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初中数学中的直觉思维及培养
浅论数学直觉思维及培养
【摘要】本篇文章主要阐述了本人对数学直觉思维的理解,以及培养数学直觉思维的重要性、必要性及限制性,进一步阐述了如何培养的问题。
【关键词】直觉思维逻辑思维创新猜想数型结合
在新课程标准下,明确提出发展学生的数感、符号感,反映人们在教育的实现了理解上的转变,在注重逻辑思维水平培养的同时,还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养,特别是直觉思维水平的培养。
因为长期得不到注重,学生在学习的过程中对数学的本质容易造成误解,认为数学是枯燥乏味的,同时对数学的学习也不具备取得成功的必要信心,从而丧失数学学习的兴趣,过多的注重逻辑培养直觉思维水平是社会发展的需要,是适合新时期社会对人才的需求。
一、对数学直觉思维的理解
直觉,作为人类普遍的心理现象,存有于科学技术、文化艺术、社会政治等各个领域,包括思维、情感、意志等多方面的活动。
我们国家著名科学家钱学森认为:
“直觉是一种人们没有理解到的对信息的加工活动,是在潜理解中酝酿问题然后与显理解突然沟通,于是一下子得到了问题的答案。
”美国教育家布鲁纳说:
“直觉是指没有明显地依靠个人技巧的分析器官掌握问题或情境的意义、重要性或结构的行为。
”英国著名病理学家贝费里奇认为:
“直觉是指对情况的一种突如其来的顿悟或理解。
”爱因斯坦认为直觉是科学家真正可贵的因素,庞加莱指出:
“逻辑是证明的工具,直觉是发明的工具.”
直觉思维是一种客观存有的思维形式,它详细表现为思维主体在解决问题时,使用已有的经验和知识,对问题从总体上直接加以理解把握,以一种高度省略、简化、浓缩的方式洞察问题的实质,并迅速解决问题或对问题作出某种猜测。
大量的科学史实证明,在科学理解活动中,科学家常常依靠直觉实行辨别、选择,找到解决问题的准确道路或最佳方案;也常常凭借直觉启迪思路,发现新的概念、新的方法和新的思想,创建新的科学理论体系。
(一)数学直觉概念的界定
简单的说,数学直觉是具有理解的人脑对数学对象(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。
对于直觉作以下说明:
1、直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象,通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知。
例如等腰三角形的两个底角相等,两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定并没有一个严格的证明,仅仅一种直观形象的感知。
而直觉的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。
庞加莱说:
“直觉不必创建在感觉明白之上.感觉不久便会变的无能为力。
例如,我们仍无法想象千角形,但我们能够通过直觉一般地思考多角形,多角形把千角形作为一个特例包括进来。
由此可见直觉是一种深层次的心理活动,没有详细的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考的背景。
正如迪瓦多内所说:
“这些富有创造性的科学家与众不同的地方,在于他们对研究的对象有一个活生生的构想和深刻的了解,这些构想和了解结合起来,就是所谓‘直觉'……,因为它适用的对象,一般说来,在我们的感官世界中是看不见的。
”
2、直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看,思维能够分为逻辑思维和直觉思维。
长期以来人们刻意的把两者分离开来,其实这是一种误解,逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。
有一种观点认为逻辑重于演绎,而直观重于分析,从侧重角度来看,此话不无道理,但侧重并不等于完全,数学逻辑中是否会有直觉成分?
数学直觉是否具有逻辑性?
比如在日常生活中有很多说不清道不明的东西,人们对各种事件作出判断与猜想离不开直觉,甚至能够说直觉无时无刻不在起作用。
数学也是对客观世界的反映,它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现,再以数学的形式将思考的理性过程格式化。
数学最初的概念都是基于直觉,数学在一定水准上就是在问题解决中得到发展的,问题解决也离不开直觉,下面我们就以数学问题的证明为例,来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明能够分解为很多基本运算或很多“演绎推理元素”,一个成功的数学证明是这些基本运算或“演绎推理元素”的一个成功的组合,仿佛是一条从出发点到目的地的通道,一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个个路段,当一个成功的证明摆在我们面前开始,逻辑能够协助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们,为什么这些路径的选择与这样的组合能够构成一条通道。
事实上,出发不久就会遇上叉路口,也就是遇上了准确选择构成通道的路段的问题。
庞加莱认为,即使能复写出一个成功的数学证明,但不知道是什么东西造成了证明的一致性,这些元素安置的顺序比元素本身更加重要。
笛卡尔认为在数学推理中的每一步,直觉力都是不可缺少的。
就好似我们平时打篮球,要靠球感一样,在快速运动中来不及去作逻辑判断,动作仅仅下理解的,而下理解的动作正是在平时训练产生的一种直觉。
在教育过程中,老师因为把证明过程过度的严格化、程序化。
学生仅仅见到一具僵硬的逻辑外壳,直觉的光环被掩盖住了,而把成功往往归功于逻辑的功劳,对自己的直觉反而不觉得。
学生的内在潜能没有被激发出来,学习的兴趣没有被调动起来,得不到思维的真正乐趣。
《中国青年报》曾报道,"约30%的初中生学习了平面几何推理之后,丧失了对数学学习的兴趣",这样现象应该引起数学教育者的注重与反思。
张乃达先生曾在《数学思维教育学》一书中列表表述.
