,A中分别存放字母、数字和其他字符。
具体算法如下:
⑺【解答】从头到尾扫描单链表,若当前结点的元素值与后继结点的元素值不相等,则指针后移;否则删除该后继结点。
具体算法如下:
⑻【解答】设工作指针p和q分别指向循环双链表的开始结点和终端结点,若结点p和结点q的数据域相等,则工作指针p后移,工作指针q前移,直到指针p和指针q指向同一结点(循环双链表中结点个数为奇数),或结点q成为结点p的前驱(循环双链表中结点个数为偶数)。
如图2-12所示。
第3章4.【解答】⑴不能,因为在C、E出栈的情况下,A一定在栈中,而且在B的下面,不可能先于B出栈。
⑵可以,设I为进栈操作,O为入栈操作,则其操作序列为IIIOOOIOIO。
5.【解答】假设有一个顺序队列,如图3-6所示,队尾指针rear=4,队头指针front=1,如果再有元素入队,就会产生“上溢”,此时的“上溢”又称为“假溢出”,因为队列并不是真的溢出了,存储队列的数组中还有2个存储单元空闲,其下标分别为0和1。
6.【解答】栈顶元素为6,栈底元素为1。
其执行过程如图3-7所示。
7.【解答】队头元素为5,队尾元素为9。
其执行过程如图3-8所示。
8.【解答】不含任何字符的串称为空串,其长度为零。
仅含空格的串称为空格串,它的长度为串中空格符的个数。
串中的空格符可用来分隔一般的字符,便于人们识别和阅读,但计算串长时应包括这些空格符。
空串在串处理中可作为任意串的子串。
9.⑴【解答】出队操作是在循环链表的头部进行,相当于删除开始结点,而入队操作是在循环链表的尾部进行,相当于在终端结点之后插入一个结点。
由于循环链表不带头结点,需要处理空表的特殊情况。
入队算法如下:
出队算法如下:
⑵【解答】操作步骤为:
①将所有元素出栈并入队;
②依次将队列元素出队,如果是偶数结点,则再入队,如果是奇数结点,则入栈;
③将奇数结点出栈并入队;
④将偶数结点出队并入栈;
⑤将所有元素出栈并入队;
⑥将所有元素出队并入栈即为所求。
⑶【解答】先判断串S中要删除的内容是否存在,若存在,则将第i+j-1之后的字符前移j个位置。
算法如下:
⑷【解答】从后向前删除值为ch的所有元素,这样所有移动的元素中没有值为ch的元素,能减少移动元素的次数,提高算法的效率。
算法如下:
⑸对串的模式匹配KMP算法设计求模式滑动位置的next函数。
【解答】参见3.2.5
4.【解答】对应的三元组顺序表如图4-5所示,十字链表如图4-6所示。
5.【解答】设稀疏矩阵为m行n列,如果采用二维数组存储,其空间复杂度为O(m×n);因为要将所有的矩阵元素累加起来,所以,需要用一个两层的嵌套循环,其时间复杂度亦为O(m×n)。
如果采用三元组顺序表进行压缩存储,假设矩阵中有t个非零元素,其空间复杂度为O(t),将所有的矩阵元素累加起来只需将三元组顺序表扫描一遍,其时间复杂度亦为O(t)。
当t< 6.【解答】⑴ST=((基本工资,津贴,奖金),(水,电,煤气),实发金额) Head(Tail(Tail(Head(ST))))=奖金 ⑵工资表ST的头尾表示法如图4-7所示。 7.【解答】在矩阵中逐行寻找该行中的最小值,然后对其所在的列寻找最大值,如果该列上的最大值与该行上的最小值相等,则说明该元素是鞍点,将它所在行号和列号输出。 具体算法如下: 分析算法,外层for循环共执行n次,内层第一个for循环执行m次,第二个for循环最坏情况下执行n次,所以,最坏情况下的时间复杂度为O(mn+n2)。 第5章4.解答】因为在满二叉树中没有度为1的结点,所以有: n=n0+n2 设B为树中分枝数,则n=B+1 所以B=n0+n2-1再由二叉树性质: n0=n2+1 代入上式有: B=n0+n0-1-1=2(n0-1) 5.【解答】证明采用归纳法。 设二叉树的前序遍历序列为a1a2a3…an,中序遍历序列为b1b2b3…bn。 当n=1时,前序遍历序列为a1,中序遍历序列为b1,二叉树只有一个根结点,所以,a1=b1,可以唯一确定该二叉树; 假设当n<=k时,前序遍历序列a1a2a3…ak和中序遍历序列b1b2b3…bk可唯一确定该二叉树,下面证明当n=k+1时,前序遍历序列a1a2a3…akak+1和中序遍历序列b1b2b3…bkbk+1可唯一确定一棵二叉树。 在前序遍历序列中第一个访问的一定是根结点,即二叉树的根结点是a1,在中序遍历序列中查找值为a1的结点,假设为bi,则a1=bi且b1b2…bi-1是对根结点a1的左子树进行中序遍历的结果,前序遍历序列a2a3…ai是对根结点a1的左子树进行前序遍历的结果,由归纳假设,前序遍历序列a2a3…ai和中序遍历序列b1b2…bi-1唯一确定了根结点的左子树,同样可证前序遍历序列ai+1ai+2…ak+1和中序遍历序列bi+1bi+2…bk+1唯一确定了根结点的右子树。 