2、特例法:
就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、
特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理,利用问题在某一特殊情况下不真,则
它在一般情况下也不真的原理,由此判明选项真伪的方法。
用特例法解选择题时,特例取得愈简单、愈特殊愈好。
(1)特殊值
例5、若sina>tana>cota(一—),则a€()
42
A.(,)B.(,0)C.(0,)D(;,;)
244442
解析:
因,取a=—■代入Sina>tana>cota,满足条件式,则排除A、
426
CD,故选Bo
例6、一个等差数列的前n项和为48,前2n项和为60,则它的前3n项和为()
A.—24B.84C.72D.36
解析:
结论中不含n,故本题结论的正确性与n取值无关,可对n取特殊值,如n=1,
此时a1=48,a2=S2—S1=12,a3=a1+2d=—24,所以前3n项和为36,故选D。
(2)特殊函数
例7、如果奇函数f(x)是[3,7]上是增函数且最小值为
5,那么f(x)在区间[—7,—3]
上是()
A.增函数且最小值为—
5
B.减函数且最小值是-
5
C.增函数且最大值为-
5
D.减函数且最大值疋-
5
5
解析:
构造特殊函数f(x)=-x,虽然满足题设条件,并易知f(x)在区间[—7,—3]上是
3
增函数,且最大值为f(-3)=-5,故选Co
例&定义在R上的奇函数f(x)为减函数,设a+bw0,给出下列不等式:
①f(a)•f(—
a)w0;②f(b)•f(—b)>0:
③f(a)+f(b)wf(—a)+f(—b);④f(a)+f(b)>f(—a)+f(—b)。
其中正确的不等式序号是()
A.①②④B.①④C.②④D.①③
解析:
取f(x)=—x,逐项检查可知①④正确。
故选Bo
(3)特殊数列
例9、已知等差数列{an}满足a1a2a1010,则有
111
解析:
考虑特殊位置PQ丄OP时,|PF||FQ|,所以2a2a4a,
2apq
故选Co
例11、向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图
象如右图所示,那么水瓶的形状是()
(2,0)及(4,4)都应在反函数厂Yx)的图像上,观察得A、C。
又因反函数厂Yx)的定义域为
{x|x2},故选Co
(6)特殊方程
例13、双曲线b2x2—a2y2=a2b2(a>b>0)的渐近线夹角为a,离心率为e则cos等于()
2
解析:
等差数列的前n项和Sn=dn2+(a「—)n可表示22
为过原点的抛物线,又本题中a1=-9<0,S3=S,可表示如图,
37
由图可知,n=—5,是抛物线的对称轴,所以n=5是抛
2
物线的对称轴,所以n=5时S最小,故选Bo
4、验证法:
就是将选择支中给出的答案或其特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,然后选择符合题设条件的选择支的一种方法。
在运用验证法解题时,若能据题
意确定代入顺序,
则能较大提高解题速度。
例19、方程
xlgx3的解沧
()
A.(0,1)
B.(1,2)
C.
(2,3)
D.