3、直觉思维的主要特点
直觉又称直观感受,数学直觉思维就是人脑对数字及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象。
直觉思维具有自由性、灵活性、偶然性、不可能性等特点,从培养直觉思维的必要性来看,作者以为直觉思维有以下三个主要特点:
(1)简约性
直觉思维是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设,猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃式”的形式。
它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰的触及到事物的“本质”。
众所周知的阿基米德定律就是凭直觉解决疑问的例证。
阿基米德在面临“结构复杂的金冠是否用同等重量的白银掺假”问题时百思不得其解。
他知道金与银的比重不同,同重的金与银体积也不同,要想知道金冠中是否含有同等重量的白银时,阿基米德很清楚解决问题的关键就是测知金冠的体积。
用怎样的办法才能测出结构复杂的金冠体积呢?
当他带着问题跨入浴缸时,看到浸入水中的身体与浴缸溢出的水就想到两者体积相同,即刻得出了测量金冠体积的办法:
把金冠置入水中,被金冠排开的水的体积就是金冠的体积。
阿基米德使用的是一种直觉思维,凭直觉使困扰他的疑问迎刃而解。
(2)创造性
现代社会需要创造性的人才,我们国家的教科书因为长期以来借鉴国外的经验,过多的注重培养逻辑思维,培养的人才绝大部分习惯于按部就班、墨守成规,不具备创造水平和开拓精神。
直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思维的大手笔。
正是因为思维的无理解性,它的想象才是丰富的,发散的,使人的认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性。
伊恩.斯图加特说:
“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”,很多重大的发现都是基于直觉。
欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉,从而创建起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦;哈密顿在散步的路上进发了构造四元素的火花;阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法;凯库勒发现苯分了环状结构更是一个直觉思维的成功典范。
(3)自信力
学生对数学产生兴趣的原因有两种,一种是老师的人格魅力,其二是来自数学本身的魅力。
不可否认情感的重要作用,但作者的观点是,兴趣更多来自数学本身。
成功能够培养一个人的自信,直觉发现伴随着很强的“自信心”。
相比其它的物资奖励和情感激励,这样自信更稳定、更持久。
当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得,那么成功带给他的震撼是巨大的,内心将会产生一种强大的学习钻研动力,从而更加相信自己的水平。
高斯在小学时就能解决问题“1+2+ ……+99+100=?
”,这是基于他对数的敏感性的超常把握,这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。
而现在的中学生极少具有直觉理解,对有限的直觉也半信半疑,不能从整体上驾驭问题,也就无法形成自信。
二、直觉思维的培养
老师尤其是数学老师在教学中常见到这样的情况,在课堂上题目刚刚写完,老师还来不及解释题意,有的学生立刻报出了答案,这样的学生有的数学基础甚差,有时却能直觉判断出结果,若要问他为什么?
他则回答说:
“我想就是这样的。
”这时其他同学会笑他瞎猜的,老师应该如何处理学生问题中的直觉思维呢?
