数学建模实验教案.docx

数学建模实验教案.docx

《数学建模实验教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模实验教案.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学建模实验教案

《数学实验》

第一讲MATLAB简介

⒈MATLAB软件的界面风格，常用的窗口命令和菜单选项

界面风格（略）

常用的窗口命令和菜单选项：

clc:

清除命令窗口中显示内存

clf:

清除图形窗口

clear:

清除内存中的变量

who,whos:

列出内存中的变量（以及属性）

help:

edit:

format[,long,short,lnge,shorte,shortg,]:

定义输出格式

菜单选项：

主要介绍file,edit,windows,help四个菜单

⒉变量的命名，基本运算，常用的函数

变量名的第一个字符必须是英文字母，最多可达31个字符；变量名中不能含有空格和标点符号；变量名和函数名对字母的大小写是由区别的。

变量名和函数名不得使用以下的预定义变量：

ans,eps,Flops,Inf,inf,pi,NaN,nan,nargin,nargout,realmax

基本运算：

“+”:

加法；“－”：

减法；：

“*”：

乘法；“/或\”：

除法；

“^”：

乘幂

例如：

3/4，3\4，3^4，4^3

常用函数：

例如x=12;

c=round（（cos（x）/log（x））^2+atan（x））;

⒊标点符号的使用，数组和矩阵的生成以及运算

标点符号：

“空格和逗号”：

输入量与输入量，数组元素之间的分隔符。

“句号”：

数值运算中的小数点。

“分号”：

不显示运算结果，也是数组行与行的分隔符。

“冒号”：

缺省标志，表示全部。

“％”：

由它起始的行为注释行。

“‘’”：

字符串标记。

“[]”：

输入数组标记。

例如a=4*2+2^5;

b=[12;3,5.1]

c=’sin（2*pi*x）+ceil（-1.28）’

%d=a+b+c

e=b（1,:

）;f=b（:

2）;g=b（:

）

数组和矩阵的生成以及调用：

⑴一维数组

生成方式有两种：

①x=[12*pisin（pi/2）;-4,5.1,3.5]

②x=a:

step:

b请学生尝试改变a,bstep的值，看看结果如何。

调用：

x（i）:

调用数组的第i个元素

rand（k,l）:

产生一个k×l的随机数组

x（1:

3）=[123]:

给数组的前三个元素赋值

a=x（3:

-1:

1）：

将数组的前三个元素倒序后生成一个新的数组

find（x>1）:

找出数组x的大于1的元素的下标

x（find（x>1））:

由数组x的大于1的元素构成一个子数组并保持原来的顺序

⑵二维数组

生成方式与一维数组相同，只是行与行之间必须以分号隔开

调用:

a（I,j）:

表示a的第i行第j列元素

a（I,:

）:

第i行的所有元素

a（:

j）:

第j列的所有元素

a（:

）:

a的所有元素

a（k）:

a的第k个元素，按列数

⑶特殊数组

eye（n,n）:

生成n维单位矩阵

ones（m,n）:

生成全是1的矩阵

zeros（m,n）:

生成全是0的矩阵

rand（m,n）:

生成m行n列的随机矩阵

randn（m,n）:

生成正态分布的m行n列的随机矩阵

diag（a）:

提取a的对角线向量或者以向量a为对角线形成一个对角矩阵

数组和矩阵的运算：

a+b:

对应元素相加；a-b:

对应元素相减

a*b:

矩阵相乘；a.*b:

对应元素相乘

a/b:

a右乘b的逆；a./b:

a的元素除以b的对应元素

a\b:

与上面类似；a.\b:

与上面类似

a’:

转置

a^x:

矩阵的幂；a.^x:

矩阵元素的幂

x+a:

标量x与矩阵a的元素相加

x*a:

标量x与矩阵a的元素相乘

inv（a）:

矩阵a的逆

例如a=eye（3,3）;b=a+4.1;a（2,3）=-2;a’;inv（a）

a.*b,a*b;b./ab/aa^2

⒋脚本文件的生成和运行

脚本文件的编辑环境：

⑴在MATLAB的命令窗口输入edit

⑵在MATLAB的file选项中选择

new---M-file

运行：

只需在命令窗口中输入M文件的名字即可

在M文件的编辑中，只需将相关命令依次输入，然后保存即可

例⒈建立一个名为examp的M文件，用于计算n!

jirguo=1;

fori=1:

njieguo=jieguo*I;

end

jieguo

例⒉已知函数

求

，

，

y=0;

ifx<0

;

elseifx

1

;

else

;

endy

作业：

1.将任意一个自然数反序

2.输入一个n阶方阵并求它的逆

3.输入一个数组，求出其中所有大于1.5的元素之和

4.建立一个m文件用于计算

第二讲利用MATLAB加深对微积分中的基本概念的理解

1.极限与间断点

极限

limit（f,x,a）：

求函数f（x）在x趋于a时的极限

limit（f,x,a,’left’）:

求函数f（x）在x趋于a时的左极限

limit（f,x,a,’right’）:

求函数f（x）在x趋于a时的右极限

例题1.

