等差等比数列的性质总结.docx
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等差等比数列的性质总结
等差等比数列的性质总结
一、等差数列
1、等差数列的定义:
(d为常数)();
2、等差数列通项公式:
,首项:
,公差:
d,末项:
推广:
、从而;
3、等差中项
(1)如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项、即:
或
(2)等差中项:
数列是等差数列
4、等差数列的前n项和公式:
(其中
A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)特别地,当项数为奇数时,是项数为2n+1的等差数列的中间项(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)
5、等差数列的判定方法
(1)定义法:
若或(常数)
是等差数列、
(2)等差中项:
数列是等差数列、⑶数列是等差数列(其中是常数)。
(4)数列是等差数列,(其中
A、B是常数)。
6、等差数列的证明方法定义法:
若或(常数)
是等差数列、7、提醒:
(1)等差数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
、、、及,其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)设项技巧:
①一般可设通项②奇数个数成等差,可设为…,…(公差为);③偶数个数成等差,可设为…,,…(注意;公差为2)
8、、等差数列的性质:
(1)当公差时,等差数列的通项公式是关于的一次函数,且斜率为公差;前和是关于的二次函数且常数项为0、
(2)若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,若公差,则为常数列。
(3)当时,则有,特别地,当时,则有、注:
,(4)若、为等差数列,则都为等差数列(5)
若{}是等差数列,则,…也成等差数列(6)数列为等差数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列(7)设数列是等差数列,d为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和
1、当项数为偶数时,
2、当项数为奇数时,则(其中是项数为2n+1的等差数列的中间项)、(8)、的前和分别为、,且,则、(9)等差数列的前n项和,前m项和,则前m+n项和(10)求的最值法一:
因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性。
法二:
(1)“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和即当由可得达到最大值时的值、
(2)“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和。
即当由可得达到最小值时的值、或求中正负分界项法三:
直接利用二次函数的对称性:
由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数,故n取离二次函数对称轴最近的整数时,取最大值(或最小值)。
若Sp=Sq则其对称轴为注意:
解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:
①基本量法:
即运用条件转化为关于和的方程;②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量、
二、等比数列
1、等比数列的定义:
,称为公比
2、通项公式:
,首项:
;公比:
推广:
,从而得或
3、等比中项
(1)如果成等比数列,那么叫做与的等差中项、即:
或注意:
同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
(2)数列是等比数列
4、等比数列的前n项和公式:
(1)
当时,
(2)
当时,(为常数)
5、等比数列的判定方法
(1)用定义:
对任意的n,都有为等比数列
(2)等比中项:
(0)为等比数列(3)通项公式:
为等比数列(4)前n项和公式:
为等比数列
6、等比数列的证明方法依据定义:
若或为等比数列
7、注意
(1)等比数列的通项公式及前和公式中,涉及到5个元素:
、、、及,其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;如奇数个数成等差,可设为…,…(公比为,中间项用表示);
8、等比数列的性质
(1)
当时①等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数,底数为公比②前n项和,系数和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比
(2)
对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式、因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3)
若m+n=s+t(m,n,s,t),则、特别的,当n+m=2k时,得注:
(4)
列,为等比数列,则数列,,,(k为非零常数)
均为等比数列、(5)
数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6)
如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7)
若为等比数列,则数列,,,成等比数列(8)
若为等比数列,则数列,,成等比数列(9)
①当时,②当时,,③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列);④当q<0时,该数列为摆动数列、(10)在等比数列中,当项数为2n(n)时,,、(11)若是公比为q的等比数列,则例
1、
(1)设是等差数列,且,求及S15值。
(2)等比数列中,,,前n项和Sn=126,求n和公比q。
(3)等比数列中,q=2,S99=77,求a3+a6+…+a99;(4)项数为奇数的等差数列中,奇数项之和为80,偶数项之和为75,求此数列的中间项与项数。
解:
(1)由已知可得,所以=2,S15=,所以或又,所以或评注:
分解重组,引导发现()、()与()的关系,从而使问题获得简单的解法。
设等差数列共2n-1项,则所以此数列共31项、中间项评注:
(1)在项数为项的等差数列中,;
(2)在项数为项的等差数列中、变式:
(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为,则这个数列有13项;
(2)已知数列是等比数列,且,,,则9、(3)等差数列前项和是,前项和是,则它的前项和是210、(4)
等差数列{an}和{bn}的前n项之和之比为(3n+1):
(2n+3),求、。
(=)例
2、设等差数列的前n项之和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0,
(1)求公差d的取值范围。
(2)指出S1,S2,S3,…Sn中哪一个值最大,并说明理由。
解:
(1),,即,由,代入得:
。
(2)解一:
由,可知,所以S6最大。
解二:
,由可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点,根据图象可知S6最大。
解三:
,由得。
又抛物线开口向下,所以S6最大。
评注:
求等差数列Sn最值有三法:
借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。
(经过原点)变式:
(1)
已知等差数列{an}中,,问S1,S2,S3,…Sn中哪一个值最大。
(2)
数列是首项为,公比为的等比数列,数列满足,
(1)求数列的前项和的最大值;
(2)求数列的前项和、略解:
(1)由题得,∴,∴是首项为3,公差为的AP。
∴,∴由,得,∴数列的前项和的最大值为
(2)由
(1)当时,,当时,,∴当时,当时,∴、例
3、
(1)
由正数组成的等比数列,若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列的通项公式、①②解:
当时,得不成立,∴,∴由①得,代入②得,∴、说明:
用等比数列前项和公式时,一定要注意讨论公比是否为
1、
(2)
若数列成等差数列,且,求、解:
(法一)基本量法(略);(法二)设,则得:
,,∴,∴、评注:
法二抓住了等差数列前n项和的特征。
变式:
设数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}的前n项和,求Tn。
解:
法一:
(基本量法)设{an}首项为a1,公差为d,则∴∴,∴∴此式为n的一次函数,∴{}为等差数列,∴。
法二:
{an}为等差数列,设Sn=An2+Bn,∴解之得:
∴,下略。
例
4、已知等差数列,
(1)在区间上,该数列有多少项?
并求它们的和;
(2)在区间上,该数列有多少项能被整除?
并求它们的和、解:
,
(1)由,得,又,∴该数列在上有项,其和、
(2)∵,∴要使能被整除,只要能被整除,即,∴,∴,∴,∴在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项,其和、等差、等比数列性质及应用复习参考题
一、选择题
1、在正整数100至500之间能被11整除的个数为()
A、34
B、35
C、36
D、3
72、{an}是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是()
A、24
B、27
C、30
D、3
33、设函数f(x)满足f(n+1)=(n∈N*)且f
(1)=2,则f(20)为()
A、95
B、97
C、105
D、19
24、若是等差数列,首项,则使前n项和成立的最大自然数n是:
()
A、4005
B、4006
C、4007
D、400
85、等差数列{an}中,已知a1=-6,an=0,公差d∈N*,则n(n≥3)的最大值为()
A、5
B、6
C、7
D、
86、设命题甲:
△ABC的一个内角为60o,命题乙:
△ABC的三个内角的度数成等差数列、那么()
(A)甲是乙的充分不必要条件(B)甲是乙的必要不充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7、已知等差数列{an}的公差为正数,且a3a7=-12,a4+a6=-4,则S20为()
A、180
B、-180
C、90
D、-908、现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数为()
A、9
B、10
C、19
D、2
99、由公差为d的等差数列a
1、a
2、a3…重新组成的数列a1+a4,a2+a5,a3+a6…是()
A、公差为d的等差数列
B、公差为2d的等差数列
C、公差为3d的等差数列
D、非等差数列
10、在等差数列{an}中,若S9=18,Sn=240,an-4=30,则n的值为()
A、14
B、15
C、16
D、17
二、填空题
11、在数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),则是这个数列的第_________项、
12、在等差数列{an}中,已知S100=10,S10=100,则S110=_________、
13、在-9和3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n=_______、
14、等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若=,则=_________、
15、已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是
16、若数列是等差数列,则数列也为等差数列,类比上述性质,相应地:
若是等比数列,且,则{}是等比数列,其中、
17、设m∈N+,log2m的整数部分用F(m)表示,则F
(1)+F
(2)+…+F(1024)的值是
三、解答题(本大题共5小题,共54分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18、若等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问它们有多少相同的项?
19、在等差数列{an}中,若a1=25且S9=S17,求数列前多少项和最大、
20、已知f(x+1)=x2-4,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x)、
(1)求x值;
(2)求a2+a5+a8+…+a26的值、
21、已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=、
(1)求证:
{}是等差数列;
(2)求an表达式;(3)若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:
b22+b32+…+bn2<
1、
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