相似三角形的运用讲义.docx
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相似三角形的运用讲义.docx
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相似三角形的运用讲义
1、(如图,在正方形ABCD中,点P是AB上一动点(不与A,B重合),对角线AC,BD相交于点O,过点P分别作AC,BD的垂线,分别交AC,BD于点E,F,交AD,BC于点M,N.下列结论:
①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△POF∽△BNF;⑤当△PMN∽△AMP时,点P是AB的中点.
其中正确的结论有( )
A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质
分析:
依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,四边形PEOF是矩形,从而作出判断.
解答:
解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵在△APE和△AME中,
,
∴△APE≌△AME,故①正确;
∴PE=EM=
PM,
同理,FP=FN=
NP.
∵正方形ABCD中AC⊥BD,
又∵PE⊥AC,PF⊥BD,
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°,且△APE中AE=PE
∴四边形PEOF是矩形.
∴PF=OE,
∴PE+PF=OA,
又∵PE=EM=
PM,FP=FN=
NP,OA=
AC,
∴PM+PN=AC,故②正确;
∵四边形PEOF是矩形,
∴PE=OF,
在直角△OPF中,OF2+PF2=PO2,
∴PE2+PF2=PO2,故③正确.
∵△BNF是等腰直角三角形,而△POF不一定是,故④错误;
∵△AMP是等腰直角三角形,当△PMN∽△AMP时,△PMN是等腰直角三角形.
∴PM=PN,
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形,
∴AP=BP,即P时AB的中点.故⑤正确.
故选B.
点评:
本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用,认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,四边形PEOF是矩形是关键.
2、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为( )
A.
2
B.
2.5或3.5
C.
3.5或4.5
D.
2或3.5或4.5
考点:
相似三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
专题:
动点型.
分析:
由Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,可求得AB的长,由D为BC的中点,可求得BD的长,然后分别从若∠DBE=90°与若∠EDB=90°时,去分析求解即可求得答案.
解答:
解:
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,
∴AB=2BC=4(cm),
∵BC=2cm,D为BC的中点,动点E以1cm/s的速度从A点出发,
∴BD=BC=1(cm),BE=AB﹣AE=4﹣t(cm),
若∠DBE=90°,
当A→B时,∵∠ABC=60°,
∴∠BDE=30°,
∴BE=BD=(cm),
∴t=3.5,
当B→A时,t=4+0.5=4.5.
若∠EDB=90°时,
当A→B时,∵∠ABC=60°,
∴∠BED=30°,
∴BE=2BD=2(cm),
∴t=4﹣2=2,
当B→A时,t=4+2=6(舍去).
综上可得:
t的值为2或3.5或4.5.
故选D.
4、如图,在▱ABCD中,E为CD上一点,连接AE、BD,且AE、BD交于点F,S△DEF:
S△ABF=4:
25,则DE:
EC=( )
A.
2:
5
B.
2:
3
C.
3:
5
D.
3:
2
考点:
相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
分析:
先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF,再根据S△DEF:
S△ABF=4:
10:
25即可得出其相似比,由相似三角形的性质即可求出DE:
EC的值,由AB=CD即可得出结论.
解答:
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠EAB=∠DEF,∠AFB=∠DFE,
∴△DEF∽△BAF,
∵S△DEF:
S△ABF=4:
25,
∴DE:
AB=2:
5,
∵AB=CD,
∴DE:
EC=2:
3.
故选B.
5、如图,在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于E,交DC的延长线于F,BG⊥AE于G,BG=
,则△EFC的周长为( )
A.
11
B.
10
C.
9
D.
8
考点:
相似三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的性质.3718684
分析:
判断出△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形,DF的长度,继而得到EC的长度,在Rt△BGE中求出GE,继而得到AE,求出△ABE的周长,根据相似三角形的周长之比等于相似比,可得出△EFC的周长.
解答:
解:
∵在▱ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分线交BC于点E,
∴∠BAF=∠DAF,
∵AB∥DF,AD∥BC,
∴∠BAF=∠F=∠DAF,∠BAE=∠AEB,
∴AB=BE=6,AD=DF=9,
∴△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形,
∵AD∥BC,
∴△EFC是等腰三角形,且FC=CE,
∴EC=FC=9﹣6=3,
在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=4
,
∴AG=
=2,
∴AE=2AG=4,
∴△ABE的周长等于16,
又∵△CEF∽△BEA,相似比为1:
2,
∴△CEF的周长为8.
故选D.
点评:
本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质,注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比,此题难度较大.
9、如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )
A.16B.17C.18D.19
考点:
相似三角形的判定与性质;正方形的性质.
专题:
计算题.
分析:
由图可得,S1的边长为3,由AC=
BC,BC=CE=
CD,可得AC=2CD,CD=2,EC=
;然后,分别算出S1、S2的面积,即可解答.
