中考数学圆中最定值修订版.docx

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中考数学圆中最定值修订版

圆中最定值

类型一、圆中将军饮马

例1、如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是_______

1、已知圆O的面积为3

，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点，则PC+CD的最小值为______

2、如图，菱形ABC中，∠A=60度，AB=3,

A、

B的半径为2和1,P、E、F分别是CD，

A和

B上的动点，则PE+PF的最小值为_________

类型二、折叠隐圆

【基本原理】（一箭穿心）

点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1、P2，则AP的最小值为AP2,,最大值为AP1

例、如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．

1、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为______

2、四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为____

类型三、随动位似隐圆

例、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6．点D是边AC上一点D且AD=2

，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为_________

[分析]：

易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值2

，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=

AD'=

故F点轨迹为以G为圆心，

为半径的圆。

问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。

思路2：

倍长BC到B’，则CF为△B’D’B的中位线，CF=

B’D’,当B’D’最大时，CF也取最大值，问题实质为D在圆A上运动至何处时，BD取最大。

【方法归纳】

、如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点⇒点M运动轨迹为圆O2，且O2为AO1中点。

、构造中位线

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，M是BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M是BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是_______

2、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以AC为直径作半圆，P为半圆上任意一点，M为BP中点，则在点P由A到C运动过程中，点M运动路径长为________

类型四、定性分析——垂线段最短

例、如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是_______________

【分析】：

思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值，要使封闭图形ABDPC面积取最大值，则使△CPD面积取最小即可，△CPD中，底边CD为定值，则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点P在圆上运动至何处时，点P到CD距离最小。

C、D、O为定点，则点O到CD距离为定值,计算CD、OC、OD长，由勾逆知OC⊥CD，设点P到CD距离为h，则h+r≥OC，∴h≥OC-r，即当O、P、M三点共线时，h有最小值，此时M与点C重合，故OC与圆O交点即为所求点P。

思路2：

P点的确定也可以这样想，平移CD，设平移后的直线为m，则直线m与CD间的距离即为CD边上的高，显然，当直线m与圆O相切时，高h有最小值。

1、如图，P为圆O内一个定点，A为圆O上一个动点，射线AP,AO分别与圆O交于B，C两点，若圆O的半径为3，OP=

，则弦BC的最大值为________

2、如图，AB为⊙O的直径，C为半圆的中点，⊙C的半径为2，AB=8，点P是直径AB上的一动点，PM与⊙C切于点M，则PM的取值范围为___________

类型五、定弦定角

【基本原理】

如图1\⊙O中，A、B为定点，则AB为定弦，点C为优弧上任一点，在C点运动过程中则∠ACB的度数不变⇒逆运用⇒如图2、点A、B为定点，点C为线段AB外一点，且∠ACB=θ（θ为固定值）⇒点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）

图1图2

例、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=60度，请在图中画出点C的运动轨迹，简要说明作图步骤

步骤1、___________________________________________________

步骤2、___________________________________________________

练习、1、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角∠AOB=__________

2、如图，AB为定长，点C为线段AB外一点，且满足∠ACB=120度，请在图中画出点C的运动轨迹,

【实战应用】

例、如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是_______________

1、如图，△ABC是边长为2的等边三角形，D是边BC上的动点，BE⊥AD于E，则CE的最小值为___________

2、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________

类型六、定弦定角——反客为主

例、如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离最大值为_______点O到AB的距离的最大值为______

【分析】：

题意中AB为定长线段在角的两边滑动，O为定点，滑动中C为动点，AB两点位置发生变化，点O到AB距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将△ABC固定，将∠XOY的两边绕AB滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。

问题则变为当点O在圆上运动至何处时，点O到AB距离最大。

1、如图，D,E分别为等腰直角三角形ABC的边AC、AB上的点，且DE=2

以DE为边向外作正方形DEFG，则AF的最大值为__________

2、如图，△ABC中，∠ABC=45°，AC=2，半径为

的圆O始终过A、C两点，连接OB，则线段OB长的的最大值为__________

类型七、定弦定角——条件的确定

例、如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于点Q，点I为△OPQ的内心，则当点P在弧AD上运动时，求I点运动路径长。

．

[分析]：

由内心的基本结论知∠PIO=90o+

∠PHO=135o为定角，但其所对的边OP并非定弦，连ID，易证△AIO≌△OID，∴∠OID=∠PIO=135O,且其所对的边为OD，符合定弦定角条件，故I点轨迹为圆弧，问题易解。

1、如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，则CP的最小值为_________

2、如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交圆于E点，连CE，则CE的最小值为（）

类型八、隐切线

例、已知A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，点C是y轴上的动点，当∠ACB最大时，则点C的坐标为__________

[分析]：

将∠ACB看作以AB为弦的圆上的角，则圆心在AB的垂直平分线上，当圆心运动时，∠ACB的大小也随之改变，又因为点C为为y轴上的点，所以可将点C理解为圆O与y轴交点。

Y轴与圆o的位置关系有两种：

相交或相切，当圆O与y轴相交时，记交点为C1，当圆O与y轴相切时，记交点为C，如图所示，∠AC1B=∠AC2B,由圆上的角大于圆外的角可知，∠ACB＞∠AC2B，故当圆O于y轴相切时，∠ACB有最大值。

考虑对称性可知，点C的位置有两个，y轴正半轴和y轴负轴上各有一个点。

1、已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C是x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标为____

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=

，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值=____________

类型九、捆绑旋转

例、已知A（2，0），B（5，0），点P为圆A上一动点，圆A半径为2，以PB为边作等边△PMB，求线段AM的取值范围。

[分析]：

思路1：

要求AM的取值范围，则先确定M点运动轨迹。

由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可构造和△PBM共顶点B的等边△ABH，则△APB≌△HBM⇒HM=PA=2，所以点M运动轨迹为以H为圆心，半径为2的圆H上的点。

AM过圆心时取得相应最大和最小值。

思路2：

线段BM可看作由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到，当点P在圆A上运动时，作出其绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点，则其应点的集合就是点M运动轨迹。

显然其轨迹为圆。

因为每个对应点都是点P绕点B顺时针旋转60度得到，所以点M所在圆的圆心即为将P点所在圆圆心A绕点B顺时针旋转60度得到。

[想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度]

1、如图，已知A（2，0），圆O半径为1，点B为圆O上一动点，点C在第一象限，且△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90度，求线段OC的最大值_____________

2、如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C为半圆AB上动点，以BC为边在⊙O外作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD．当点C运动时，则线段OD的最大值为__________

类型十、半径不确定的处理策略

例、在△ABC中,AC=4+3

BC=6,∠ACB=30°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P1,则线段EP1长度的最大值为_____________,最小值为_____________

[分析]:

显然BP=BP1,P1点轨迹为以B为圆心，BP为半径的圆，半径是多少呢？

好象无法确定，因为点P为AC上动点，则BP长度有最小值和最大值。

如图当BP垂直AC时，半径最小，当P与C重合时，半径最大，由图可知P1点轨迹为以B为圆心的无数个同心圆。

不难确定其最小值和最大值

1、在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得△A′B′C．E为AC的中点，A′B′中点为P，AC=4cm，则EP的最大值为__________

2、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点C顺时针方向旋转，得到△A1B1C,点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，请直接写出线段EF1长度的最大值与最小值的差．