徐汇新王牌 秋季同步提高补习班 初中数学赵ZJ老师正反比例函数初二.docx
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徐汇新王牌秋季同步提高补习班初中数学赵ZJ老师正反比例函数初二
正比例函数
一、引例
1、1996年,鸟类研究者在芬兰给一只燕欧套上标志环,大约128天后,人们在2.56万千米的澳大利亚发现了它。
(1)、这只小鸟平均每天飞行多少千米?
(2)、这只燕欧的行程y(单位:
千米)与飞行时间x(单位:
天)之间有什么关系?
(3)、这只燕欧飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少?
2、揭示课题:
“正比例函数”
(一)、正比例函数的定义
1、思考:
下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?
(1)、圆的周长L随半径r的大小变化而变化。
(2)、每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起总的厚度h(单位:
cm)随这些练习本的本数m的变化而变化。
(3)、冷冻一个0℃的物体,使它每分下降2℃,物体温度T(单位:
℃)随冷冻时间m(单位:
分)的变化而变化。
2、观察发现,得出正比例函数的定义。
一般地,形如y=kx(K是常数、k≠0)的函数,叫正比例函数,其中k叫做比例系数。
强调两点:
①、k≠0(即自变量系数不为0)
②、x的指数为1
3、判断下列函数是否为正比例函数,若是,说出比例系数。
⑴、y=3x⑵、y=
⑶、y=
⑷、y=x2+1⑸、y=(a2+1)x-2
4、学生举例,正比例函数
5、例1⑴、若y=5x3m-2是正比例函数,则m=___
⑵、若y=(m-2)x㎡-3是关于x的正比例函数,则m=__
⑶、若函数y=(2m+6)x2+(1-m)x是关于x的正比例函数,则m=___
(二)、正比例函数的图像
1、例2,画出正比例y=2x的函数
2、学生画出y=-2x的图像
3、找出y=2x与y=-2x图像的相同点,(都是过原点的一条直线)
4、画正比例函数图像的方法。
[两点法,(0,0)、(1,k)]
5、学生自己写一个正比例函数,用两点法画出其图像。
6、正比例函数的性质
K>0,直线y=kx过一、三象限,从左向右上升,随x的增大y也增大。
K<0,直线y=kx过二、四象限,从左向右下降,随x的增大y反而减小。
7、例:
正比例函数y=kx的图像经过第二、四象限,则()
A、y随x的增大而增大。
B、y随x的增大而减小
C、当x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,y随x的增大而减小。
D、不论x如何变化,y不变。
8、巩固练习
定义:
形如y=kx(K是常数、k≠0)的函数,
叫正比例函数
图像形状:
过原点的一条直
正比例函数
经过一、三象限
k>0从左向右上升
随x的增大y也增大
性质
经过二、四象限
K<0从左向右下降
随x的增大y反而减小
基础知识填空:
1.形如___________(k是常数,k≠0)的函数是正比例函数,其中k叫,正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式
2.正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线,我们通常称之为直线y=kx.
当k>0时,图像位于第象限,从左向右,y随x的增大而,也可以说成函数值随自变量的增大而_________;
当k<0时,图像位于第象限,从左向右,y随x的增大而,也可以说成函数值随自变量的增大而_________.
3.正比例函数的图像是经过坐标点和定点____两点的一条。
根据两点确定一条直线,可以确定两个点(两点法)画正比例函数的图象.
4.正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限,则m的取值范围是
5.若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过点A(x1,x2)和B(y1,y2),当x1
6.点A(-5,y1)和点B(-6,y2)都在直线y=-9x的图像上则y1与y2的大小关系是?
7.已知(x1,y1)和(x2,y2)是直线y=-3x上的两点,且x1>x2,则y1与y2的大小关系
8.正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A(x1,x2)和B(y1,y2),且该图像经过第二、四象限.
(1)求m的取值范围
(2)当x1>x2时,比较y1与y2的大小,并说明理由.
9.下列关系中的两个量成正比例的是()
A.从甲地到乙地,所用的时间和速度;B.正方形的面积与边长
C.买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量;D.人的体重与身高
10.下列函数中,y是x的正比例函数的是()
A.y=4x+1B.y=2x2C.y=-
xD.y=
11.下列说法中不成立的是()
A.在y=3x-1中y+1与x成正比例;B.在y=-
中y与x成正比例
C.在y=2(x+1)中y与x+1成正比例;D.在y=x+3中y与x成正比例
12、若函数
是y关于x的正比例函数,则m=。
13、若
是正比例函数,则m=。
14、已知函数
,当k为何值时,它表示正比例函数?
二求正比例函数的解析式
1.点A(2,4)在正比例函数图象上,则这个正比例函数的解析式?
2.正比例函数图象过(-2,3),则这个正比例函数的解析式?
3.已知y与x成正比例,且x=2时y=-6,则y=9时x的值是多少?
4.已知y与x成正比例,且x=-3时y=-9,则y=-5时x的值是多少?
5.已知y=(k+1)x+k-1是正比例函数,求k的值.