解答:
解:
如图,设正方形S2的边长为x,
根据等腰直角三角形的性质知,AC=
x,x=
CD,
∴AC=2CD,CD==2,
∴EC2=22+22,即EC=
;
∴S2的面积为EC2=
=8;
∵S1的边长为3,S1的面积为3×3=9,
∴S1+S2=8+9=17.
故选B.
点评:
本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考查了学生的读图能力.
10、(2013•孝感)如图,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在△ABC内依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.则EF等于( )
17、(2013•牡丹江)如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:
①PM=PN;②
;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN=
PC.其中正确的个数是( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
考点:
相似三角形的判定与性质;等边三角形的判定;直角三角形斜边上的中线.3718684
分析:
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确;
先证明△ABM∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确;
先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确;
当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,由P为BC边的中点,得出BN=
PB=
PC,判断④正确.
解答:
解:
①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,
∴PM=
BC,PN=
BC,
∴PM=PN,正确;
②在△ABM与△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,
∴△ABM∽△ACN,
∴
,正确;
③∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,
∴∠ABM=∠ACN=30°,
在△ABC中,∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°,
∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,
∴PM=PN=PB=PC,
∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,
∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形,正确;
④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∴BN=CN,
∵P为BC边的中点,
∴PN⊥
BC,△BPN为等腰直角三角形
∴BN=
PB=
PC,正确.
故选D.
点评:
本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键.
30、(2013•眉山)如图,∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF,点D、E为BC边上的两点,且∠DAE=45°,连接EF、BF,则下列结论:
①△AED≌△AEF;②△ABE∽△ACD;③BE+DC>DE;④BE2+DC2=DE2,
其中正确的有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.
分析:
根据∠DAF=90°,∠DAE=45°,得出∠FAE=45°,利用SAS证明△AED≌△AEF,判定①正确;
如果△ABE∽△ACD,那么∠BAE=∠CAD,由∠ABE=∠C=45°,则∠AED=∠ADE,AD=AE,而由已知不能得出此条件,判定②错误;
先由∠BAC=∠DAF=90°,得出∠CAD=∠BAF,再利用SAS证明△ACD≌△ABF,得出CD=BF,又①知DE=EF,那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF>EF,等量代换后判定③正确;
先由△ACD≌△ABF,得出∠C=∠ABF=45°,进而得出∠EBF=90°,然后在Rt△BEF中,运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2,等量代换后判定④正确.
解答:
解:
①∵∠DAF=90°,∠DAE=45°,
∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°.
在△AED与△AEF中,
,
∴△AED≌△AEF(SAS),①正确;
②∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABE=∠C=45°.
∵点D、E为BC边上的两点,∠DAE=45°,
∴AD与AE不一定相等,∠AED与∠ADE不一定相等,
∵∠AED=45°+∠BAE,∠ADE=45°+∠CAD,
∴∠BAE与∠CAD不一定相等,
∴△ABE与△ACD不一定相似,②错误;
③∵∠BAC=∠DAF=90°,
∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD,即∠CAD=∠BAF.
在△ACD与△ABF中,
,
∴△ACD≌△ABF(SAS),
∴CD=BF,
由①知△AED≌△AEF,
∴DE=EF.
在△BEF中,∵BE+BF>EF,
∴BE+DC>DE,③正确;
④由③知△ACD≌△ABF,
∴∠C=∠ABF=45°,
∵∠ABE=45°,
∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°.
在Rt△BEF中,由勾股定理,得BE2+BF2=EF2,
∵BF=DC,EF=DE,
∴BE2+DC2=DE2,④正确.
所以正确的结论有①③④.
故选C.
点评:
本题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,等腰直角直角三角形的性质,三角形三边关系定理,相似三角形的判定,此题涉及的知识面比较广,解题时要注意仔细分析,有一定难度.
48、在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.
(1)如图1,AC:
AB=1:
2,EF⊥CB,求证:
EF=CD.
(2)如图2,AC:
AB=1:
,EF⊥CE,求EF:
EG的值.
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.3718684
分析:
(1)根据同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根据AC:
AB=1:
2及点E为AB的中点,得出AC=BE,再利用AAS证明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD;
(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先证明四边形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,则∠FEQ=∠GEH,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ∽△EGH,得出EF:
EG=EQ:
EH,然后在△BEQ中,根据正弦函数的定义得出EQ=
BE,在△AEH中,根据余弦函数的定义得出EH=
AE,又BE=AE,进而求出EF:
EG的值.
解答:
(1)证明:
如图1,
在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,
∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB.
∵AC:
AB=1:
2,∴AB=2AC,
∵点E为AB的中点,∴AB=2BE,
∴AC=BE.
在△ACD与△BEF中,
,
∴△ACD≌△BEF,
∴CD=EF,即EF=CD;
(2)解:
如图2,作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四边形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴EF:
EG=EQ:
EH.
