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数学与应用数学毕业论文
数学与应用数学毕业论文
######学院
本科学生毕业论文(设计)
题目论数学史的教育价值
系别数理系
专业数学与应用数学
学生姓名######
学号#######
指导教师######职称讲师
论文字数10506
完成日期2012年5月21日
一、数学史学科的介绍及其发展
(2)
(一)数学史学科介绍
(2)
1.数学史的研究对象
(2)
2.数学史的分期
(2)
3.数学史的意义
(2)
(二)数学的发展史
(2)
1.数学发展史简述
(2)
2.数学悖论与数学史上的三次危机
(2)
二、当代数学教学的现状调查及特点(3)
(一)学生数学学习情况的调查(3)
1.问卷和调查情况(3)
2.对调查结果的分析(3)
(二)中国数学教学的若干特点(3)
1.中国的数学教学突出知识性的具体目标(3)
2.中国的数学教学长于由“旧知”引出“新知”(3)
3.中国的数学教学注重新知识内部的深入理解(3)
4.中国的数学教学重视解题和关注方法、技巧(3)
5.中国的数学教学重视巩固、训练和记忆(3)
三、中国数学基础教育的缺失与出路(4)
1.中国数学基础教育成功吗(4)
2.中国数学基础教育缺失什么(4)
3.中国数学基础教育的出路在哪里(4)
四、数学史的教育价值(5)
参考文献(6)
致谢(7)
论数学史的教育价值
######数理学
摘要
数学史是穿越时空的数学智慧。
数学的发展历史呈现给我们的是一幅既源远流长,又日新月异的画卷。
学习研读它将使我们获得思想上的启迪、精神上的陶冶,有助于开阔视野、了解数学及其思想、方法、发展的动态过程,加深对数学本质的认识,有助于教师和学生形成正确的数学观,有助于学生正确理解数学概念的形成过程,有助于实现数学活动过程的教学,有助于培养学生的数学创新精神。
数学史也是数学课程不可或缺的有机组成部分,在数学教学中融合数学史教育,不仅能体现数学知识,数学思想方法的价值,也能体现情感、态度和价值观方面的价值。
只有把数学史中数学思想方法的发展过程和学生学习数学过程中的认知变化过程相结合,才可以体现数学史的教学价值著名数学史家M.克莱因认为:
“每一位中学和大学数学教师都应该知道数学史,有很多理由,但最重要的一条理由或许是,数学史是教学的指南。
”
关键词:
数学史数学观数学活动教学教学价值
Onthevalueofhistoryofmathematicseducation
youyanyiDepartmentofmathematics
Abstract
Historyofmathematicsisthemathematicalintelligencethroughtimeandspace.Historyofmathematicspresentedtousisalonghistoryof,andthechangingpicture.Learnreadingitwillmakeusgetideologicalinspiration,spiritofmoulding,helptobroadenourhorizons,learnaboutmathematicsanditsideas,methods,developmentofdynamicprocesses,deepenunderstandingofthenatureofmathematics,helpsteachersandstudentsformacorrectviewofmathematics,contributetotheformationofstudents'understandingofmathematicalconceptsandcontributetotheachievementofteachingofmathematicsactivities,helpsdevelopstudents'creativityinmathematics.Partoforganichistoryofmathematicsismathematicscourses,infusionhistoryofmathematicseducationintheteachingofmathematics,notonlyembodythemathematicalknowledge,valueofmathematicalthinking,canrealizethevalueofemotion,attitudeandvalues.Onlythedevelopmentofmathematicalthinkinginthehistoryofmathematicsandmathematicslearningprocessofcognitiveprocessesincombinationinordertoembodythemathematicalhistoryoffamoushistoriansofmathematicsteachingvalueofm.Kleinsaid:
“everyoneshouldknowthehistoryofmathematicsandUniversitymathematicsteachersinmiddleschool,thereareplentyofreasons,butperhapsthemostimportantreasonisthatistheteachingofthehistoryofmathematicsGuide.”
