教育资料第一章 132学习专用.docx
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教育资料第一章132学习专用
1.3.2 命题的四种形式
学习目标
1.了解四种命题的概念,会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.
知识点一 四种命题的概念
思考 给出以下四个命题:
(1)当x=2时,x2-3x+2=0;
(2)若x2-3x+2=0,则x=2;
(3)若x≠2,则x2-3x+2≠0;
(4)若x2-3x+2≠0,则x≠2.
你能说出命题
(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗?
答案 命题
(1)的条件和结论与命题
(2)的条件和结论恰好互换了.命题
(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题
(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.
梳理 对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后,可以构成四种不同形式的命题:
(1)原命题:
如果p,则q;
(2)逆命题:
如果q,则p(“换位”);
(3)否命题:
如果綈p,则綈q(“换质”);
(4)逆否命题:
如果綈q,则綈p(“换位”又“换质”).
知识点二 命题的四种形式之间的关系
思考1 为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”,如果原命题是“如果p,则q”,那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示?
答案 逆命题:
如果q,则p.否命题:
如果綈p,则綈q.逆否命题:
如果綈q,则綈p.
思考2 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系?
原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系?
原命题的逆命题与其否命题呢?
答案 互逆、互否、互为逆否.
梳理 四种命题间的相互关系
知识点三 四种命题的真假关系
思考1 知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的?
答案
(1)真命题,
(2)假命题,(3)假命题,(4)真命题.
思考2 如果原命题是真命题,它的逆命题是真命题吗?
它的否命题呢?
它的逆否命题呢?
答案 原命题为真,其逆命题不一定为真,其否命题不一定为真,其逆否命题一定是真命题.
梳理
(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中,一定与原命题真假性相同的是逆否命题.
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时,它们的真假性没有关系.
(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题.( √ )
(2)原命题与逆命题的真假性无关,但原命题与否命题的真假性一定相反.( × )
(3)一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同.( √ )
(4)否命题其实就是命题的否定.( × )
类型一 四种命题及其相互关系
命题角度1 四种命题的概念
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.
(1)若x∈A,则x∈A∪B;
(2)若a,b都是偶数,则a+b是偶数;
(3)在△ABC中,若a>b,则A>B.
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
解
(1)逆命题:
若x∈A∪B,则x∈A.
否命题:
若x∉A,则x∉A∪B.
逆否命题:
若x∉A∪B,则x∉A.
(2)逆命题:
若a+b是偶数,则a,b都是偶数.
否命题:
a,b不都是偶数,则a+b不是偶数.
逆否命题:
若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数.
(3)逆命题:
在△ABC中,若A>B,则a>b.
否命题:
在△ABC中,若a≤b,则A≤B.
逆否命题:
在△ABC中,若A≤B,则a≤b.
反思与感悟 四种命题的转换方法
(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题.
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题.
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题.
跟踪训练1 命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是( )
A.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
D.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 直接根据逆否命题的定义,将其条件与结论进行否定,再互换,值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”,而应写成不是减函数.
命题角度2 四种命题的相互关系
例2 若命题p:
“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r与p的逆命题的关系是( )
A.互为逆命题
B.互为否命题
C.互为逆否命题
D.同一命题
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 B
解析 已知命题p:
若x+y=0,则x,y互为相反数.
命题p的否命题q为:
若x+y≠0,则x,y不互为相反数,
命题q的逆命题r为:
若x,y不互为相反数,则x+y≠0,
∴r是p的逆否命题,
∴r是p的逆命题的否命题,故选B.
反思与感悟 判断四种命题之间四种关系的两种方法
(1)利用四种命题的定义判断.
(2)巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.
跟踪训练2 已知命题p的逆命题是“若实数a,b满足a=1且b=2,则a+b<4”,则命题p的否命题是__________________________________.
考点 四种命题的相互关系
题点 四种命题相互关系的应用
答案 若实数a,b满足a+b≥4,则a≠1或b≠2
解析 由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得.
类型二 四种命题的真假判断
例3 有以下命题:
①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题,其中真命题为( )
A.①②B.②③
C.④D.①②③
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 D
解析 ①②③显然正确;对于④,若A∩B=B,则B⊆A,
所以原命题为假,故它的逆否命题也为假.
反思与感悟 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,与逆命题或否命题的真假性没有关系.逆命题与否命题也总是具有相同的真假性.
跟踪训练3 命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.2C.3D.4
考点 四种命题的真假判断
题点 由四种命题的关系判断命题的真假
答案 B
解析 命题“若a>b,则ac2>bc2(a,b,c∈R)”是假命题,
则其逆否命题是假命题.
