一元一次方程讲解.docx
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一元一次方程讲解
知识梳理
§5.1一元一次方程
概念:
方程的两边都是整式(分母中不含未知数),只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是一次,这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程的标准形式:
axb0(其中x是未知数,a,b是已知数,并且a0).
归纳等式的两个性质
⒈等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,所得结果仍是等式,即如果acbc.⒉等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或整式,所得结果仍是等式,即如果
ab,那么acbc.如果ab,c0,那么ab.
cc
等式:
用等号来表示相等关系的式子叫等式。
方程的概念:
含有未知数的等式叫做方程。
方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解
解方程:
求方程解的过程叫做解方程。
二、规律方法总结
1、方程思想:
(1)方程思想就是把未知数看成已知数,让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。
(2)求未知数的值(例如在填空题和简单应用类题目中),一般都通过构建方程来求解。
2、数形结合思想:
数形结合思想是指在研究问题的过程中,由数思形,由形思数,把
数与形结合起来,分析问题的思想方法。
本章在列方程解应用题时常用画线段图和画框图的方法来分析问题。
§5.2一元一次方程解法
移项的法则:
一般地,把方程中的项改变符号后,
从方程的一边移到另一边,这种变形
叫做移项。
移项时,通常把含有未知数的项移到等号的左边,
把常数项移到等号的右边。
(移
项的根据是等式的基本性质
1)
注意移项必须改变符号后从等式的一边移到另一边。
解一元一次方程的一般步骤
变形名称
具体做法
根
据
注意事项
去分母
在方程的两边同乘个分母
等式基本性质2
①不漏乘不含分母的项;
的最小公倍数
②注意给分子添括号。
去括号
先去小括号,再去中括号,
分配律、去括号
①不漏乘括号里的项;
最后去大括号
法则
②括号前是“-”号,要变号。
把含有未知数的项移到方
移项
程的一边,其他各项都移
移项法则(等式
移项要变号
的基本性质1)
到方程的另一边
把方程化为
合并同类项
ax
b(a0)的形式
合并同类项法则
系数相加,不漏项
两边同除以未知数的系数
系数化为1
b
等式基本性质2
乘以系数的倒数
a,得到方程的解x
a
方程axb的形式的解的讨论拓展点
当a0时,方程有唯一解,当a0,b0时,方程有无数个解,当a0,b0时方程无解。
§5.3一元一次方程与应用问题及实际问题
一、本章几个主要的运用问题及其数量关系
1、行程问题基本量及关系
:
路程=速度×时间
路程
时间=
路程
速度
速度
时间
[典型问题]
相遇问题中的相等关系:
一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离
追及问题中的相等关系:
追及者的行程-被追者的行程
=相距的路程
航程问题
顺速=V静+风(水)速
逆速=V静-风(水)速
2、销售问题·基本量:
成本(进价)、售价(实售价)、
利润(亏损额)、利润率(亏损率)
基本关系:
利润=售价-成本、亏损额=成本-售价、
利润
亏损额
利润=成本×利润率
亏损额=成本×亏损率
利润率
亏损率
成本
成本
3工程问题
基本量及关系:
工作总量=工作效率×工作时间
工作总量
工作时间
工作总量
工作效率
工作效率
工作时间
常见相等关系:
(1)各阶段工作量之和=工作总量
(2)各参与者工作
量之和=工作总量
4、分配型问题:
此问题中一般存在不变量,而不变量正是列方程必不可少的一种相等
关系。
5、调配型问题:
通常画框图帮助分析(包括数字问题)
相等关系:
通常是调动后存在的数量关系
6、方案选择型问题
解决的关键:
求出相等的时刻;再在大于和小于的值中各选择一个特值计算比较,也可结合实际进行判断
7、其他类型:
如图表信息题,配套问题,等积变化问题,球赛积分问题等等,结合实际具体分析,或者画图分析。
总之,找相等关系是关键。
二、列方程解应用题的一般步骤
(1)审:
弄清题意和数量关系,弄清已知量和未知量,找到一个包含题目全部数量关系的相等关系。
(2)设:
设未知数(可设直接和间接未知数)
(3)列:
列方程(使用题中原始数据或已经计算出的数据)
(4)解:
解方程
(5)验:
检验是否原方程的解,检验是否符合题意;
(6)答:
回答全面,注意单位。
说明:
(1)书写出来的是:
设、列、解、答
(2)“审”是关键,“验”是保证。
思路启迪:
1、时针与分针的速度可用(数字,格子,度数,)3钟方法表示,因此钟表上的“追及”问题可用3种方法求解
数字
(1)时针时针1小时走1个数字
(2)分针分针1小时走12个数字格子
(1)时针1小时走5小格
(1)分针1小时走60小格
度数:
(1)时针时针1小时走300
(2)分针1小时走3600
方程的解的应用
例1
关于x的方程2x-4=3m和x+2=m有相同的解,则
m的值是()
A.10
B.-8C.-10
D.8
解析:
解方程2x-4=3m,得x=
3m4.解方程x+2=m,得x=m-2.由两方程解
2
相同,得3m4=m-2,解得m=-8.
2
答案:
B
1
(m-y)=2y的解,那么关于
x的方程2m(x-1)=(m+1)(3x-
例2已知y=3是6+
4
4)的解是多少?
分析:
把y=3代入第一个方程,使这个方程转化为关于
m的方程,解出m的值,再代
入第二个方程,求出x的值.
解:
y=3代入方程6+1
(m-y)=2y,得6+
1
(m-3)=6.解得m=3.
4
4
将m=3代入2m(x-1)=(m+1)(3x-4),得
2×3(x-1)=(3+1)(3x-4).解得x=5.
3
方法
先利用第一个方程求出字母m的值,再把m值代入第二个方程解第二个方程,培养思考问题的综合能力.