Keywords:
historyofmathematicsphilosophyofmathematicsmathematicsteachingactivitiesteachingvalues
数学史学科的介绍及其发展
一、数学史学科介绍
(一)、数学史的研究对象
数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学,简单地说就是研究数学的历史。
它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程,而且还探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。
因此,数学史研究对象不仅包括具体的数学内容,而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容,是一门交叉性学科。
从研究材料上说,考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料,以及对数学家的访问记录,等等,都是重要的研究对象,其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。
从研究目标来说,可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史;可以研究数学科学与人类社会的互动关系;可以研究数学思想的传播与交流史;可以研究数学家的生平等等。
数学史研究的任务在于,弄清数学发展过程中的基本史实,再现其本来面貌,同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价,进而探究数学科学发展的规律与文化本质。
作为数学史研究的基本方法与手段,常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。
史学家的职责就是根据史料来叙述历史,求实是史学的基本准则。
从17世纪始,西方历史学便形成了考据学,在中国出现更早,尤鼎盛于清代乾嘉时期,时至今日仍为历史研究之主要方法,只不过随着时代的进步,考据方法在不断改进,应用范围在不断拓宽而已。
当然,应该认识到,史料存在真伪,考证过程中涉及到考证者的心理状态,这就必然影响到考证材料的取舍与考证的结果。
就是说,历史考证结论的真实性是相对的。
同时又应该认识到,考据也非史学研究的最终目的,数学史研究又不能为考证而考证。
不会比较就不会思考,而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较,或者说,比较是认识的开始。
今日世界的发展是多极的,不同国家和地区、不同民族之间在文化交流中共同发展,因而随着多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化,异质的区域文明日益受到重视,从而不同地域的数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋活跃。
数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。
数学史既属史学领域,又属数学科学领域,因此,数学史研究既要遵循史学规律,又要遵循数理科学的规律。
根据这一特点,可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段,在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下,站在现代数学的高度,对古代数学内容与方法进行数学原理分析,以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。
数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。
(二)、数学史的分期
数学发展具有阶段性,因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。
目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期:
1、数学萌芽期(公元前600年以前);
2、初等数学时期(公元前600年至17世纪中叶);
3、变量数学时期(17世纪中叶至19世纪20年代);
4、近代数学时期(19世纪20年代至第二次世界大战);
5、现代数学时期(20世纪40年代以来)。
(三)、数学史的意义
1、数学史的科学意义
每一门科学都有其发展的历史,作为历史上的科学,既有其历史性又有其现实性。
其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面,今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展,或者是对历史上科学难题的解决,因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。
数学科学具有悠久的历史,与自然科学相比,数学更是积累性科学,其概念和方法更具有延续性,比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则,我们今天仍在使用,诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题,长期以来一直是现代数论领域中的研究热点,数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。
国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究,并善于从历史素材中汲取养分,做到古为今用,推陈出新。
我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就,七十年代开始研究中国数学史,在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面,特别是在中国传统数学机械化思想的启发下,建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法,他的工作不愧为古为今用,振兴民族文化的典范。
科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴,以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路,为当今科技发展决策的制定提供依据,也是我们预见科学未来的依据。
多了解一些数学史知识,也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图、证明四色定理等荒唐事,也避免我们在费尔马大定理等问题上白废时间和精力。
同时,总结我国数学发展史上的经验教训,对我国当今数学发展不无益处。
2、数学史的文化意义
美国数学史家m.克莱因曾经说过:
“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。
这种关系在我们这个时代尤为明显”。
“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言,数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系,其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用,同时影响着政治家和神学家的学说”。