∵AC:
AB=1:
,∠CAB=90°,
∴∠B=30°.
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sin∠B=
=
,
∴EQ=
BE.
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH=
=
,
∴EH=
AE.
∵点E为AB的中点,∴BE=AE,
∴EF:
EG=EQ:
EH=
BE:
AE=1:
.
点评:
本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.
53、(2013•呼和浩特)如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F,
(1)
的值为
;
(2)求证:
AE=EP;
(3)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.3718684
分析:
(1)由正方形的性质可得:
∠B=∠C=90°,由同角的余角相等,可证得:
∠BAE=∠CEF,根据同角的正弦值相等即可解答;
(2)在BA边上截取BK=NE,连接KE,根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP,由AB=CB,BK=BE,得AK=EC,结合∠KAE=∠CEP,证明△AKE≌△ECP,于是结论得出;
(3)作DM⊥AE于AB交于点M,连接ME、DP,易得出DM∥EP,由已知条件证明△ADM≌△BAE,进而证明MD=EP,四边形DMEP是平行四边形即可证出.
解答:
(1)解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D,
∵∠AEP=90°,
∴∠BAE=∠FEC,
在Rt△ABE中,AE=
=
,
∵sin∠BAE=
=sin∠FEC=
,
∴
=
,
(2)证明:
在BA边上截取BK=NE,连接KE,
∵∠B=90°,BK=BE,
∴∠BKE=45°,
∴∠AKE=135°,
∵CP平分外角,
∴∠DCP=45°,
∴∠ECP=135°,
∴∠AKE=∠ECP,
∵AB=CB,BK=BE,
∴AB﹣BK=BC﹣BE,
即:
AK=EC,
易得∠KAE=∠CEP,
∵在△AKE和△ECP中,
,
∴△AKE≌△ECP(ASA),
∴AE=EP;
(3)答:
存在.
证明:
作DM⊥AE于AB交于点M,
则有:
DM∥EP,连接ME、DP,
∵在△ADM与△BAE中,
,
∴△ADM≌△BAE(AAS),
∴MD=AE,
∵AE=EP,
∴MD=EP,
∴MD
EP,
∴四边形DMEP为平行四边形.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识.此题综合性很强,图形比较复杂,解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择.
52、(2013•泰州)如图,在矩形ABCD中,点P在边CD上,且与C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,M为PQ中点.
(1)求证:
△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化.当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.
考点:
相似形综合题.
分析:
(1)由对应两角相等,证明两个三角形相似;
(2)如解答图所示,过点M作MN⊥QC于点N,由此构造直角三角形BMN,利用勾股定理求出y与x的函数关系式,这是一个二次函数,求出其最小值;
(3)如解答图所示,当点M落在矩形ABCD外部时,须满足的条件是“BE>MN”.分别求出BE与MN的表达式,列不等式求解,即可求出a的取值范围.
解答:
(1)证明:
∵∠QAP=∠BAD=90°,
∴∠QAB=∠PAD,
又∵∠ABQ=∠ADP=90°,
∴△ADP∽△ABQ.
(2)解:
∵△ADP∽△ABQ,
∴
,即
,解得QB=2x.
∵DP=x,CD=AB=20,∴PC=CD﹣DP=20﹣x.
如解答图所示,过点M作MN⊥QC于点N,
∵MN⊥QC,CD⊥QC,点M为PQ中点,∴点N为QC中点,MN为中位线,
∴MN=PC=(20﹣x)=10﹣x,
BN=QC﹣BC=(BC+QB)﹣BC=(10+2x)﹣10=x﹣5.
在Rt△BMN中,由勾股定理得:
BM2=MN2+BN2=(10﹣x)2+(x﹣5)2=x2﹣20x+125,
∴y=x2﹣20x+125(0≤x≤20).
∵y=x2﹣20x+125=(x﹣4)2+45,
∴当x=4即DP=4时,y取得最小值为45,BM的最小值为
=
.
(3)解:
设PQ与AB交于点E.
如解答图所示,点M落在矩形ABCD外部,须满足的条件是BE>MN.
∵△ADP∽△ABQ,
∴
,即
,解得QB=a.
∵AB∥CD,∴△QBE∽△QCP,
∴
,即
,解得BE=
.
∵MN为中位线,∴MN=PC=(a﹣8).
∵BE>MN,∴
>(a﹣8),解得a>12.5.
∴当点M落在矩形ABCD外部时,a的取值范围为:
a>12.5.
点评:
本题综合考查了相似三角形的判定与性质、中位线、勾股定理、二次函数的最值、解一元一次不等式等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.解题关键是:
第
(2)问中,由BM2=y,容易联想到直角三角形与勾股定理;由最值容易联想到二次函数;第(3)问中需要明确“点M落在矩形ABCD外部”所要满足的条件.
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