该命题的逆命题为“若ac2>bc2,则a>b(a,b,c∈R)”是真命题,则其否命题是真命题.故选B.
类型三 等价命题的应用
例4 判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
解 方法一 原命题的逆否命题:
已知a,x为实数,若a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅,判断如下:
二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
令x2+(2a+1)x+a2+2=0,
则Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,所以4a-7<0,
即关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为∅.故此命题为真命题.
方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假.
因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
所以(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,解得a≥
>1,
所以原命题为真,故其逆否命题为真.
引申探究
判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,则a<
”的逆否命题的真假.
解 先判断原命题的真假如下:
因为a,x为实数,关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2>0的解集为R,且二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2的开口向上,
所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,
所以a<
.
所以原命题是真命题.
因为互为逆否命题的两个命题同真同假,
所以原命题的逆否命题为真命题.
反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,即互为逆否命题的两个命题具有等价性,所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.
跟踪训练4 证明:
若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
考点 四种命题的相互关系
题点 逆否证法
证明 “若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
∵a=2b+1,
∴a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1
=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,
∴命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
1.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是( )
A.若a∉A,则b∉BB.若a∈A,则b∉B
C.若b∈B,则a∉AD.若b∉B,则a∉A
考点 四种命题
题点 四种命题概念的理解
答案 B
解析 命题“若p,则q”的否命题是“若非p,则非q”,“∈”与“∉”互为否定形式.
2.命题“如果x2<1,则-1 A.如果x2≥1,则x≥1,或x≤-1 B.如果-1 C.如果x>1或x<-1,则x2>1 D.如果x≥1或x≤-1,则x2≥1 考点 四种命题 题点 四种命题概念的理解 答案 D 解析 原命题结论“-1 3.如果一个命题的否命题是真命题,那么这个命题的逆命题是( ) A.真命题 B.假命题 C.不一定是真命题 D.不一定是假命题 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 答案 A 解析 由否命题与逆命题互为逆否命题,可知这个命题的逆命题是真命题. 4.下列命题: ①“全等三角形的面积相等”的逆命题; ②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题; ③“若k<0,则方程x2+(2k+1)x+k=0必有两相异实数根”的逆否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 答案 C 解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题; ②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题; ③当k<0时,Δ=(2k+1)2-4k=4k2+1>0,方程有两相异实根,原命题与其逆否命题均为真命题. 5.已知命题“若m-1 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的真假求参数的范围 答案 [1,2] 解析 命题: “若m-1 ∵该逆命题为真命题, ∴由 得1≤m≤2. 1.写四种命题时,可以按下列步骤进行: (1)找出命题的条件p和结论q; (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q; (3)按照四种命题的结构写出所有命题. 2.一个命题都有条件和结论,要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础. 一、选择题 1.“如果x>y,则x2>y2”的逆否命题是( ) A.如果x≤y,则x2≤y2 B.如果x>y,则x2<y2 C.如果x2≤y2,则x≤y D.如果x<y,则x2<y2 考点 四种命题 题点 四种命题概念的理解 答案 C 解析 由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题. 2.若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( ) A.互逆命题B.互否命题 C.互为逆否命题D.以上都不正确 考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的应用 答案 A 解析 设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”.故q与r为互逆命题. 3.命题p: 若A∩B=B,则A⊆B;命题q: 若A⊈B,则A∩B≠B,那么命题p与命题q的关系是( ) A.互逆命题B.互否命题 C.互为逆否命题D.不能确定 考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的应用 答案 C 解析 由逆否命题的定义可得. 4.下列命题中为真命题的是( ) A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题 B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题 C.命题“若x2+x-2=0,则x=1” D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 答案 B 解析 A选项,“若x>2016,则x>0”的逆命题为“若x>0,则x>2016”是假命题; B选项,“若xy=0,则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0,则xy≠0”是真命题; C选项,由x2+x-2=0,得x=1或x=-2,故C是假命题; D选项,“若x2≥1,则x≥1”是假命题,故其逆否命题是假命题. 5.已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,则它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 答案 B 解析 命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”是真命题,故其逆否命题是真命题. 