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关于变限积分若干性质的研究
第19卷第2期
Vol.19No.2
广西梧州师范高等专科学校学报
JOURNAL
OF
WUZHOU
TEACHERS
COLLEGE
OF
GUANGXI
2003年5
月
May.2003
关于变限积分函数若干问题的研究
李福兴
(梧州师范高等专科学校 数学系, 广西 贺州 542800)
[摘 要]变限积分函数是微积分学中一类具有特殊形式的函数。
对变限积分函数初等性质及分析性质
的研究,可深入了解其特性,并广泛用于解决一些微积分问题。
[关键词]变限积分;变上限积分函数;连续;导数
[中图分类号]O172 [文献标识码]A [文章编号]1008-8377(2003)02-0064-04
变(上)限积分函数是一元函数微积分中诞生的一类具有特殊形式的新函数。
它主要由被积分函数的性质,及积分上(下)限的结构来决定。
众所周知,积分上限函数
f(t)dt是导出积分学中定积分(计算)的基本
∫
ax
公式的一个理论基础。
同时,作为函数,对它进行初等性质及分析性质的研究,有利于深入了解此类函数的特性,并广泛地用于解决一些微积分问题。
一、变限定积分函数的概念与基本性质
1、若f(x)在[a,b]可积,Πx∈[a,b],F(x)=
f(t)dt称之为积分上限函数。
∫
=f(t)dt x∈[a,b]连续。
∫
α
xx
基本性质:
1、若f(x)在[a、b]可积,则F(x)
2、若f(x)在[a、b]连续,则F(x)=
x
α
(x)=f(x)。
此性质f(t)dt x∈[a,b]在[a,b]连续,且可导,F′
∫
α
是导出牛顿—莱布尼兹公式的根据,它是微积分学的核心内容与理论基础。
由此性质与复合函数的求导法则得到变限积分函数的求导公式,即若f(x)在[a,b]连续,U(x),V(x)都可导,则F(x)=
(x)=f[U(x)]U′(x)-f[V(x)]V′(x)。
[a,b]可导,且F′
∫f(t)dt,Πx∈
V(x)
U(x)
3、积分上限函数,它是产生新函数的重要工具,是一种新的函数表示法,解决了在闭区间上连续的初等函
数的原函数存在性问题,尤其是可用积分上限函数表示其原函数不是初等函数的原函数。
换句话说,可用积分上限函数表示非初等函数,为研究非初等函数的性质,提供了工具。
二、变限积分函数的研究
1、讨论函数极限与连续性
例1、求1im
X0
2
x
(x-t)sint2dt
3
(x+x)(1--x)
2
解:
∵X0,1-x
-x2~
2232
x,x+x~x2
分子是积分上限函数,x0,
∫
x
(x-t)sint2dt0 又
∫
a
(x-t)sint2dt=x
∫
a
x
sint2dt-
tsintdt∫
2
a
x
[收稿日期]2002-12-25
—64—
©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.
