数值计算方法复习题2.docx
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数值计算方法复习题2.docx
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数值计算方法复习题2
习题二
1.已知,求的二次值多项式。
2.令求的一次插值多项式,并估计插值误差。
解:
;,介于x和0,1决定的区间;,当时
3.给出函数的数表,分别用线性插值与二次插值求的近似值,并估
计截断误差。
0.54667,0.000470;0.54714,0.000029
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.38942
0.47943
0.56464
0.64422
0.71736
4.设,试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。
5.已知,求及的值。
1,0
6.根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式,并用其计算和的近似
值。
,
X
1.615
1.634
1.702
1.828
1.921
F(x)
2.41450
2.46459
2.65271
3.03035
3.34066
7.已知函数的如下函数值表,解答下列问题
(1)试列出相应的差分表;
(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(x)
1.00
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
解:
向前插值公式向后插值公式
8.下表为概率积分的数据表,试问:
1)时,积分2)为何值时,积分?
。
X
0.46
0.47
0.48
0.49
P
0.484655
0.4937452
0.5027498
0.5116683
9.利用在各点的数据(取五位有效数字),求方程在0.3和0.4之
间的根的近似值。
0.3376489
10.依据表10中数据,求三次埃尔米特插值多项式。
x
0
1
y
0
1
yC
-3
9
11.依据数表11中数据,利用基函数方法,构造四次埃尔米特插值多项式。
13.将区间分成n等分,求在上的分段三次埃尔米特插值多项式,并估计截断误差。
14、给定的数值表
用线性插值与二次插值计算In0.54的近似值并估计误差限
解:
仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用
误差估计。
线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值
误差限,因,故
二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值
误差限,故
15、在-4 似值,要使误差不超过,函数表的步长h应取多少? 解: 用误差估计式, 16、若,求和 解: 由均差与导数关系 互异,求的值,这里 于是 17、若 p 解: ,由均差对称性可知当有 而当p=n+1时 于是得 18、求证 解: 只要按差分定义直接展开得 19、已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解: 根据给定函数表构造均差表 当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式可得由于 20、给定f(x)=cosx的函数表 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差. 解: 计算,用n=4得Newton前插公式 误差估计 其中计算时用Newton后插公式(5.18) 误差估计得 这里仍未0.565 21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足 解: 这种题目可以有很多方法去做,但应以简单为宜。 此处可先造使它满足,显然,再令 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p (2)=1求出A=,于是 22•令称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证明是[-1,1] 上带权的正交多项式序列 解: 因 23、用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它拟合下列数据,并计算均方误差. 解: 本题给出拟合曲线,即,故法方程系数 法方程为 解得 最小二乘拟合曲线为 均方程为 1)满足条件插值多项式p(x)=(). 2),则f[1,2,3,4]=? ,f[1,2,3,4,5]=? . 3)设为互异节点,为对应的四次插值基函数,则=? =? . 4)设是区间]0,1]上权函数为p(耳=曲勺最高项系数为1的正交多项式序列,其中,则=? =? ;
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- 数值 计算方法 复习题