该命题的逆命题为“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”是假命题,故其否命题也是假命题,故选B. 6.已知命题“如果ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是( ) A.真命题,否命题: “如果ab>0,则a>0或b>0” B.真命题,否命题: “如果ab>0,则a>0且b>0” C.假命题,否命题: “如果ab>0,则a>0或b>0” D.假命题,否命题: “如果ab>0,则a>0且b>0” 考点 四种命题 题点 四种命题概念的理解 答案 B 解析 如果ab≤0,则a与b至少有一个小于等于0, 故“如果ab≤0,则a≤0或b≤0”是真命题, 该命题的否命题为“如果ab>0,则a>0且b>0”. 7.若命题p的否命题为r,命题r的逆命题为s,p的逆命题为t,则s是t的( ) A.逆否命题B.逆命题 C.否命题D.原命题 考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的判断 答案 C 解析 特例: p: △ABC中,若∠A=∠B,则a=b; r: △ABC中,若∠A≠∠B,则a≠b; s: △ABC中,若a≠b,则∠A≠∠B; t: △ABC中,若a=b,则∠A=∠B. 8.下列说法错误的是( ) A.命题“如果x2-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是“如果x≠3,则x2-4x+3≠0” B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件 C.若p且q为假命题,则p,q均为假命题 D.命题p: “∃x∈R,使得x2+x+1<0”,则綈p: “∀x∈R,均有x2+x+1≥0” 考点 四种命题 题点 四种命题概念的理解 答案 C 解析 C选项中,p且q为假命题,则p与q至少有一个为假命题. 二、填空题 9.下列命题中: ①如果一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; ②如果一个四边形为正方形,则它的四条边相等; ③如果一个四边形的四条边相等,则它是正方形. 其中互为逆命题的有________;互为否命题的有________;互为逆否命题的有________. 考点 四种命题 题点 四种命题概念的理解 答案 ②③ ①③ ①② 10.在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________. 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 答案 1 解析 原命题是真命题,则其逆否命题是真命题,该命题的逆命题是假命题,则其否命题也是假命题,故答案为1. 11.已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”,则 ①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”; ②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”; ③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”. 其中正确是________.(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 答案 ①② 解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确.逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”. 三、解答题 12.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)当m> 时,mx2-x+1=0无实根; (2)当abc=0时,a=0或b=0或c=0. 考点 四种命题 题点 四种命题概念的理解 解 (1)逆命题: 当mx2-x+1=0无实根时,m> ,真命题; 否命题: 当m≤ 时,mx2-x+1=0有实根,真命题; 逆否命题: 当mx2-x+1=0有实根时,m≤ ,真命题. (2)逆命题: 当a=0或b=0或c=0时,abc=0,真命题; 否命题: 当abc≠0时,a≠0且b≠0且c≠0,真命题; 逆否命题: 当a≠0且b≠0且c≠0时,abc≠0,真命题. 13.判断命题: “若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假. 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题的真假即可. 方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b, 因为b≤-1,所以Δ≥4>0, 故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真. 方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1”. 方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b, 因为方程无实根,所以Δ<0,即-4b<0,所以b>0,所以b>-1成立,即原命题的逆否命题为真. 四、探究与拓展 14.已知A表示点,a,b,c表示直线,α,β表示平面,给出下列命题: ①a⊥α,b⊄α,如果b∥α,则b⊥a; ②a⊥α,如果a⊥β,则α∥β; ③a⊂α,b∩α=A,c为b在α上的射影,如果a⊥c,则a⊥b; ④a⊥α,如果b∥α,c∥a,则a⊥b,c⊥b. 其中逆命题为真的是________. 考点 四种命题的真假判断 题点 由四种命题的关系判断命题的真假 答案 ①②③ 解析 ④的逆命题: “a⊥α,如果a⊥b,c⊥b,则b∥α,c∥a”,而b,c均可以在α内,故不正确. 教案的教学反思怎么写15.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a,b∈R,对命题“如果a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).” 景山学校通州校区施工情况 (1)写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论; 昆虫记阅读题及答案 (2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 考点 四种命题的真假判断 探索发现生命尔雅答案题点 由四种命题的关系判断命题的真假 政治经济学04任务答案解 (1)逆命题: 如果f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0,为真命题. 教学科研由于逆命题与否命题具有相同的真假性,因此可转化为证明其否命题为真,即证明“如果a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”为真命题. 因为a+b<0,则a<-b,b<-a. 因为f(x)在(-∞,+∞)上为增函数, 则f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), 智慧树材料与社会答案所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 因此否命题为真命题,即逆命题为真命题. (2)逆否命题: 如果f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,为真命题. 推进一带一路建设既要因为逆否命题与原命题具有相同的真假性,所以先证原命题成立. 证明: 因为a+b≥0,所以a≥-b, 新军事变革全面发展始于。 所以f(a)≥f(-b), 教学质量综合测评同理f(b)≥f(-a), 所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),即原命题成立. 所以逆否命题是真命题.
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