数学已经广泛地影响着人类的生活和思想,是形成现代文化的主要力量。
因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史,又是人类文明史的最重要的组成部分。
许多历史学家通过数学这面镜子,了解古代其他主要文化的特征与价值取向。
古希腊(公元前600年-公元前300年)数学家强调严密的推理和由此得出的结论,因此他们不关心这些成果的实用性,而是教育人们去进行抽象的推理,和激发人们对理想与美的追求。
通过希腊数学史的考察,就十分容易理解,为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学,以及理想化的建筑与雕塑。
而罗马数学史则告诉我们,罗马文化是外来的,罗马人缺乏独创精神而注重实用。
3、数学史的教育意义
当我们学习过数学史后,自然会有这样的感觉:
数学的发展并不合逻辑,或者说,数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。
我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识,而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。
这些数学教材业已经过千锤百炼,是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的,是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系,这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素,因此仅凭数学教材的学习,难以获得数学的原貌和全景,同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法,而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。
在一般人看来,数学是一门枯燥无味的学科,因而很多人视其为畏途,从某种程度上说,这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容,如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来,这样便可以激发学生的学习兴趣,也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。
科学史是一门文理交叉学科,从今天的教育现状来看,文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会,正是由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。
通过数学史学习,可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时,获得人文科学方面的修养,文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌,获得数理方面的修养。
而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。
中国数学有着悠久的历史,14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家,出现过许多杰出数学家,取得了很多辉煌成就,其渊源流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映,交替影响世界数学的发展。
由于各种复杂的原因,16世纪以后中国变为数学入超国,经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。
由于教育上的失误,致使接受现代数学文明熏陶的我们,往往数典忘祖,对祖国的传统科学一无所知。
数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就,了解中国近代数学落后的原因,中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距,以激发学生的爱国热情,振兴民族科学。
二、数学的发展史
每一门科学都有其发展的历史,作为历史上的科学,既有其历史性又有其现实性。
其现实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面,今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展,或者是对历史上科学难题的解决,因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。
数学科学具有悠久的历史,与自然科学相比,数学更是积累性科学,其概念和方法更具有延续性,比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则,我们今天仍在使用,诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题,长期以来一直是现代数论领域中的研究热点,数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。
(一)、数学发展史简述
1、古代数学史:
古希腊曾有人写过《几何学史》,但未能流传下来。
5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。
中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中,讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。
12世纪时,古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。
这些著作的翻译既是数学研究,也是对古典数学著作的整理和保存。
2、中国数学史:
中国以历史传统悠久而著称于世界,在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。
例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、制器、规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量,探赜索稳,钩深致远,莫不用焉”。
《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史,记载了祖冲之的光辉成就。
历代正史《列传》中,有时也给出了数学家的传记。
正史的《经籍志》则记载有数学书目。
在中国古算书的序、跋中,经常出现数学史的内容。
如刘徽注《九章算术》序(263)中曾谈到《九章算术》形成的历史;王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论;祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。
宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。
程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。
对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究,则是在乾嘉学派的影响下,在清代中晚期进行的。
