本科离散数学e.docx
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本科离散数学e
一、单项选择题
1.设P:
a是偶数,Q:
b是偶数。
R:
a+b是偶数,那么命题“假设a是偶数,b是偶数,那么a+b也是偶数〞符号化为〔D.PQ→R〕。
2.表达式
x〔P〔x,y〕
Q〔z〕〕
y〔Q〔x,y〕→
zQ〔z〕〕中
x的辖域是〔P〔x,y〕Q〔z〕〕。
3.设
那么命题为假的是〔
〕。
4.设G是有n个结点的无向完全图,那么G的边数〔1/2n〔n-1〕〕。
5.设G是连通平面图,有v个结点,e条边,r个面,那么r=〔e-v+2〕。
6.假设集合A={1,{2},{1,2}},那么以下表述正确的选项是({1}⊂A).
7.一棵无向树T中有8个顶点,4度、3度、2度的分支点各一个,T的树叶数为(5).
8.设无向图G的邻接矩阵为
那么G的边数为(7).
9.设集合A={a},那么A的幂集为({∅,{a}}).
10.以下公式中(⌝A∧⌝B↔⌝(A∨B))为永真式.
11.假设G是一个汉密尔顿图,那么G一定是(连通图).
12.集合A={1,2,3,4}上的关系R={
A},那么R的性质为〔传递的〕.
13.设集合A={1,2,3,4,5},偏序关系≤是A上的整除关系,那么偏序集上的元素5是集合A的〔极大元〕.
14.图G如图一所示,以下说法正确的选项是({(a,d),(b,d)}是边割集).
图一
15.设A〔x〕:
x是人,B〔x〕:
x是工人,那么命题“有人是工人〞可符号化为〔(
x)(A(x)∧B(x))〕.
16.假设集合A={1,2},B={1,2,{1,2}},那么以下表述正确的选项是(A⊂B,且A∈B).
17.设有向图〔a〕、〔b〕、〔c〕与〔d〕如图一所示,那么以下结论成立的是(〔d〕是强连通的).
18.设图G的邻接矩阵为
那么G的边数为(5).
19.无向简单图G是棵树,当且仅当(G连通且边数比结点数少1).
20.以下公式((P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)))为重言式.
21.假设集合A={a,{a},{1,2}},那么以下表述正确的选项是({a}⊆A).
22.设图G=
).
23.命题公式〔P∨Q〕→R的析取范式是(〔⌝P∧⌝Q〕∨R)
24.以下等价公式成立的为(P→(⌝Q→P)⇔⌝P→(P→Q)).
25.设A={a,b},B={1,2},R1,R2,R3是A到B的二元关系,且R1={,},R2={,,},R3={,},那么〔R2〕不是从A到B的函数.
26.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6},那么集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为(无、2、无、2).
27.假设集合A的元素个数为10,那么其幂集的元素个数为〔1024〕.
28.如图一所示,以下说法正确的选项是(e是割点).
图一
29.设完全图K
有n个结点(n≥2),m条边,当〔n为奇数〕时,K
中存在欧拉回路.
30.图G的邻接矩阵为
,那么G有〔5点,7边〕.
二、填空题〔每题3分,共15分〕
1.设A,B为任意命题公式,C为重言式,假设A
C
B
C,那么A
B是重言式〔重言式、矛盾式或可满足式〕。
2.命题公式〔P→Q〕
P的主合取范式为
。
3.设集合A={
,{a}},那么P〔A〕=
。
4.设图G=〈V,E〉,G′=〈V′,E′〉,假设V′=V,E′E,那么G′是G的生成子图。
5.在平面G=〈V,E〉中,那么
=2|E|,其中
〔i=1,2,…,r〕是G的面。
6.命题公式
的真值是假〔或F,或0〕 .
7.假设无向树T有5个结点,那么T的边数为4.
8.设正那么m叉树的树叶数为t,分支数为i,那么(m-1)i=t-1.
9.设集合A={1,2}上的关系R={<1,1>,<1,2>},那么在R中仅需加一个元素<2,1>,就可使新得到的关系为对称的.
10.(∀x)(A(x)→B(x,z)∨C(y))中的自由变元有z,y.
