高一数学必修一公式及习题.docx
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高一数学必修一公式及习题
唐人街高中数学-必修1各章知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:
世界上最高的山
(2)元素的互异性如:
由HAPPY勺字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:
如:
{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:
{…}如:
{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:
列举法与描述法。
注意:
常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R
1)列举法:
{a,b,c}
2)描述法:
将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x三R|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法:
例:
{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:
{x|x2=—5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系一子集
注意:
AJB有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A等B或B孩A
2.“相等”关系:
A=B(5>5,且5W5,则5=5)
实例:
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。
用A
un
②真子集:
如果A=B,且A#B那就说集合A是集合B的真子集,记作A#B(或BWA)
③如果AB,BC,那么AC
④如果任B同时B三A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为①
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集三、集合的运算
运算旧
交集
并集
补集
定义
由所后属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A^B(读作‘A交B'),即
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:
AUB
(读作"并8'),即
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所后不属于A的兀素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作CSA,即
S
ADB={x|xwA,且
x三B}.
AUB={x|xwA,或xWB}).
CsA={x|xWSJlx乏:
韦
恩图
C:
C®)
示
图1
图2
性
AOA=A
aUa=a
(CuA)n(CuB)
aQ①二①
aU①二:
=Cu(AUB)
aDb=bQa
aUb=bUa
aDb工a
aUb3a
(CuA)U(CuB)
质
A口B^B
aUb3b
=Cu(AnB)
aU(CuA)=U
:
n(CuA)=①.
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xRR},N={x|x>0},则M与N的关系是^
4.设集合A={x1 5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化,学实验做得正 确得有31人,J 两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。 6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合j卜长 M=. 7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+ni-19=0},若BnCw①,A CC=O,求m的值 二、函数的有关概念 1.函数的概念: 设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于 集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),xCA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|xCA}叫做函数的值域. 注意: 2.定义域: 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各 部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, ⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义^ 相同函数的判断方法: ①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关); ♦定双晟一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域: 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3.函数图象知识归纳 (1)定义: 在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(xCA)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(xCA)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数又x、y为坐标的点(x,y),均在C上. (2)画法 A、描点法: B、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类: 开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于 集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f: AtB为从集合A到集合B的一个映射。 记作“f(对应关系): A(原象)tB(象)" 对于映射f: 2B来说,则应满足: (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充: 复合函数 如果y=f(u)(u6M),u=g(x)(x6A),则y=f[g(x)]=F(x)(x6A)称为f、g的复合函 数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 如果对于区间D上的任意两个自变量的值xbX2,当x 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意: 函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间 上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的 图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A)定义法: d任取xi,X2CD,且Xi @作差f(xi)—f(x2); (3变形(通常是因式分解和配方); (4定号(即判断差f(xi)-f(x2)的正负); (5下结论(指出函数f(x)在给定白区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关, 其规律: “同增异减” 注意: 函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在 一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (i)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(—x)=f(x),那么f(x)就 叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个X,都有f(-x)=—f(x),那么f(x) 就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;②确定f(—x)与f(x)的关系; (3作出相应结论: 若f(—x)=f(x)或f(-x)—f(x)=0,则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的 定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(i)再根据定 义判定; (2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±i来判定;(3)利用定理,或借助 函数的图象判定. 9、函数的解析表达式 (i).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一 是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4)消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) ①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 @利用图象求函数的最大(小)值 (3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x) 在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x) 在x=b处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴y_.x-2x一15 一|x3-3 2.设函数f(x)的定义域为 ⑵y=.i.(x: )2,x1 3.若函数f(xH1)的定义域为[_2,3],则函数f(2x_1)的定义域是 x2(x<-1) 4 f(x)=3,则x= ⑵y=x22x-3x[1,2] .函数! 2,若 f(x)=x(-1: : : x: : : 2) 2x(x_2)L 5.求下列函数的值域: ⑴y=x22x-3(xR) (3)y=x-.,1-2x(4) 6.已知函数f(x—1)=x2—4x,求函数f(R,f(2x+1)的解析式 7.已知函数f(R满足2f凶+f(0贝Uf(x)= 8.设f(x)是R上的奇函数,且当x^[0,+到时,f(x)=x(1+3/x),则当xW(-°o,0)时f(x)= f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间: ⑴y=x2+2x+3⑵y=V-x2+2x+3⑶y=x2-6x-1 10.判断函数y=-x3+1的单调性并证明你的结论. 11.设函数f(x)_1+x2判断它的奇偶性并且求证: f,1 (x)一.2f㈠=-f(x) 1-xx 第二章基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数塞的运算 1.根式的概念: 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n* eN. 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作U0=0。 当n是奇数时,Van=a,当n是偶数时,Van=|a|=」a(a-0) 「a(a<0) 2.分数指数哥 正数的分数指数哥的意义,规定: m an=nam(a0,m,nN*,n1) 1* (a0,m,nN,n1) nm a 0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数哥没有意义 3.实数指数哥的运算性质 (a>0,r,s=R). (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念: 一般地,函数y=ax(a>0,且a#1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R. 注意: 指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0 6 6 5 1 5 4 1 4 3 U 3 2 2 11 1 — 3 ■ - -0~ 0~ 一1 定义域 R 定义域R 值域y>0 值域y>0 在R上单调递增 在R上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1) 函数图象都过定 点(0,1) 注意: 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,f(x)=ax(a>0且a#1)值域是[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]; (2)若x#0,则f(x)#1;f(x)取遍所有正数当且仅当xWR; (3)对于指数函数“*)=232>0且2/1),总有f (1)=a; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念: 一般地,如果ax=N(a>0,a#1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作: x=logaN(a—底数,N—真数,logaN一对数式)说明: ①注意底数的限制a>0,且a#1; 22)ax=NulogaN=x; @注意对数的书写格式.।a-- 两个重要对数: ①常用对数: 以10为底的对数lgN; @自然对数: 以无理数e=2.71828」为底的对数的对数lnN. 指数式与对数式的互化 嘉值真数 bII a=N=logaN=b 指数对数 (二)对数的运算性质 如果a>0,且a#1,M>0,N>0,那么: O10ga(M♦N)=10gaM+10gaN; ②lOgaM=10gaM-10gaN; N (310gaMn=n10gaM(nwR). 注意: 换底公式 ,10gcb-- 10gab=(a>0,且a*1;c>0,且c=1;b>0). 10gca 利用换底公式推导下面的结论 (1)10gambn=-10gab; (2)10gab=. m10gba (二)对数函数 1、对数函数的概念: 函数y=10gax(a>0,且a#1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+8). 注意: ①对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: y=210g2x,y=10g5x都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5 (2对数函数对底数的限制: (a>0,且a#1). 2、对数函数的性质: a>1 3
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