主要有:
①对古算书的整理和研究,《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版,参预此项工作的有戴震(1724~1777)、李潢(?
~1811)、阮元(1764~1849)、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789~1853)等人②编辑出版了《畴人传》(数学家和天文学家的传记),它“肇自黄帝,迄于昭(清)代,凡为此学者,人为之传”,它是由阮元、李锐等编辑的(1795~1799)。
其后,罗士琳作“补遗”(1840),诸可宝作《畴人传三编》(1886),黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。
《畴人传》,实际上就是一部人物传记体裁的数学史。
收入人物多,资料丰富,评论允当,它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美[13]。
3、数学史研究内容:
①数学史研究方法论问题;②数学史通史;③数学分科史;④不同国家、民族、地区的数学史及其比较;⑤不同时期的断代数学史;⑥数学家传记;⑦数学思想、概念、数学方法发展的历史;⑧数学发展与其他科学、社会现象之间的关系;⑨数学教育史;⑩数学史文献学。
4、高等数学的发展:
高等数学开始的内容是极限。
其实人类得到比较明晰的极限的概念,花掉了2000多年的时间,一直到了牛顿和莱布尼茨的时代(17世纪),才有了比较明确的极限概念。
我们知道微积分是牛顿和莱布尼兹共同发现的.他们使用的工具就是极限,但是他们对极限的认识还不深刻。
因此他们的理论也是非常的不严密的。
我们所熟知的极限定义语音则是在牛顿身后几百年才由魏尔斯特拉斯提出的。
尽管牛顿和莱布尼茨创立的微积分还是不很严密.但是它的创立,被誉为“人类精神的最高胜利”。
在l7世纪上半叶,微积分的先驱们沿着不同的方向向微积分大门逼近.但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立学科的诞生。
这些先驱们对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵贡献,但他们的方法仍然缺乏足够的一般性。
需要有人站在更高的高度将以往个人的贡献和分散的努力综合成统一的理论,牛顿和莱布尼兹完成了微积分创立种最后也是最关键的一步。
自从极限的概念被确立后,微积分的概念才有了比较合理的基础。
这为函数的分析提供了有力的工具。
有了极限的概念,就可以刻划函数的图形特征。
刻划函数图形的一个很有用的工具就是一个特殊的极限——导数。
有了导数,就可以更好的刻画函数的单调性,凹凸性,就可以刻画函数的切线。
而作为沟通函数与其导数的关系的中值定理,教材上更是以很大篇幅来讲述。
对于这几个中值定理,教材上更给出了完美的论述和证明,但我们必须明确,从罗尔定理到拉各朗日定理用了5O年以上的时间,而从拉各朗日定理到柯西定理又用了50多年的时间。
我们的教材在使学生惊叹于数学教材的严密和体系宏伟,但是我们必须让学生清楚.数学并不是我们从教材上看到的那样逻辑严谨和严密。
它也是在数学的发展史中一点一点发展起来的。
有了微分,按照惯例,就应该考虑其逆运算。
这就是所谓不定积分。
(二)、数学悖论与数学史上的三次危机
数学这门学科始终围绕着数与形而展开。
在人类文明的早期,人们开始认识自然数、整数、有理数,正方形、三角形、一般直线形以及特殊的曲线形如圆、椭圆、抛物线等。
数与形已有初步的结合。
随着文明的进一步发展,人们又认识了无理数、复数乃至于一般抽象集合的元素,而对形的认识,则经历了从可度量的曲线形到一般的图形或空间点集。
代数与几何有了更密切的结合。
数与形经历了从有限到无限的过程,最终归结为集合,使集合论成为现代数学的基础。
然而数学的发展并非一帆风顺,而是处处充满了危机。
所谓危机,是事物的一种已激化的非解决不可的矛盾,它深刻影响着事物的运动、变化与发展。
数学虽然以精确严密著称,但矛盾无处不在,例如正数与负数,有理数与无理数,有限与无限,连续与问断,微分与积分,等等。
当数学中的矛盾激化到影响数学的基础时,即产生数学危机。
每消除、解决一次数学危机,都会极大地促进数学的飞跃与发展。
数学在其发展过程中,经历了三次大的危机。
探究这三次数学危机的历史根源、思想背景,分析危机的解决给数学带来的巨大促进作用,对我们了解数学这门学科的发展脉络、领略数学的旖旎风光与思想方法无疑具有十分重要的意义。
在介绍三次数学危机之前,首先解释一下悖论。
什么是悖论?
“悖论”一词源于希腊文,意为“无路可走”,转义是“四处碰壁,无法解决问题”。
悖论是一种认识矛盾,它既包括逻辑矛盾、语义矛盾,也包括思想方法上的矛盾。
简单地说,悖论往往表现为这样的命题:
如果认为它真,则可以推出它为假;如果认为它假,则可以推出它为真。
从潜科学的观点来看,悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾,这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服,其存在具有客观性和必然性,它是科学理论演进中的必然产物,在科学发展史上经常出现,普遍存在于各门科学之中。
悖论常常以逻辑推理为手段,深人到原理论的根基之中,尖锐地揭露出该理论体系中潜藏着的无法回避的矛盾,所以它的出现必然导致现存理论体系的危机。
科学危机的产生,往往是科学革命的前兆和强大杠杆,是科学认识飞跃的关节点和开始进入新阶段的重要标志。
1、第一次数学危机
大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”,在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为:
宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理,但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比(不可通约)的情形,如直角边长均为1的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致了当时认识上的“危机”,从而产生了第一次数学危机。
这个悖论表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示,反之却可以由几何量表示出来,为此整数的权威地位开始动摇,而几何学的地位开始升高了。
第一次数学危机揭示了无理数的存在,涉及到了无限与无限过程,遗憾的是,古希腊人并没有马上认可无理数,而是将其归结为几何量之比,对无限也是敬而远之。
大约在一个世纪之后,才由毕达哥拉斯学派成员的学生欧多克斯(Eudoxus)提出新的比例理论而暂时消除危机。
尽管这样,第一次数学危机给人们警示:
直觉与经验并不可靠。
只有通过推理证明了的结论才是可靠的。
从此,希腊的哲学家、数学家纷纷对宇宙展开理性的研究与讨论:
伊利亚学派的芝诺(Zeno)提出了四个著名的悖论;德谟克里特(Democritus)建立了原子论;特别是稍晚的亚里士多德(Aristotle),被称为古希腊百科全书式的人物,创立了古典逻辑学。
这些理论极大地促进了演绎数学的发展。
受柏拉图(Plato)、亚里士多德的影响,欧几里得(Euclid)首次在数学中运用公理方法撰写了《几何原本》等数学著作,建立了欧氏几何学,最终古希腊成就了初等数学的基本体系。
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