11.假设集合A={1,3,5,7},B={2,4,6,8},那么A∩B= 空集〔或∅〕.
12.设集合A={1,2,3}上的函数分别为:
f={<1,2>,<2,1>,<3,3>,},g={<1,3>,<2,2>,<3,2>,},那么复合函数g︒f={<1,2>,<2,3>,<3,2>,}.
13.设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,那么G的结点度数之和为2|E|〔或“边数的两倍〞〕.
14.无向连通图G的结点数为v,边数为e,那么G当v与e满足e=v-1关系时是树.
15.设个体域D={1,2,3},P(x)为“x小于2”,那么谓词公式(∀x)P(x)的真值为假〔或F,或0〕.
16.命题公式
的真值是 T〔或1〕 .
17.假设图G=
18.给定一个序列集合{000,001,01,10,0},假设去掉其中的元素0,那么该序列集合构成前缀码.
19.一棵无向树T中有8个结点,4度,3度,2度的分支点各一个,T的树叶数为5.
20.(∀x)(P(x)→Q(x)∨R(x,y))中的自由变元为R(x,y)中的y.
21.设集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},R是A到B的二元关系,
那么R的有序对集合为 {<2,2>,<2,3>,<3,2>},<3,3> .
22.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,那么v,e和r满足的关系式v-e+r=2.
23.设G=
24.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且所有结点的度数全为偶数.
25.设个体域D={1,2},那么谓词公式
消去量词后的等值式为A
(1)∨A
(2).
26.设集合A={a,b},那么集合A的幂集是{∅,{a,b},{a},{b}}.
27.如果R1和R2是A上的自反关系,那么R1∪R2,R1∩R2,R1-R2中自反关系有2个.
28.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,那么可从G中删去4条边后使之变成树.
29.设连通平面图G的结点数为5,边数为6,那么面数为3.
30.设个体域D={a,b},那么谓词公式(∀x)A(x)∧〔∃x〕B〔x〕消去量词后的等值式为(A(a)∧A(b))∧(B〔a〕∨B〔b〕).
31.设集合A={0,1,2},B={l,2,3,剖,R是A到B的二元关系,R={
32.设G是连通平面图,v,e,r分别表示G的结点数,边数和面数,那么v,e和r满足的关系式__v-e+r=2_____
33.G=
34.无向图G存在欧拉回路,当且仅当G所有结点的度数全为偶数且_连通____
35.设个体域D={1,2},那么谓词公式∀xA(x)消去量词后的等值式为__A
(1)∧A
(2)___
三、化简解答题
11.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R,R={〈1,1〉,〈1,4〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,2〉,〈3,3〉,〈4,1〉,〈4,4〉},说明R是A上的等价关系。
解从R的表达式知,
即R具有自反性;
三、逻辑公式翻译
1.将语句“今天上课.〞翻译成命题公式.
设P:
今天上课,那么命题公式为:
P.
2.将语句“他去操场锻炼,仅当他有时间.〞翻译成命题公式.
设P:
他去操场锻炼,Q:
他有时间,那么命题公式为:
PQ.
3.将语句“他是学生.〞翻译成命题公式.
设P:
他是学生,那么命题公式为:
P.
4.将语句“如果明天不下雨,我们就去郊游.〞翻译成命题公式.
设P:
明天下雨,Q:
我们就去郊游,那么命题公式为:
⌝P→Q.
5.将语句“他不去学校.〞翻译成命题公式.
设P:
他去学校,⌝P.
6.将语句“他去旅游,仅当他有时间.〞翻译成命题公式.
设P:
他去旅游,Q:
他有时间,P→Q.
7.将语句“所有的人都学习努力.〞翻译成命题公式.
设P(x):
x是人,Q(x):
x学习努力,〔∀x〕(P(x)→Q(x)).
8.将语句“如果你去了,那么他就不去.〞翻译成命题公式.
设P:
你去,Q:
他去,P→⌝Q.
9.将语句“小王去旅游,小李也去旅游.〞翻译成命题公式.
设P:
小王去旅游,Q:
小李去旅游,P∧Q.