命令limit（（x-sin（x））/（x^3）,x,0）

例题2.

命令limit（（（x+3）/（x+2））^x,x,inf）

例题3.观察函数

在

时的极限过程

x=1:

-0.01:

0;

y=cos（1/x）;

plot（x,y）

例题4.

symsx

limit（（cos（x）-exp（-x^2/2））/（x^4）,x,0）

例题5.

symsn

limit（1/（log（log（n）））^log（n）,n,inf）

例题6.观察函数

的图像,理解可去间断点,无穷间断点以及跳跃间断点的概念

x1=-2:

0.01:

0.5;

x2=0.51:

0.01:

1

y1=sin（x）/（x*（x+1））;

y2=x2;

x=[x1,x2];

y=[y1,y2];

plot（x,y）

2.无穷大量与无界函数

例题7.观察函数

在

时的极限过程,理解无穷大量与无界函数的区别

x=1:

-0.01:

0;

y=（1/x）*cos（1/x）;

plot（x,y）

3.函数的导数和积分

导数

diff（f,x,n）:

函数对x求n阶导数

例题8.求函数

的一阶和二阶导数

symsx

y=’exp（2*x）*log（x^2+1）*tan（-x）’;

diff（y,x）

diff（（diff（y,x）,x）

diff（y,x,2）

观察一下后两个命令的运算结果

例题9.

求y的一阶和三阶导数

symsx

f=‘exp（x^2）*cos（x）/log（1+x^2）';

diff（f,x）

diff（f,x,3）

例题10.

求

symsx

symsy

z='log（x^2+y^2）/atan（y/x）';

diff（z,x）

diff（diff（z,x）,y）

积分

int（f，v）:

求函数f对变量v的不定积分

int（f,v,a,b）:

求函数f对变量v在区间[a,b]上的定积分

以上两个函数中当v缺省时，表示对符号变量的积分

例题11.

symsx;

y='x*log（1+x^2）';

int（y,x）

例题12.

symsx;

y='x^3/（x^4+2*x^2+1）';

int（y,x,0,5）

例题13.

symsxy;

f='x*sin（x）';

int（int（f,x,y,sqrt（y））,y,0,1）

例题14.求函数

和

的不定积分

symsx

f1=’x*exp（-x^2/2）’;

f2=’1/（x*sqrt（1+x^2））’;

int（f1,x）

int（f2）

例题15.求下列定积分

和

symsx

y1=’1/sqrt（1+x^2）’

y2=’（sin（x））^3/（（1+（sin（x））^4）*tan（x））’

int（y1,x,0,1）

int（y2,x,0,pi/4）

4.解方程

例题16.求方程

在0到1之间的根

f=inline（‘x^3+x-1’）

x=fzero（f,[0,1]）

x=fzero（f,0.5）

例题17.求微分方程

满足

的特解

dsolve（‘d2y=1+dy’,’y（0）=1’,’dy（0）=0’）

第三讲极坐标以及函数的图像函数图像的描绘

⒈极坐标的定义和点的坐标，点的极坐标和直角坐标之间的联系

其中

沿逆时针旋转时为正，沿顺时针旋转时为负，

⒉极坐标下常见曲线的方程

圆

圆锥曲线，包括椭圆，双曲线，抛物线的极坐标方程是

是离心率，

是左焦点与左准线之间的距离，极坐标的极点在左焦点

心形线

阿基米德螺线

双纽线

⒊极坐标曲线图像的描绘

xx_theta=0:

0.1:

2*pi;

xx_rou=4*（1+cos（xx_theta））;

ajmd_theta=0:

0.1:

8*pi;

ajmd_rou=2*ajmd_theta;

sn_theta=0:

0.1:

2*pi;

sn_rou=8*cos（2*sn_theta）;

c=find（sn_rou<0）;

sn_rou（c）=0;

subplot（1,3,1）

polar（xx_theta,xx_rou）

subplot（1,3,2）

polar（ajmd_theta,ajmd_rou）

subplot（1,3,3）

polar（sn_theta,sn_rou）

4.MATLAB中的几个绘制函数图像的命令

plot（x,y,’s’）:

x,y为实向量，x为横坐标，y为纵坐标，s是可选参数，用来指定曲线的线形，颜色，数据点的形状等。

当x，y之中至少有一个是矩阵时，可以绘制多条曲线。

polar（theta,rou）:

用于绘制极坐标曲线

ezplot（f,[a,b]）:

用于绘制函数f在区间[a,b]上的曲线，该命令还可用于绘制隐函数

的图像，具体命令格式为：

ezplot（‘f’,[xmin,xmax,ymin,ymax]）

plot3（x,y,z,’s’）:

用法与plot完全相同，用于绘制三维曲线

grid:

在地层绘制三维网格

meshgrid（x,y）:

用向量x,y产生一个格点矩阵

mesh（x,y,z,’s’）:

绘制网线图，它的两个同种函数

meshc:

画网格图和基本的等值线图

meshz:

画含零平面的网格图

surf（x,y,z,’s’）:

绘制曲面图，它的两个同种函数

surfc:

画出具有等值线的曲面图

surfl:

画出一个有亮度的曲面图

holdon（off）:

保持或不保持屏幕，用于将两个图形重叠画出

shadingflat:

各个曲面块之间平滑加色彩，连接处的黑线已被去掉

shadinginterp:

插值加色彩

title（‘sssssss’）:

加台头

xlable（‘xx’）:

xx是x轴的说明，同理，还有y,z轴的说明

ezmesh,ezsurf:

曲线和曲面的简单画法

grid,title,轴说明等必须放在画图语句之后。

5.举例

例1.

x=-1:

0.1:

5;

y=exp（x）+sin（x.^2-1）;

plot（x,y）

例2.画出函数

的图像

t=-0.9:

0.1:

5;

x=t.^2;

y=exp（t）;

z=log（1+t）;

plot3（x,y,z）

grid,xlabel（'x-axis'）,ylabel（'y-axis'）,zlabel（'z-axis'）

例3.画出隐函数

的图像

ezplot（'exp（y+x）-x.*y-1',[-10,10,-10,10]）

例4.画出曲面在z＝xy的图像

x=-5:

0.1:

5;

y=-5:

0.1:

5;

[xb,yb]=meshgrid（x,y）;

zb=xb.*yb;

subplot（1,2,1）

mesh（xb,yb,zb）

view（-100,20）

subplot（1,2,2）％定义子图

surf（xb,yb,zb）

view（-100,20）％改变视角

例5.各种效果图

[X,Y,Z]=peaks（50）;

subplot（2,2,1）

meshc（X,Y,Z）

grid,xlabel（‘X-axis’）,ylabel（‘Y-axis’）,zlabel（‘Z-axis’）

title（‘peak’）

subplot（2,2,2）

meshz（X,Y,Z）

grid,xlabel（‘X-axis’）,ylabel（‘Y-axis’）,zlabel（‘Z-axis’）

title（‘peak’）

subplot（2,2,3）

surfc（X,Y,Z）

grid,xlabel（‘X-axis’）,ylabel（‘Y-axis’）,zlabel（‘Z-axis’）

title（‘peak’）

subplot（2,2,4）

surfl（X,Y,Z）

grid,xlabel（‘X-axis’）,ylabel（‘Y-axis’）,zlabel（‘Z-axis’）

title（‘peak’）

例6.用平行截面法研究马鞍面

x=-4:

0.1:

4;

y=x;

[mx,my]=meshgrid（x,y）;

mz=mx.^2-my.^2;

ix=find（mx==2）;

px=2*ones（1,length（ix））;

py=my（ix）;

pz=mz（ix）;

subplot（1,2,1）

holdon

mesh（mx,my,mz）

view（-60,30）

plot3（px,py,pz）

subplot（1,2,2）

plot3（px,py,pz）

例7.绘制旋转抛物面

的图形

x=-2:

0.1:

2;

y=x;

[xx,yy]=meshgrid（x,y）;

zz=xx.^2+yy.^2;

ii=find（xx.^2+yy.^2>4）;

zz（ii）=nan;

surfl（xx,yy,zz）

shadinginterp

colormappink

例8.绘制封闭曲面，由旋转抛物面

与平面

围成

x=-2:

0.1:

2;

y=x;

[xx,yy]=meshgrid（x,y）;

z=4*ones（size（xx））;

zz=xx.^2+yy.^2;

ii=find（xx.^2+yy.^2>4）;

zz（ii）=nan;

z（ii）=nan;

holdon

view（-37.5,30）

surf（xx,yy,zz）

mesh（xx,yy,z）

例9.绘制上例中的立体的投影图

x=-2:

0.1:

2;

y=x;

[xx,yy]=meshgrid（x,y）;

z=4*ones（size（xx））;

zz=xx.^2+yy.^2;

ii=find（xx.^2+yy.^2>4）;

zz（ii）=nan;

z（ii）=nan;

holdon

subplot（1,2,1）

surf（xx,yy,zz）

mesh（xx,yy,z）

axisequal

view（[0,0,1]）

subplot（1,2,2）

surf（xx,yy,zz）

mesh（xx,yy,z）

axisequal

view（60,0）

从中可以看出，仅仅是视角发生了变化

作业：

在同一坐标系下绘制曲面

被

截得的部分曲面