6.根据下列条件求函数的解析式
①y与x2成正比例,且x=-2时y=12.
②函数y=(k2-4)x2+(k+1)x是正比例函数,且y随x的增大而减小.
综合练习:
1.在函数y=-3x的图象上取一点P,过P点作PA⊥x轴,已知P点的横坐标为-2,求△POA的面积(O为坐标原点).
2.已知y+3和2x-1成正比例,且x=2时,y=1。
(1)写出y与x的函数解析式。
(2)当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是多少?
3、已知:
y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成正比例,当x=1时,y=6,当x=3时,y=8,求y关于x的解析式。
4、已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x-2成正比例,当x=1时,y=0,当x=-3时,y=4,求x=3时,y的值。
3.已知正比例函数图象过点
,
①求这个函数的解析式,并在直角坐标平面内画出它的图像。
②过图像上一点
作
轴的垂线,垂足
的坐标为
,求点
的坐标和
的面积。
*③若点P也在图像上,过点P同样做x轴的垂线,垂足为Q,且
的面积为2,求出符合这样条件的点P的坐标。
4.周长为16厘米的等腰三角形中,底边长为
厘米,腰长为
厘米,写出
关于
的函数解析式及函数的定义域。
5.已知某机器制作2个零件需要消耗10吨原材料,设机器制作的零件个数为x个,所消耗的原材料为y,且仓库中现有的原材料为40吨,则写出y关于x的函数解析式及函数定义域。
【反比例函数:
】
列表
x
...
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
y=
…
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
…
(4)描点、连线
画出反比例函数y=-
的图象。
x
...
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
y=-
…
1.5
2
3
6
-6
-3
-2
-1.5
…
不能与x轴、y轴相交。
探索反比例函数的性质
1.观察y=
和y=-
以及y=
和y=-
的图象,回答问题:
(1)你能发现它们的共同特征吗?
(2)每个函数的图象分别位于哪几个象限?
(3)在每个象限内,y随x的变化如何变化?
2.综上所述,你认为反比例函数y=
(k为常数且k0)图象的性质有哪些?
3.
K的符号
y=
(k为常数且k0)
xy=k(k为常数且k0)
图象
图象上点的坐标符号
k>0
x、y同号
(+,+)
(-,-)
K<0
X、y异号
(+,-)
(-,+)
例题:
1.已知y=(m+1)xm-1是反比例函数,则函数的图象在第______象限,且在所在的每一个象限内,y随x增大而_________.
2.已知反比例函数y=
的图象如图所示,A、B是图象在第一象限内的两个动点,过A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,再分别作y轴的垂线,垂足分别为E、F,试问矩形ACOE、BDOF的面积的比值是多少?
试说明理由.
3..在直角坐标系内,从反比例函数y=
(k>0)的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段,与x、y轴所围成的矩形面积是12.
(1)求该函数的关系式;
(2)如果从该函数的图象上再任取一点,并分别作x、y轴的垂线段,那么与x、y轴所围成的矩形面积是多少?
(3)从本题你能得到哪些结论?
【基础与巩固】
1.函数y=
的图象是_______,当x>0时,该图象在第_______象限.
2.函数y=
的图象经过点A(-4,3),则k=________.
3.下列图象中可能是反比例函数y=
的图象,共有().
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
4.反比例函数y=-
的图象大致是().
5.已知y是x的反比例函数,根据表格所给的信息完成下列问题:
x
-3
-1
1
2
3
y
-6
3
(1)写出这个反比例函数的关系式;
(2)根据函数关系式补全上表;
(3)画出该函数的图象.
6.已知反比例函数y=
,若当x<0时,函数y随自变量x的增大而增大,则实数k的范围是().
(A)k≤0(B)k≥0(C)k<0(D)k>0
7.已知反比例函数y=
(k≠0)的图象经过点(3,4),则它的图象的两个分支分别在().
(A)第二,四象限内(B)第一,二象限内
(C)第三,四象限内(D)第一,三象限内
8.下列反比例函数的图象在每一个象限内,y随x增大而减小的一定是().
(A)y=
9.已知反比例函数y=
的图象经过点(1,2),则函数y=-kx可确定为().
(A)y=2x(B)y=3x(C)y=-2x(D)y=-3x
10.反比例函数y=
,y=
,y=
的图象具有以下的共同特征:
(1)___________________________________________;
(2)_________________________________________.
11.举出3个具有以下两条特征的反比例函数:
①图象分布在第二,四象限;
②图象在每一个象限内,y随x增大而增大.
12.反比例函数y=
的图象在第二、四象限,则m的取值范围是________.
13.已知反比例函数y=
与一次函数y=2x+k的图象的一个交点的横坐标是-4,则k的值是__________.
14.已知点(x1,-1),(x2,-
),(x3,2)在函数y=-
的图象上,则下列关系式正确的是().
(A)x1>x2>x3(B)x3>x2>x1(C)x2>x1>x3(D)x3>x1>x2
15.已知反比例函数y=
的图象在每一个象限内,y随
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