爱因斯坦说:
“我相信直觉与灵感,真正可贵的因素是直觉。
”富克斯则说:
“伟大的发展都不是按逻辑的法则发现的,而都是由猜测得到的。
”法国著名科学家庞加莱指出:
“没有直觉,年轻人在理解数学时便无从着手;他们不可能学会热爱它,他们从中看到的仅仅空洞的玩弄词藻的争论;尤其是,没有直觉,他们永远也不会有应用数学的水平。
”这说明直觉对于数学学习的重要性。
一个人的数学思维,判断水平的高低主要取决于直觉思维水平的高低。
徐利治教授指出:
"数学直觉是能够后天培养的,实际情况上每个人的数学直觉也是持续提升的。
"数学直觉是能够通过训练提升的。
所以直觉思维的培养应是我们不可忽视的一个重要任务。
(一)注重知识积累,培养记忆性直觉。
直觉思维是一种猜测、设想或突然顿悟的思维,直觉的获得具有偶然性,但绝不是无缘无故的胡思乱想,而是以扎实的知识为基础,若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花的。
在平时的教学中,老师要抓好学生的数学基本功的训练。
如口算,解题基本方法等,让学生掌握数学的基本知识,了解数学的研究方法及知识间的联系,同时还应广泛地汲取课外各科知识,以开阔眼界,扩大知识面,才有可能产生数学的“灵感”。
如在学习了简便计算后,有这样一道计算题-107×15+321÷(-3)×85,有的学生按照运算顺序一步一步的计算;有的学生并没有按部就班,而在观察后发现了-107×15+(-107)×85的巧算方法。
能想到后者的学生证明他的口算水平和对简便计算中数的特征、方法都学得很扎实,在头脑中的映像非常深刻,在需要解决问题时,对事物的本质属性准确把握,能迅速提取相关的感知信息,而这正是记忆性直觉的主要特征。
(二)鼓励设疑猜想,培养预见性直觉。
猜想和预测是直觉思维的重要形式,在数学教学中,老师要鼓励学生大胆猜想、假设,发展他们的直觉思维。
牛顿说:
“没有大胆的猜想,就没有伟大的发现。
”猜想是培养直觉思维的重要途径之一。
引导学生猜想,首先要设疑,因为思维永远是从问题开始的,作为老师,在数学教学中,要善于通过实验、列举事例或引用已有知识,把问题表现给学生,并激发学生的兴趣,放胆让学生猜想,或鼓励学生对问题的解决提出新方法、新思路。
结合一定的逻辑思维产生对未知知识的预见水平。
数学猜想虽然含有很大的思维成分,但它也具有不确定性,所以数学猜想必须通过验证,以确定它的科学性。
如:
通过对“幂的运算”的学习想一想有没有它的逆运算——“开方”?
学习了“有理数”,猜想有没有“无理数”?
初中阶段对于诸如这些规律性知识的学习,使用像这样“问题一猜想一验证”的教学过程,能很好的发展学生的推理水平,充分体现知识的活学活用。
不但有利于提升学生的预见性直觉思维,也能够强化学生的直觉理解和直觉习惯,协助其创建直觉思维的自信心。
(三)优化练习实践,培养发现型直觉。
直觉思维是一种心理现象,又是一种思维形式,它不是与生俱来的,是在持续的实践和练习中培养的,要培养和发展学生的直觉思维,就要求老师在平常的教学中,实行有计划、有目的地强化学生直觉思维的训练,充分地挖掘教科书资源,尽量减少那些机械重复性的练习,经常布置一些有思考余地的习题或思考题,指点直觉判断,训练学生直觉思维。
直觉判断不是按部就班实行逻辑推理得出,而是在对问题整体把握的基础上实行的直接判断。
所以,在数学教学中指点学生在整体把握的基础上实行直接判断,有利于训练学生的发现性直觉思维。
举例1如图,大正方形的长BE是a,宽AB是b.用代数式表示阴影部分的面积与正方形面积的比。
常规思维解法直觉思维解法
首先分别求出图形EAD与把图形EAD移动到图形DCF处,
图形DGF的面积后再求出这样只要求出矩形DCFG的面积
正方形的面积,从而实行即是阴影面积,然后再求出正形
求比。
的面积,从而实行求比。
直觉思维简化分析步骤,迅速判断,不被现象诱惑,能依据事物的变化发展规律迅速判断,体现了直觉思维的突发性的特点。
举例2解方程组
常规思维解法直觉思维解法
消去一个未知量,与另从整体出发,把三个方程加起来
一个方程组成二元一次得到x+y+z=6,再观察方程组,很
方程组,从而求解。
快就可得出答案。
显然,这样常规的解题思路清晰,但不够敏捷,不具备创造性。
老师如果能引导学生把着眼点从细节引导到整体上,那情况就会大不相同。
引导整体观察,发现隐蔽的数量关系,从整体上全方位审查,看清题目全貌,发现解决问题的“捷径”。
另外,老师要引导学生“数学的眼光”看待生活,提炼生活。
久而久之,在解决详细的数学问题时,学生往往能联系生活形成数学直觉。
当然中学生的直觉思维还处在初步阶段,最初的大胆设想看来会有些幼稚,经不起推敲,但作为老师对其合理成分即时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。
老师应即时因势利导,解除学生心中的疑惑,使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。