(3,
+m)
解析:
若x
(0,1),贝Vlgx0,
则x
lgx1;
若
x
(1,2)
,则0
lgx
1,则
1xlgx3;
若x(2,3),贝y0
lgx
1,则2
x
lgx
4;
若x
3,lgx
0,则
xlgx3,故选Co
5、筛选法(也叫排除法、淘汰法):
就是充分运用选择题中单选题的特征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根据题设条件与各选择支的关系,通过分析、
推理、计算、判断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除,从而获得正确结论的方法。
使用筛选法的前提是“答案唯一”,即四个选项中有且只有一个答案
正确。
例20、若x为三角形中的最小内角,则函数y=sinx+cosx的值域是()
匚<3142142
A.(1,2]B.(0,]C.[一,]D.(一,]
22222
解析:
因x为三角形中的最小内角,故x(0,—],由此可得y=sinx+cosx>1,排除
B,C,D,故应选Ao
例21、原市话资费为每3分钟0.18元,现调整为前3分钟资费为0.22元,超过3分钟的,每分钟按0.11元计算,与调整前相比,一次通话提价的百分率()
A.不会提高70%B.会高于70%,但不会高于90%
C.不会低于10%D.高于30%,但低于100%
解析:
取x=4,y=0.33;0.36•100%8.3%,排除C、D;取x=30,y=
0.36
2222
例22、给定四条曲线:
①x2y25,②—乞1,③x2y1,④—y21,
29444
其中与直线xy,50仅有一个交点的曲线是()
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
解析:
分析选择支可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中②是一个面积最大的椭圆,故可先看②,显然直
22
线和曲线匕y1是相交的,因为直线上的点(..5,0)在椭圆内,对照选项故选D。
94
6、分析法:
就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择的方法。
(1)特征分析法一一根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快速推理,迅速作出判断的方法,称为特征分析法。
例23、如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传送信
息,信息可以分开沿不同的路线同时传送,则单位时间内传递的最大信息量为()
A.26B.24C.20D.19
解析:
题设中数字所标最大通信量是限制条件,每一支
要以最小值来计算,否则无法同时传送,则总数为3+4+6+6=19,故选Db
例24、设球的半径为R,P、Q是球面上北纬600圈上的两点,这两点在纬度圈上的
劣弧的长是
R
R,则这两点的球面距离是
2
2R
R
R
A、
\3RB、
C、
D、
2
3
2
解析:
因纬线弧长〉球面距离〉直线距离,
排除
A、B、D,
故选Co
例25、已知sin
m3
cos
42m
(
2
),则tan等于(
2
)
m5
m5
m3
m
3,
1
A、
B
、|一
|C
、—
D、
5
9m
9
m
3
解析:
由于受条件
sin2q+cos2Q=1
的制约,
故m为
「确定的值,于是sinQ
cosQ的
值应与m的值无关,进而推知tan—的值与m无关,又一1,
224222
故选D。
(2)逻辑分析法一一通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误支,选出正确支的方法,称为逻辑分析法。
例26、设a,b是满足ab<0的实数,那么()
A.|a+b|>|a—b|B.|a+b|<|a—b|C.|a—|b|D.|a-b|<|a|+|b|
解析:
•••A,B是一对矛盾命题,故必有一真,从而排除错误支C,D。
又由ab<0,
可令a=1,b=—1,代入知B为真,故选B。
例27、ABC的三边a,b,c满足等式acosAbcosBccosC,则此三角形必是()
A、以a为斜边的直角三角形B以b为斜边的直角三角形
C、等边三角形D其它三角形
解析:
在题设条件中的等式是关于a,A与b,B的对称式,因此选项在A、B为等价命
题都被淘汰,若选项
1111
C正确,则有,即1,从而C被淘汰,故选D。
2222
7、估算法:
就是把复杂问题转化为较简单的问题,求出答案的近似值,或把有关数
值扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计,进而作出判断的方法。
03年某地区农民人均收入为
例28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。
3150元(其中工资源共享性收入为1800元,其它收入为1350元),预计该地区自04年起的5年内,农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长,其它性收入每年增加160
元。
根据以上数据,08年该地区人均收入介于()
(A)4200元~4400元(B)4400元~4460元
(C)4460元~4800元(D)4800元~5000元
解析:
08年农民工次性人均收入为:
1800(10.06)51800(1C50.06d0.062
1800(10.30.036)18001.3362405
又08年农民其它人均收入为1350+1605=2150
故08年农民人均总收入约为2405+2150=4555(元)。
故选B。
说明:
1、解选择题的方法很多,上面仅列举了几种常用的方法,这里由于限于篇幅,其它方法不再举例。
需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结
合起来进行解题,会使题目求解过程简单化。
2、对于选择题一定要小题小做,小题巧做,切忌小题大做。
“不择手段,多快好省”
是解选择题的基本宗旨。
(二)选择题的几种特色运算
1、借助结论一一速算
例29、棱长都为2的四面体的四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为()
A、3B、4C、3-3D、6
解析:
借助立体几何的两个熟知的结论:
(1)一个正方体可以内接一个正四面体;
(2)
若正方体的顶点都在一个球面上,则正方体的对角线就是球的直径。
可以快速算出球的半
/<3
径R,从而求出球的表面积为3,故选A。
2
2、借用选项一一验算
3x
y
12,
例30、若x,y满足
2x
9y
,则使得z
3x2y的值最小的(x,y)是()
2x
3y
24,
x
0,y
0,
A、(4.5,3)
B、(
3,6)
C、(9,2)D、(6,4)
解析:
把各选项分别代入条件验算,易知B项满足条件,且z3x2y的值最小,
故选B。
但要带入看是否符合不等式组条件.