10.将语句“所有人都去工作.〞翻译成谓词公式.
设P(x):
x是人,Q(x):
x去工作,(∀x)(P(x)→Q(x)).
11.将语句“如果所有人今天都去参加活动,那么明天的会议取消.〞翻译成命题公式.
设P:
所有人今天都去参加活动,Q:
明天的会议取消,P→Q.
12.将语句“今天没有人来.〞翻译成命题公式.
设P:
今天有人来,⌝P.
13.将语句“有人去上课.〞翻译成谓词公式.
设P(x):
x是人,Q(x):
x去上课,(∃x)(P(x)∧Q(x)).
11.将语句"如果小李学习努力,那么他就会取得好成绩."翻译成命题公式.
设P:
小李学习努力,Q:
小李会取得好成绩,P→Q
12.将语句"小张学习努力,小王取得好成绩."翻译成命题公式.
设P:
小张学习努力,Q:
小王取得好成绩,P∧Q
四、判断说明题
1.设集合A={1,2},B={3,4},从A到B的关系为f={<1,3>},那么f是A到B的函数.
错误.因为A中元素2没有B中元素与之对应,故f不是A到B的函数.
2.设G是一个有4个结点10条边的连通图,那么G为平面图.
错误.不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,假设v≥3,那么e≤3v-6.〞
3.设N、R分别为自然数集与实数集,f:
N→R,f(x)=x+6,那么f是单射.
正确.设x1,x2为自然数且x1≠x2,那么有f(x1)=x1+6≠x2+6=f(x2),故f为单射.
4.下面的推理是否正确,试予以说明.
(1)〔∀x〕F〔x〕→G〔x〕前提引入
(2)F〔y〕→G〔y〕US〔1〕.
错误.
〔2〕应为F〔y〕→G〔x〕,换名时,约束变元与自由变元不能混淆.
5.如图二所示的图G存在一条欧拉回路.
图二
错误.因为图G为中包含度数为奇数的结点.
6.设G是一个有6个结点14条边的连通图,那么G为平面图.
错误.不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图,假设v≥3,那么e≤3v-6.〞
7.如果R1和R2是A上的自反关系,那么R1∪R2是自反的.
正确.R1和R2是自反的,∀x∈A,
8.如图二所示的图G存在一条欧拉回路.
正确.因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数.
9.┐P∧〔P→┐Q〕∨P为永真式.
正确.
┐P∧〔P→┐Q〕∨P是由┐P∧〔P→┐Q〕与P组成的析取式,
如果P的值为真,那么┐P∧〔P→┐Q〕∨P为真,
如果P的值为假,那么┐P与P→┐Q为真,即┐P∧〔P→┐Q〕为真,
也即┐P∧〔P→┐Q〕∨P为真,
所以┐P∧〔P→┐Q〕∨P是永真式.
另种说明:
┐P∧〔P→┐Q〕∨P是由┐P∧〔P→┐Q〕与P组成的析取式,
只要其中一项为真,那么整个公式为真.
可以看到,不管P的值为真或为假,┐P∧〔P→┐Q〕与P总有一个为真,
所以┐P∧〔P→┐Q〕∨P是永真式.
或用等价演算┐P∧〔P→┐Q〕∨P⇔T
10.假设偏序集的哈斯图如图一所示,那么集合A的最大元为a,最小元不存在.
图一
正确.
对于集合A的任意元素x,均有
11.如果R1和R2是A上的自反关系,那么R1∩R2是自反的。
正确,R1和R2,是自反的,∀x∈A,
12.如图二所示的图中存在一条欧拉回路.
图二
正确,因为图G为连通的,且其中每个顶点的度数为偶数。
五.计算题〔每题12分,此题共36分〕
1.试求出〔P∨Q〕→〔R∨Q〕的析取范式.
〔P∨Q〕→〔R∨Q〕⇔┐(P∨Q)∨〔R∨Q〕
⇔(┐P∧┐Q)∨〔R∨Q〕
⇔(┐P∧┐Q)∨R∨Q〔析取范式〕
2.设A={{1},1,2},B={1,{2}},试计算〔1〕〔A∩B〕〔2〕〔A∪B〕〔3〕A-〔A∩B〕.
