中考数学专题知识突破专题五数学思想方法一.docx
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中考数学专题知识突破专题五数学思想方法一
2015中考数学专题知识突破专题五数学思想方法
(一)
(整体思想、转化思想、分类讨论思想)
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:
整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点一:
整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决。
例1若a-2b=3,则2a-4b-5=1
.
变式训练
1.已知实数a,b满足a+b=2,a-b=5,则(a+b)3•(a-b)3的值是1000
.
2.(2014•威海)已知x2-2=y,则x(x-3y)+y(3x-1)-2的值是( )
A.-2B.0C.2D.4
考点二:
转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3
m(容器厚度忽略不计).
变式训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连结DE,则DE的最小值
为。
2.(2014•潍坊)我国古代有这样一道数学问题:
“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?
”题意是:
如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺.
考点三:
分类讨论思想
在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体现
了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则:
(1)分类中的每一部分是相互独立的;
(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.
例3某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示:
(1)填空:
甲种收费的函数关系式是y1=0.1x+6,
.
乙种收费的函数关系式是y2=0.12x,
.
(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和
450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?
变式训练
1.(2014•潍坊)经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:
当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;
(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?
(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:
车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.
2.(2014•德州)问题背景:
如图1:
在四边形ABC中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 ;
探索延伸:
如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
四、达标检测
1.已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形,则其底面圆的面积为( )
A.πB.4πC.π或4πD.2π或4π
2.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有▱ADCE中,DE最小的值是( )
A.2B.3C.4D.5
3.若a2−b2=
,a−b=
,则a+b的值为.
4
.CD是⊙O的一条弦,作直径AB,使AB⊥CD,垂足为E,若
AB=10,CD=8,则BE的长是
A.8B.2C.2或8D.3或7
5.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3
,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为.
6.某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果,菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务.小张种植每亩蔬菜的工资y(元)与种植面积m(亩)之间的函数如图①所示,小李种植水果所得报酬z(元)与种
植面积n(亩)之间函数关系如图②所示.
(1)如果种植蔬菜20亩,则小张种植每亩蔬菜的工资是140元,小张应得的工资总额是2800元,此时,小李种植水果10亩,小李应得的报酬是1500元;
(2)当10<n≤30时,求z与n之间的函数关系式;
(3)设农庄支付给小张和小李的总费用为w(元),当10<m≤30时,求w与m之间的函数关系式
.
五、拓展延伸
1.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为()
A.2
cmB.4
cmC.2
cm或4
cmD.2cm或4
cm
2.等腰三角形的一个角是80°,则它顶角的度数是()
A.80°B.80°或20°C.80°或50°D.20°
3.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为()
A.12B.15C.12或15D.18
4.(2013•荆州如图,将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′,点B经过的路径为弧BB′,若∠BAC=60°,AC=1,则图中阴影部分的面积是()
A.
B.
C.
D.π
5.如图,在等腰梯形ABCD中,AD=2,∠BCD=60°,对角线AC平分∠BCD,E,F分别是底边AD,BC的中点,连接EF.点P是EF上的任意一点,连接PA,PB,则PA+PB的最小值为.
6.若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点,则常数m的值是.
7.在平面直角坐标系中,已知点A(-
,0),B(
,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标
8.如图,在平面直角坐标系中,直线l经过原点O,且与x轴正半轴的夹角为30°,点M在x轴上,⊙M半径为2,⊙M与直线l相交于A,B两点,若△ABM为等腰直角三角形,则点M的坐标为
9.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为
10.如图,已知直线y=x+4与两坐轴分别交于A、B两点,⊙C的圆心坐标为 (2,O),半径为2,若D是⊙C上的一个动点,线段DA与y轴交于点E,则△ABE面积的最小值和最大值分别是
11.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值=
.
12.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正三角形OEF绕点O旋转.在旋转过程中,当AE=BF时,∠AOE的大小
是
三、解答题
1.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2=
x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
2.(2014•义乌市)受国内外复杂多变的经济环境影响,去年1至7月,原材料价格一路攀升,义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1(元)与月份x(1≤x≤7,且x为整数)之间的函数关系如下表:
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本(元/件)
56
58
60
62
64
66
68
8至12月,随着经济环境的好转,原材料价格的涨势趋缓,每件原材料成本y2(元)与月份x的函数关系式为y2=x+62(8≤x≤12,且x为整数).
(1)请观察表格中的数据,用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式.
(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元,生产每件衣服的其他成本为8元,该衣服在1至7月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1(1≤x≤7,且x为整数); 8至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2=-0.1x+3(8≤x≤12,且x为整数),该厂去年哪个月利润最大?
并求出最大利润.