应用题汇编
例题一通讯员骑摩托车需要在规定时间,
把文件送到某地,若每小时走
60千米,就早到
12分钟;若每小时走50千米,则要迟到
7分钟,求路程.
分析:
如果设规定时间为
x小时,当每小时走60千米时,则路程为
60x
12千米;
60
当每小时走50千米时,则路程为50x
7
千米.这时可用路程相等列出方程.
60
解:
设规定时间为x小时,根据题意,得
60
12
=50
7
.
x
x
60
60
解得x
107
.所以路程为6x
12
=60×
107
12
=95千米.
60
60
60
60
答:
路程为95千米.
例二
某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游,甲旅行社说:
“如果校长买
全票一张,则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说:
“包括校长在内全部按全票价的六折
优惠”,若全票价为
240元,
(1)设学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为
y乙,分别计算两家旅行社的收
费(建立表达式);
(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样
?
分析:
(1)问分别用含x的式子表示y甲、y
乙.
(2)问是当y甲=y乙时求x.
解:
(1)因为全票价为
240元,所以半票价为
120元,
这样甲旅行社收费为
y甲=120x+240.
又因为全票价为
240元,所以全票价的60%为240×
60=144(元),
100
这样乙旅行社收费为
y乙=144x+144.
(2)因为甲旅行社收费为
y甲,乙旅行社收费为y乙,
所以当两家旅行社收费一样时,即有方程
120x+240=144x+144.
解这个方程,得
x=4.
答:
当学生数为
4时,两家旅行社收费一样.
巩固
某商场将彩电先按原价提高
40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”
,结果
每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是多少元?
分析:
假设每台彩电原价是x元,则提高40%后为(1+40%)x元,八折为(1+
元,也就是现售价为(1+40%)x·80%元.
解:
设每台彩电原价是x元,根据售价与原价之差等于270,列方程得
x(1+40%)·80%-x=270,解得x=2250.
答:
每台彩电原价是2250元.
40%)x·80%
提高
某中学租用两辆汽车
(设速度相同
)同时送
1名带队老师及
7名九年级的学生到县城
参加数学竞赛,每辆限坐4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距离考场15千米的地方出
现故障,此时离截止进考场的时间还有42分,这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,
且这辆车的平均速度是60千米/时,人步行的速度是5千米/时(上、下车时间忽略不计).
(1)若小汽车送4人到达考场,然后再回到出故障处接其他人,请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场;
(2)假如你是带队的老师,请你设计一种运送方案,使他们能在截止进考场的时间前到达考场,并通过计算说明方案的可行性.
分析:
本题是一道开放性的方案设计问题,解答时应注意分各种情况进行讨论.
解:
(1)15×3=3(时)=45(分).
604
因为45>42,所以不能在限定时间内到达考场.
(2)方案:
先将4人用车送到考场,另外4人同时步行前往考场,汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场.
先将4人用车送到考场所需时间为15=1(时)=15(分).
604
1时另外4人步行了1.25千米,
4
此时他们与考场的距离为
15-1.25=13.75(千米).
设汽车返回t(时)后与步行的
4人相遇,则有5t+60t=13.75,解得t=
2.75.
2.75小时.
13
汽车由相遇点再去考场所需时间也是
13
2.75×60≈40.4(分)<42(分).
所以用这一方案送这8
人到考场共需
15+2×
13
所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到.
图表类应用题
例1
(1)七年级
(1)班43人参加运土劳动,共有
30根扁担,要安排多少人抬土,多少
人挑土,可使扁担和人数相配不多不少
?
若设有x人挑土,填写下表:
挑土
抬土
人数/人
扁担/根
即可知两个等量关系:
挑土人数+抬土人数=
43人,挑土用扁担数+抬土用扁担数=
30根.
根据等量关系,列方程
,解得x=
,因此挑土人数为
,抬
土人数为
.
你能用其他方法计算这道题吗
?
(2)如果参加劳动的人数不变,扁担数为
20根可以吗?
为什么?
分析:
有x人挑土,则用扁担
1
(43-x)根,
x根,剩余的(43-x)人抬土,需用扁担数为
2
可列方程为x+1
(43-x)=30,解得x=17,即有挑土人数为17,抬土人数为43-17=26.还
2
可以利用“挑土人数+抬土人数=
43人”列方程.
解:
(1)列表如下:
挑土
抬土
人数/人
x
43-x
扁担/根
x
1
(43-x)
2
1
x+(43-x)=30;17;17;26.
2
能.设挑土用x根扁担,则抬土用(30-x)根扁担,挑土用x人,抬土用2(30-x)人.
根据题意,得x因此,挑土人数为
+2(30-x)=43.解得x=17.
17,抬土人数为2(30-17)=26.
(2)不可以,因为若20根扁担用于挑土,则需20人<43人;若20根扁担用于抬土,则需40人<43人,因此,人员有剩余.所以参加劳动的人数不变,扁担数为20根不可以.
点拨
此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程.由生活常识可知,挑土
1人用
l根
扁担,抬土2人用l根扁担.
巩固下面是甲商场电脑产品的进货单,其中进价一栏被墨水污染,读了进货单后,请
你求出这台电脑的进价.
甲商场商品进货单
供货单位
乙单位
品名
P4200
电脑
DN—63DT
商品代码
商品所属
电脑专柜
标价
5850元
折扣
八折
利润
210元
分析:
本题应先读懂图表所提供的信息,明确题目的条件和所求,
价-进价=利润.
解:
设这台电脑的进价为x元.
根据题意,得5850×0.8-x=210.解得x=4470.
答:
这台电脑的进价为4470元.
注意
商品打八折后的售价等于标价×0.8.
此题等量关系为:
售
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