〔1〕〔A∩B〕={1}
〔2〕〔A∪B〕={1,2,{1},{2}}
〔3〕A-〔A∩B〕={{1},1,2}
3.图G=
〔1〕画出G的图形;
〔2〕写出G的邻接矩阵;
〔3〕求出G权最小的生成树及其权值.
〔1〕G的图形表示如图一所示:
〔2〕邻接矩阵:
〔3〕最小的生成树如图二中的粗线所示:
权为:
1+1+3=5
4.画一棵带权为1,2,2,3,4的最优二叉树,计算它们的权.
最优二叉树如图三所示
图三
权为1⨯3+2⨯3+2⨯2+3⨯2+4⨯2=27
5.求〔P∨Q〕→R的析取范式与合取范式.
〔P∨Q〕→R⇔⌝〔P∨Q〕∨R
⇔(⌝P∧⌝Q)∨R〔析取范式〕
⇔(⌝P∨R)∧(⌝Q∨R)〔合取范式〕
6.设A={0,1,2,3},R={
R=∅,S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<2,0>}
R∙S=∅,
S-1=S,
r(R)=IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>}.
7.试求出〔P∨Q〕→R的析取范式,合取范式,主合取范式.
〔P∨Q〕→R⇔┐(P∨Q)∨R⇔(┐P∧┐Q)∨R〔析取范式〕
⇔(┐P∨R)∧(┐Q∨R)〔合取范式〕
⇔((┐P∨R)∨(Q∧┐Q))∧((┐Q∨R)∨(P∧┐P))
⇔(┐P∨R∨Q)∧(┐P∨R∨┐Q)∧(┐Q∨R∨P)
∧(┐Q∨R∨┐P)
⇔(┐P∨Q∨R)∧(┐P∨┐Q∨R)∧(P∨┐Q∨R)
8.设A={{a,b},1,2},B={a,b,{1},1},试计算
〔1〕〔A-B〕〔2〕〔A∪B〕〔3〕〔A∪B〕-〔A∩B〕.
〔1〕〔A-B〕={{a,b},2}
〔2〕〔A∪B〕={{a,b},1,2,a,b,{1}}
〔3〕〔A∪B〕-〔A∩B〕={{a,b},2,a,b,{1}}
9.图G=
〔1〕画出G的图形;
〔2〕写出G的邻接矩阵;
〔3〕求出G权最小的生成树及其权值.
〔1〕G的图形表示为:
〔2〕邻接矩阵:
〔3〕粗线表示最小的生成树,
权为7:
10.设谓词公式
,试〔1〕写出量词的辖域;〔2〕指出该公式的自由变元和约束变元.
〔1〕∃x量词的辖域为
,
∀z量词的辖域为
∀y量词的辖域为
.
〔2〕自由变元为
与
中的y,以及
中的z
约束变元为x与
中的z,以及
中的y.
11.设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
〔1〕〔A-B〕;〔2〕〔A∩B〕;〔3〕A×B.
〔1〕A-B={{1},{2}}
〔2〕A∩B={1,2}
〔3〕A×B={<{1},1>,<{1},2>,<{1},{1,2}>,<{2},1>,<{2},2>,
<{2},{1,2}>,<1,1>,<1,2>,<1,{1,2}>,<2,1>,<2,2>,
<2,{1,2}>}
12.设G=
〔1〕给出G的图形表示;〔2〕写出其邻接矩阵;
〔3〕求出每个结点的度数;〔4〕画出其补图的图形.
〔1〕G的图形表示为:
〔2〕邻接矩阵:
〔3〕v1,v2,v3,v4,v5结点的度数依次为1,2,4,3,2
〔4〕补图如下:
13.设集合A={1,2,3,4},R={
〔1〕写出R的有序对表示;
〔2〕画出R的关系图;
〔3〕说明R满足自反性,不满足传递性.
〔1〕R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}
〔2〕关系图为
3〕因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R,即A的每个元素构成的有序对均在R中,故R在A上是自反的。
因有<2,3>与<3,4>属于R,但<2,4>不属于R,所以R在A上不是传递的。
14.求P→Q∨R的析取范式,合取范式、主析取范式,主合取范式.