3.(2014•宿迁)如图,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点,过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:
M为AN的中点;
(2)将图1中的△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:
△ACN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时,
(2)中的结论是否仍成立?
若成立,试证明之,若不成立,请说明理由.
4.如图①,AB是半圆O的直径,以OA为直径作半圆C,P是半圆C上的一个动点(P与点A,O不重合),AP的延长线交半圆O于点D,其中OA=4.
(1)判断线段AP与PD的大小关系,并说明理由;
(2)连接OD,当OD与半圆C相切时,求
的长;
(3)过点D作DE⊥AB,垂足为E(如图②),设AP=x,OE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围.
5.(2014•北京)对某一个函数给出如下定义:
若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足-M≤y≤M,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,如图中的函数是有界函数,其边界值是1.
(1)分别判断函数 y=
(x>0)和y=x+1(-4≤x≤2)是不是有界函数?
若是有界函数,求其边界值;
(2)若函数y=-x+1(a≤x≤b,b>a)的边界值是2,且这个函数的最大值也是2,求b的取值范围;
(3)将函数
(-1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足
≤t≤1?
数学思想方法
(一)部分题参考答案
解.:
(1)由图可知,如果种植蔬菜20亩,则小张种植每亩蔬菜的工资是
(160+120)=140元,
小张应得的工资总额是:
140×20=2800元,
此时,小李种植水果:
30-20=10亩,
小李应得的报酬是1500元;
故答案为:
140;2800;10;1500;
(2)当10<n≤30时,设z=kn+b(k≠0),
∵函数图象经过点(10,1500),(30,3900),
∴
,
解得
,
所以,z=120n+300(10<n≤30);
(3)当10<m≤30时,设y=km+b,
∵函数图象经过点(10,160),(30,120),
∴
,
解得
,
∴y=-2m+180,
∵m+n=30,
∴n=30-m,
∴①当10<m≤20时,10<n≤20,
w=m(-2m+180)+120n+300,
=m(-2m+1
80)+120(30-m)+300,
=-2m2+60m+3900,
②当20<m≤30时,0<n≤10,
w=m(-2m+180)+150n,
=m(-2m+180)+150(30-m),
=-2m2+30m+4500,
所以,w与m之间的函数关系式为w=
.
解:
根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8.
分类讨论:
①n=8时,易得A(-6,0)如图1,
∵抛物线经过点A、C,且与x轴交点A、B在原点的两侧,
∴抛物线开口向下,则a<0,
∵AB=16,且A(-6,0),
∴B(10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对
称轴直线x=
=2,
要使y1随着x的增大而减小,则a<0,
∴x>2;
(2)n=-8时,易得A(6,0),如图2,
∵抛物线过A、C两点,且与x轴交点A,B在原点两侧,
∴抛物线开口向上,则a>0,
∵AB=16,且A(6,0),
∴B(-10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对称轴直线x=
=-2,
要使y1随着x的增大而减小,且a>0,
∴x<-2.
解:
(1)AP=PD.理由如下:
如图①,连接OP.
∵OA是半圆C的直径,
∴∠APO=90°,即OP⊥AD.
又∵OA=OD,
∴AP=PD;
(2)如图①,连接PC、OD.
∵OD是半圆C的切线,
∴∠AOD=90°.
由
(1)知,AP=PD.
又∵AC=OC
,
∴PC∥OD,
∴∠ACP=∠AOD=90°,
∴
的长=
=π;
(3)分两种情况:
①当点E落在OA上(即0<x≤2
时),如图②,连接OP,则∠APO=∠AED.
又∵∠A=∠A,
∴△APO∽△AED,
∴
.
∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4-y,
∴
,
∴y=-
x2+4(0<x≤2
);
②当点E落在线段OB上(即2
<x<4)时,如图③,连接OP.
同①可得,△APO∽△AED,
∴
.
∵AP=x,AO=4,AD=2x,AE=4+y,
∴
,
∴y=
x2+4(2
<x<4).
解:
(1)根据有界函数的定义知,函数y=
(x>0)不是有界函数.
y=x+1(-4≤x≤2)是有界函数.边界值为:
2+1=3;
(2)∵函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小,
∴当x=a时,y=-a+1=2,则a=-1
当x=b时,y=-b+1.则
∴-1<b≤3;
(3)若m>1,函数向下平移m个单位后,x=0时,函数值小于-1,此时函数的边界t≥1,与题意不符,故m≤1.
当x=-1时,y=1即过点(-1,1)
当x=0时,
,即过点(0,0),
都向下平移m个单位,则
(-1,1-m)、(0,-m)
≤1-m≤1或-1≤-m≤-
,
∴0≤m≤
或
≤m≤1.
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