总来说之,培养中学生的创造性思维水平,要注重直觉思维和逻辑思维并重,以逻辑思维育直觉思维,以直觉思维促逻辑思维,开发学生内在潜力,让学生的思维在广度、深度、独立性、灵活性等方面全方位得到发展。
同时,使学生感到数学并不但仅枯燥乏味的证明、推理,学习数学也能够“跟着感觉走”、大胆猜测,寓学于趣味之中。
三、直觉思维的限制性
直觉包含着新的思想和不完善(甚至错误)的风险,其准确性还有待逻辑的论证或实践的检验,其严格性更是有限的.但直觉不是幻觉或错觉,它是非演绎的,而不是非理性的.非演绎的直觉思维是人的一种理智活动.数学是一门滴水不漏的学科,很多直觉洞察的空隙必须要用逻辑推理来填补。
对于直觉与非形式的强调是无可非议的,但是我们并不能以此去取代数学证明,而只能作为后者的必要补充;而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测,他们亲身就会忘记在猜测与证明之间的区分”,而后者甚至能够说比根本不知道如何去解决问题更糟。
直觉思维与逻辑思维同等重要,偏离任何一方都会制约一个人思维水平的发展,伊思.斯图尔特以前说过这样一句话,“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起,受控制的精神和富有灵感的逻辑。
”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在,也是数学教育者努力的方向。
下面几道例题对于我们理解直觉的限制性很有好处,希望大家在对学生实行直觉思维的培养上加以注意。
例1.1有两个圆,⊙O1的半径等于地球的半径,⊙O2的半径等于一枚硬币的半径.现将两圆都向外膨胀(相当于作同心圆),使周长都增加1米,哪个圆的半径伸长得大量?
直觉:
小圆的半径伸长得多.
评析:
相信会有相当一部分同学同意这样看法,但这是错误的.设圆膨胀前的半径为R1米,周长为s1米,膨胀后的半径为R2米,周长为s1米,则半径的伸长为
这是一个常数,因而大小不等两圆的半径伸长是相同的.
例1.2某校初中三年级有4个班,甲班60人,乙班50人,丙班40人,丁班50人,黄老师教甲、丙班代数,李老师教乙、丁班代数,期末考试统计出4个班的代数及格率为:
甲班90%,乙班92%,丙班60%,丁班62%.问:
两个老师谁所带的学生及格率高?
直觉:
由李老师所教的乙、丁班及格率分别超过黄老师所教的甲、丙班及格率,能够看出李老师所教学生的及格率高.
评析:
相信会有相当一部分学生同意这样看法,但这是错误的.因为4个班的人数不全相同,因而这是一个加权平均问题,有
所以,黄老师所教学生的及格率比李老师高1%.
例1.3三角形的3条边和3个角称为三角形的基本元素.判别命题“有5个基本元素相等的三角形必为全等三角形”的真假.
直觉:
真命题.
评析:
若5个相等元素中包括3条边,当然为真命题.若5个相等元素中只有2条边,将有两种可能:
或者两组等边为对应边,由SAS或ASA都可得出真命题;但当两组等边不为对应边时,可为相似而不全等,比如三边为8、12、18与12、18、27的两个三角形就有5个元素相等,但不全等.在这个反例的构造中,其实有直觉对其作了“相似而不全等”的预感.而详细找反例三角形则更有逻辑思维的成分.
例1.4某工程车从仓库取出电线杆到500米以外的公路一侧栽立.在500米处栽立第1根,然后每隔50米在路边栽立电线杆1根.已知汽车每次至多只能运电线杆3根,在完成栽立电线杆20根的任务后,最终返回仓库.求此工程车所行驶的最短路程.
直觉:
“就近装满”行驶的路程最短.据此,前6趟每次拉3根,由近到远栽,第7趟拉2根栽到最远处即可完成.
第1趟运3根,来回共走1200米;第2趟来回比第1趟多走
300米,逐次组成一个公差为d=300,而a1=1200的等差数列,走完第6趟后,第7趟运2根,共走了
s′=1200+300×5+100×2=2900(米).
评析:
这里的直觉受“顺序心理”支配,既有心理性错误又有知识性错误.事实上,第1趟运2根,以后每趟运3根,由近到远栽立,其各趟路程组成一个a1=1100米,公差为d=300米的等差数列,其7项之和为
可见,先运2根,总路程较短.
所以,我们在培养学生直觉思维时应清醒的理解到无论在日常生活中,还是在科学活动或社会政治领域,都不可能有“洞察一切”的圣人.个人的直觉水平经过学习、教育和锻炼能够提升,但不可能一贯准确、永远准确而不需要接受实践检验.
四、结束语
直觉思维与逻辑思维同等重要,偏离任何一方都会制约一个人思维水平的发展,伊思·斯图尔特以前说过这样一句话,“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙的结合在一起,受控制的精神和富有灵感的逻辑。
”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在,也是数学教育者努力的方向。
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