6.【解答】设该树的总结点数为n,则n=n0+n1+n2+……+nm 又: n=分枝数+1=0×n0+1×n1+2×n2+……+m×nm+1 由上述两式可得: n0=n2+2n3+……+(m-1)nm+1 7.【解答】二叉树的构造过程如图5-12所示。 8【解答】构造的哈夫曼树如图5-13所示。 树的带权路径长度为: WPL=2×4+3×4+5×3+7×3+8×3+9×2+11×2=120 9.【解答】以各字符出现的次数作为叶子结点的权值构造的哈夫曼编码树如图5-14所示。 其带权路径长度=2×5+1×5+3×4+5×3+9×2+4×3+4×3+7×2=98,所以,该字符串的编码长度至少为98位。 10.⑴【解答】本算法不是要打印每个结点的值,而是求出结点的个数。 所以可将遍历算法中的“访问”操作改为“计数操作”,将结点的数目累加到一个全局变量中,每个结点累加一次即完成了结点个数的求解。 具体算法如下: ⑵【解答】本算法的要求与前序遍历算法既有相同之处,又有不同之处。 相同之处是打印次序均为前序,不同之处是此处不是打印每个结点的值,而是打印出其中的叶子结点,即为有条件打印。 为此,将前序遍历算法中的访问操作改为条件打印即可。 算法如下: ⑶【解答】当二叉树为空时,深度为0;若二叉树不为空,深度应是其左右子树深度的最大值加1,而其左右子树深度的求解又可通过递归调用本算法来完成。 具体算法如下: ⑷【解答】要想得到后序的逆序,只要按照后序遍历相反的顺序即可,即先访问根结点,再遍历根结点的右子树,最后遍历根结点的左子树。 注意和前序遍历的区别,具体算法如下: ⑸【解答】对二叉链表进行遍历,在遍历的过程中查找结点x并记载其双亲。 具体算法如下: ⑹【解答】对二叉链表进行遍历,在遍历的过程中查找结点x并记载其双亲,然后将结点x的双亲结点中指向结点x的指针置空。 具体算法如下: ⑺一棵具有n个结点的二叉树采用顺序存储结构,编写算法对该二叉树进行前序遍历。 【解答】按照题目要求,设置一个工作栈以完成对该树的非递归算法,思路如下: ①每访问一个结点,将此结点压栈,查看此结点是否有左子树,若有,访问左子树,重复执行该过程直到左子树为空。 ②从栈弹出一个结点,如果此结点有右子树,访问右子树执行步骤①,否则重复执行步骤②。 具体算法如下: ⑻【解答】对二叉树进行后序遍历,在遍历过程中访问某结点时交换该结点的左右子树。 具体算法如下: ⑼【解答】先在链表中进行遍历,在遍历过程中查找值等于x的结点,然后由此结点的最左孩子域firstchild找到值为x结点的第一个孩子,再沿右兄弟域rightsib找到值为x结点的第i个孩子并返回指向这个孩子的指针。 树的孩子兄弟表示法中的结点结构定义如下: template structTNode { Tdata; TNode*firstchild,*rightsib; }; 具体算法如下: 第6章4.【解答】⑴边表中的结点个数之和除以2。 ⑵第i个边表中是否含有结点j。 ⑶该顶点所对应的边表中所含结点个数。 5.【解答】⑴邻接矩阵中非零元素个数的总和除以2。 ⑵当邻接矩阵A中A[i][j]=1(或A[j][i]=1)时,表示两顶点之间有边相连。 ⑶计算邻接矩阵上该顶点对应的行上非零元素的个数。 6.【解答】用反证法证明。 设v1,v2,…,vk是生成树的一条最长路径,其中,v1为起点,vk为终点。 若vk的度为2,取vk的另一个邻接点v,由于生成树中无回路,所以,v在最长路径上,显然v1,v2,…,vk,v的路径最长,与假设矛盾。 所以生成树中最长路径的终点的度为1。 同理可证起点v1的度不能大于1,只能为1。 7.【解答】邻接矩阵表示如下: 深度优先遍历序列为: v1v2v3v5v4v6 广度优先遍历序列为: v1v2v4v6v3v5 邻接表表示如下: 8.【解答】按Prim算法求最小生成树的过程如下: 按Kruskal算法求最小生成树的过程如下: 9.【解答】从源点v1到其他各顶点的最短路径如下表所示。 源点终点最短路径最短路径长度 v1v7v1v77 v1v5v1v511 v1v4v1v7v413 v1v6v1v7v4v616 v1v2v1v7v222 v1v3v1v7v4v6v325 10.【解答】从源点v1到其他各顶点的最短路径如下表所示。 源点终点最短路径最短路径长度 v1v3v1v315 v1v5v1v515 v1v2v1v3v225 v1v6v1v3v2v640 v1v4v1v3v2v445 11.