第19卷第2期
Vol.19No.2
x
广西梧州师范高等专科学校学报
JOURNAL
OF
WUZHOU
x
2003年5月
May.2003
TEACHERSCOLLEGEOFGUANGXI
∴原式=1im
X0
(x-t)sint2dt
4
x2
sintdt=1im=1im
X0
2x
x
3
X0
6x
=
6
x2n=0
例2、设f(x)可导,且f(0)=0,F(x)=解:
令u=x-t,du=-nt
x
n
∫
tn-1f(xn-tn)dt 求1im
X0
nnn-1
dt F(x)=
n
f(u)du,又f(0)
x
n
1im2n=1imX0X0x
f(u)du
=1im
nx2n
X0
nn
=1im= (最后一步用导数定义)2n-1n
2nX0x2n2nx
n-1
x2
(1-cosx) x<0
例3、设f(x)= 1 x=0, 讨论f(x)在x=0处的连续性,
x
costdt x>0
x
解:
∵f(0)=1,又1imf(x)=1im
X0
-X0
-
x
=1im
X0
-
x
=1
1imf(x)
X0
+
=1im
X0
+
x
cost2dtx
=1imcosx=1 而f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1
X0
+
∴f(x)在x=0处连续。
2、变限积分函数的单调性
(x-2t)f(t)dt,f(x)单调减少,证明:
F(x)单调增加。
∫
证明:
∵F(x)=(x-2t)f(t)dt=xf(t)dt-2tf(t)dt 又f(x)在R连续。
∫∫∫(x)=∴F′f(t)dt+xf(x)-2xf(x)=f(t)dt-xf(x)
∫∫)连续,F(x)=例1、设f(x)在(-∞,+∞
x
x
x
x
000
xx
00
(x)=xf(ξ)-xf(x)=x(f(ξ)-f(x))>0由积分中值定理,存在ξ介于0与x之间,使F′
故F(x)在R单调增加。
3、求解函数、函数值(最值)
x
f(t)dt,求f(x)。
0x
例1、已知x>0,f(x)可导,且满足f(x)=1+
解:
∵Πx>0,f(x)可导,对f(x)=1+(x)=- f′
x
x
f(t)dt两边关于x求导,0
∴f(x)
=
x
x0=1nx+c (x>0)x
f(t)dt+
(x)= 将f(x)的表达式代入可得f′
xx
)上有任意阶导数,且满足方程例2、求在(-∞,+∞
∫
2x
f(t)dt=e-1的函数f(x)。
x
解:
∵f(x)有任意阶导数,对方程两边关于x求导得 2f(2x)-f(x)=ex 3
∞
∞
∞
∞
f(x)可展开为幂级数f(x)=
∞
n=0
∑
anx,代入3式得
n
n=0
∑
n+1
anx-
n
n=0
∑
anx=
n
n=0
n!
n
即
n=0
∑(2
n+1
-1)anx=
∞
n
x∈R 比较同次幂的系数得:
an=n+1n!
(2-1)n!
n
∴f(x
)=
n=0
(2
n+1
x∈R
-1)n!
f(t)dt=1在(0,1)内有唯一实根。
∫
0x
n
例3、已知f(x)在[1,0]连续,且f(x)<1,则方程 2x-
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第19卷第2期
Vol.19No.2
x广西
梧州师范高等专科学校学报JOURNALOFWUZHOUTEACHERSCOLLEGEOFGUANGXI2003年5月May.2003证明:
令F(x)=2x-
则F(0)f(t)dt-1 x∈[0,1]∫=-1,又f(x)<1,F
(1)=2-f(t)dt-1=1-f(t)dt>0∫∫0
1
010
又F(x)在[0,1]连续 由连续函数零点定理,ϖc∈(0,1)使F(c)=0
(x)=2-f(x)>1>0 ∴F(x)在(0,1)单调增加 从而,原方程在(0,1)内有唯一实根。
∵F′
esintdt x∈[0,2π]的最值。
∫tx例4、求函数f(x)=0
(x)=exsinx f′(x)=0时,x=π为f(x)在[0,2π]内的唯一稳定点,解:
∵f′
(π)=ex(sinx+cosx)f″
) f(ππ
0t|=esintdt=sintde=esinecostdt∫∫|-∫
=costde=-ecostesintdt=1+e-∫|-∫x=ππ=-e<0 所以,f(x)在x=π处取极大值。
π0π0ttπ0t
π
0π0ttπ0tπ)f(π
∴f(π)=π(1+e)2
)=(1-e2π) 又f(0)=0,易算f(2π2
)= 从而知f(x)在[0,2π]上的最大值为f(ππ(1+e) 最小值F(2π)=(1-e2π)。
22