P→〔R∨Q〕
⇔┐P∨(R∨Q)
⇔┐P∨Q∨R〔析取、合取、主合取范式〕
⇔(┐P∧┐Q∧┐R)∨(┐P∧┐Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨(P∧┐Q∧┐R)
∨(P∧┐Q∧R)∨(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R)〔主析取范式〕
15.设图G=
(1)画出G的图形表示;
(2)写出其邻接矩阵;
(3)求出每个结点的度数;
(4)画出图G的补图的图形.
〔1〕关系图
〔2〕邻接矩阵
〔3〕deg(v1)=2
deg(v2)=3
deg(v3)=4
deg(v4)=3
deg(v5)=2
〔4〕补图
16.设谓词公式∃x(A(x,y)∧∀zB(x,y,z))∧∀yC(y,z)试
(1)写出量词的辖域;
∃x量词的辖域为(A(x,y)∧∀zB(x,y,z)),∀z量词的辖域为B(x,y,z),∀y量词的辖域为C(y,z)
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
自由变元为(A(x,y)∧∀zB(x,y,z))中的y,以及C(y,z)中的z.
约束变元为(A(x,y)∧∀zB(x,y,z))中的x与B(x,y,z)中的z,以及C(y,z)中的y。
六、证明题
1.试证明:
假设R与S是集合A上的自反关系,那么R∩S也是集合A上的自反关系.
证明:
设∀x∈A,因为R自反,所以xRx,即
又因为S自反,所以xRx,即
即
故R∩S自反.
2.试证明集合等式A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C).
证明:
设S=A⋃(B⋂C),T=(A⋃B)⋂(A⋃C),假设x∈S,那么x∈A或x∈B⋂C,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C.
也即x∈A⋃B且x∈A⋃C,即x∈T,所以S⊆T.
反之,假设x∈T,那么x∈A⋃B且x∈A⋃C,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
也即x∈A或x∈B⋂C,即x∈S,所以T⊆S.
因此T=S.
3.试证明集合等式A⋂(B⋃C)=(A⋂B)⋃(A⋂C).
证明:
设S=A∩(B∪C),T=(A∩B)∪(A∩C),假设x∈S,那么x∈A且x∈B∪C,即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C,
也即x∈A∩B或x∈A∩C,即x∈T,所以S⊆T.
反之,假设x∈T,那么x∈A∩B或x∈A∩C,
即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C,即x∈S,所以T⊆S.
因此T=S.
4.试证明集合等式A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C).
证明:
设S=A⋃(B⋂C),T=(A⋃B)⋂(A⋃C),假设x∈S,那么x∈A或x∈B⋂C,即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C.
也即x∈A⋃B且x∈A⋃C,即x∈T,所以S⊆T.
反之,假设x∈T,那么x∈A⋃B且x∈A⋃C,
即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C,
也即x∈A或x∈B⋂C,即x∈S,所以T⊆S.
因此T=S.
5.试证明〔∃x〕〔P〔x〕∧R〔x〕〕⇒〔∃x〕P〔x〕∧〔∃x〕R〔x〕.
证明:
〔1〕〔∃x〕〔P〔x〕∧R〔x〕〕P
〔2〕P〔a〕∧R〔a〕ES
(1)
〔3〕P〔a〕T
(2)I
〔4〕〔∃x〕P〔x〕EG(3)
〔5〕R〔a〕T
(2)I
〔6〕〔∃x〕R〔x〕EG(5)
〔7〕〔∃x〕P〔x〕∧〔∃x〕R〔x〕T(5)(6)I
6.设m是一个取定的正整数,证明:
在任取m+1个整数中,至少有两个整数,它们的差是m的整数倍
证明设
,
,…,
为任取的m+1个整数,用m去除它们所得余数只能是0,1,…,m-1,由抽屉原理可知,
,
,…,
这m+1个整数中至少存在两个数
和
,它们被m除所得余数相同,因此
和
的差是m的整数倍。
7.A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
证明∵x∈A-〔B∪C〕⇔x∈A∧x∉〔B∪C〕⇔x∈A∧〔x∉B∧
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