【解答】任意n个结点的有向无环图都可以得到一个拓扑序列。 设拓扑序列为v0v1v2…vn-1,我们来证明此时的邻接矩阵A为上三角矩阵。 证明采用反证法。 假设此时的邻接矩阵不是上三角矩阵,那么,存在下标i和j(i>j),使得A[i][j]不等于零,即图中存在从vi到vj的一条有向边。 由拓扑序列的定义可知,在任意拓扑序列中,vi的位置一定在vj之前,而在上述拓扑序列v0v1v2…vn-1中,由于i>j,即vi的位置在vj之后,导致矛盾。 因此命题正确。 第7章4.【解答】查找关键码e的过程如图7-9所示,查找关键码g的过程如图7-10所示。 5【解答】参见7.2.1。 6.【解答】二叉排序树如图7-11所示,其平均查找长度=1+2×2+3×2+4×2=19/7 7【解答】二叉排序树中各结点的值如图7-13所示。 8.【解答】H(25)=1,H(37)=1,H(52)=4,H(43)=7,H(84)=0,H(99)=3, H(120)=0,H(15)=3,H(26)=2,H(11)=11,H(70)=10,H(82)=10 构造的开散列表如下: 平均查找长度ASL=(8×1+4×2)/12=16/12 9.⑴【解答】将哨兵设置在下标高端,表示从数组的低端开始查找,在查找不成功的情况下,算法自动在哨兵处终止。 具体算法如下: ⑵编写算法求给定结点在二叉排序树中所在的层数。 【解答】根据题目要求采用递归方法,从根结点开始查找结点p,若待查结点是根结点,则深度为1,否则到左子树(或右子树)上去找,查找深度加1。 具体算法如下: ⑶【解答】设两个结点分别为A和B,根据题目要求分下面情况讨论: ⑴若A为根结点,则A为公共祖先; ⑵若A->datadata且root->datadata,root为公共祖先; ⑶若A->datadata且B->datadata,则到左子树查找; ⑷若A->data>root->data且B->data>root->data,则到右子树查找。 具体算法如下: ⑷设计算法判定一棵二叉树是否为二叉排序树。 【解答】对二叉排序树来讲,其中序遍历序列为一个递增序列。 因此,对给定二叉树进行中序遍历,如果始终能够保证前一个值比后一个值小,则说明该二叉树是二叉排序树。 具体算法如下: 第8章5.【解答】最好情况: 4,7,5,6,3,1,2 最坏情况: 7,6,5,4,3,2,1 6.【解答】序列⑴是堆,序列⑵不是堆,调整为堆(假设为大根堆)的过程如图8-5所示。 7.【解答】依题意,最好情况下的比较次数即为最少比较次数。 ⑴插入第i(2≤i≤n)个元素的比较次数为1,因此总的比较次数为: 1+1+……+1=n-1 ⑵插入第i(2≤i≤n)个元素的比较次数为i,因此总的比较次数为: 2+3+……+n=(n-1)(n+2)/2 ⑶比较次数最少的情况是所有记录关键码按升序排列,总的比较次数为: n-1 ⑷在后半部分元素的关键码均大于前半部分元素的关键码时需要的比较次数最少,总的比较次数为: n-1 8.⑴【解答】插入排序的基本思想是: 每趟从无序区中取出一个元素,再按键值大小插入到有序区中。 对于有序区,当然可以采用折半查找来确定插入位置。 具体算法如下: mosimage} ⑵【解答】本算法采用的存储结构是带头结点的单链表。 首先找到元素的插入位置,然后把元素从链表中原位置删除,再插入到相应的位置处。 具体算法如下: ⑶【解答】参见8.2.2。 ⑷【解答】本算法不要求将整个记录进行排序,而只进行查找第j个记录。 ⑸【解答】先调用划分函数Quickpass(划分函数同教材),以确定中间位置,然后再借助栈分别对中间元素的左、右两边的区域进行快速排序。 ⑹【解答】本题的基本思想是: 先设置好上、下界和轴值,然后分别从线性表两端查找正数和负数,找到后进行交换,直到上下界相遇。 算法如下: ⑺已知(k1,k2,…,kn)是堆,试写一算法将(k1,k2,…,kn,kn+1)调整为堆。 【解答】增加一个元素应从叶子向根方向调整,假设调整为小根堆。 ⑻【解答】采用二路归并排序中一次归并的思想,设三个参数i、j和k分别指向两个待归并的有序序列和最终有序序列的当前记录,初始时i、j分别指向两个有序序列的第一个记录,即i=1,j=1,k指向存放归并结果的位置,即k=1。 然后,比较i和j所指记录的关键码,取出较小者作为归并结果存入k所指位置,直至两个有序序列之一的所有记录都取完,再将另一个有序序列的剩余记录顺序送到归并后的有序序列中。
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