x4、讨论变限积分函数的导数与积分ex 1ΦxΦ1
例1、设 f(x)=
1nx 1 讨论F(x)在x=1。 F(x)=f(t)dt∫0 解: 由已知,容易计算 F(x)=ex-1 0ΦxΦ1 e-x+xlnx 1 xxx0()F′1=1im=1im=1im=1im=e--x-1-x-1-x-1-1x1x1x1x1 ′F+ (1)=1im x1+=1im=1imx-1+x-1+x-1x1x1 =-1+1im=-1+1im(1nx+1)=0+x-1+x1x1 ∫ (1) ∴F(x)在x=1处不可导。 例2、求由方程x-∫edu=0所确定的隐函数y=y(x)在X=0处的二阶导数dx| 解: 由方程x-∫edu=0可知x=0时y=1,∵F′- (1)≠+x+y-u2′212x=2x+y2-u 1 对方程两边关于X求导得: 1-e- 将x=0,y=1代入 (1)得: dx(x+y)2(1+y′)=0 (1)|=e-1 x=0 (x+y)2对 (1)两边关于x求导: x(x+y)e-(1+y′)-e-(x+y)2y″=0 2将x=0,y=1,y′=e-1代入,得2dx|=2e x=0 例3、设f(x)= 解: ∵f(π)f(x)dx。 ∫=f(x)dx=[π-tdt ∴π-tdt]dx∫∫0dt,求0π-txπ π 0π0π0x0 —66— ©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved. 第19卷第2期 Vol.19No.2 π 广西梧州师范高等专科学校学报 JOURNAL π 2003年5月 May. 2003 OFWUZHOUTEACHERS π COLLEGEOFGUANGXI π |∫π )+sinxdx-π)=-cosx=πf(πf(π∫|0=2()注: 本题由于π-tdt的原函数难于求出,可证明其原函数不能用初等函数表示,故不能从fx入手解题。 =xf(x) -xd( π 0x )-dt)=πf(π 0π-t x )+dx=πf(π 0π-x π-xsinxdx 5、证明等式(不等式) 例1、证明: 若f(x)在[a,b]连续,Πx,x0∈[a,b], 则1im h0 证明: 设φ(x) [f(t+h)-f(t)]dt=f(x)-f(x) =f(t)dt,因f(x)在[a,b]连续,Πx,x∈[a,b],故φ(x)可导,∫h x x x x (x)=f(x),φ(x0)=0 令y=t+h,dy=dt且φ′ f(t+h)dt= x ∫ x ∫ x+h x+h f(y)dy= ∫ x x+h0 f(y)dy+ ∫f(y)dy=φ(x+h)-φ(x x x+h +h) 于是,1im h0 h x x [f(t+h)-f(t)]dt=1im h0 h [ ∫ x x [f(t+h)- f(t)dt]∫ x x =1im h0 h [φ(x+h)-φ(x0+h)-φ(x)+φ(x0)] h x =1im[ h0 - φ(x)φ() h x (x)-φ(x0)]=φ′′ =f(x)-f(x0) 例2、设f(x)连续,证明 t ∫ 0x f(t)(x-t)dt= (x)dx)dt ∫∫ ( t ∫ (f(x)dx)dt=φ(t)dt(用分部积分法)=tφ(t)φ(t) td∫∫∫|-∫φ(x)-(x-t)f(t)dt=右边 =xtf(t)dt=xf(t)dt-tf(t)dt= ∫∫∫∫(f(x)dx)dt(此题也可用其它方法证之)所以f(t)(x-t)dt= ∫∫∫ 例3、设f(x)在[a,b]连续,且单调增加,求证: xf(x)dxΕf(x)dx ∫2证明: 作辅助函数F(x)=∫tf(t)dt-f(t)dt x∈[a,b] 2(t)=f(t),φ(0)=0证明: 令f(x)dx=φ(t),则φ′ 0tx x x 000 xxxx 0000 xxt 000 bb aa xx aa ∵f(x)连续,f(x)单调增加 (x)=xf(x)-∴F′ =2 a x f(t)dt- 2 f(x)= 2 f(x)- 2 f(t)dta x )・(x-a)≥f(ξf(x)-f(x)=0 2222 ) f(x)- 而F(a)=0 ∴F(x)Ε0 x∈[a,b]从而F(b)Ε0,即原不等式成立 [ 参考文献] [1]刘玉链.数学分析讲义[M](上册).高教出版社,1992.6.第三版.[2]陈 仲.大学数学复习指导与试题分析[M].南京大学出版社,1999.5. —67— ©1995-2005TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.
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