3、极限思想一一不算
例31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为,侧面与底面所成的二面角的
平面角为,则2coscos2的值是()
3
A、1B、2C、一1D、一
2
解析:
当正四棱锥的高无限增大时,90,90,贝V
2coscos22cos90cos1801.故选C。
4、平几辅助一一巧算
例32、在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有()
A、1条B、2条C、3条D、4条
解析:
选项暗示我们,只要判断出直线的条数就行,无须具体求出直线方程。
以A
(1,2)为圆心,1为半径作圆A,以B(3,1)为圆心,2为半径作圆B。
由平面几何知识易知,满足题意的直线是两圆的公切线,而两圆的位置关系是相交,只有两条公切线。
故选B。
5、活用定义一一活算
例33、若椭圆经过原点,且焦点
F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为
()
32
1
1
A、B、一
C、D、
—
43
2
4
解析:
利用椭圆的定义可得2a
c1
4,2c2,故离心率e.故选Co
a2
6、整体思想一一设而不算
例34、若(2x..3)4
2
a°a〔xa?
x
3
asXa4
x4,则(a°
a2
a4)2(a1
a3)2
的值为
(
)
A、1
B、-1
C、0
D、2
解析:
二项式中
含有..3,似乎
增加了
计算量和
难
度,但如
果设
a2a3a4a
(23)4,a。
a〔a2
a3a4b
(2.3)4,则待求
式子ab[(23)(2
-3)]41。
故选A。
7、大胆取舍一一估算
例35、如图,在多面体ABCDFE中,已知面ABCD
是边长
7~~r
A
为3的正方形,EF//AB,
3
EF=,EF与面ABCD的距离为2,
\
2
则该多面体的体积为
()
9
15
■4
1/
A、B、5
2
C、6D、
2
A
B
1
解析:
依题意可计算VeABCDSabcdh
13
326'而VabcdefVeabcd=
3
3
6,故选D。
&发现隐含一一少算
2
例36、ykx2与
2y
x1父于A、
2
B两点,
且kOAkOB
3,则直线
AB的
方程为
(
)
A、2x3y40
B、2x3y4
0
C、3x2y40D、3x2y40
解析:
解此题具有很大的迷惑性,注意题目隐含直线AB的方程就是ykx2,它
过定点(0,2),只有C项满足。
故选C。
9、利用常识一一避免计算
例37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税,利息税由各银行储蓄点代扣代收。
某人在2001年9月存入人民币1万元,存期一年,年利率为2.25%,到期时净得本金和利息共计10180元,则利息税的税率是()
A、8%B、20%C、32%D、80%
解析:
生活常识告诉我们利息税的税率是20%。
故选B。
(三)选择题中的隐含信息之挖掘
1、挖掘“词眼”例38、过曲线S:
y3xX3上一点A(2,2)的切线方程为()
A、y2B、y2
C、9xy160D、9xy160或y2
/2/
错解:
f(x)3x3,f
(2)9,从而以A点为切点的切线的斜率为-9,即
所求切线方程为9xy160•故选Co
剖析:
上述错误在于把“过点A的切线”当成了“在点A处的切线”,事实上当点A为切点时,所求的切线方程为9xy160,而当A点不是切点时,所求的切线方程为y2.故选Do
2、挖掘背景
a;,可得必有一周期为4a。
故选C。
3、
挖掘范围
例
40、
设tan、
tan
是方程x3
3.3x4
0的两根,且
(
(,),
22
则
的值为
()
A、
2
B、
C、或
2
D、或—
3
3
3
3
33
错
解:
易得
tan()
3,又
(了?
(2,2),
(,),从
2
而或.故选Co
33
剖析:
事实上,上述解法是错误的,它没有发现题中的隐含范围。
由韦达定理知
tantan0,tantan0,故tan0,且tan0从而
(-,0),(-,0),故
22
4、挖掘伪装
例41、若函数f(x)loga(x2ax
.故选A。
3
3)(a0且a1),满足对任意的x2,当
XiX2-时,f(Xi)f(X2)0,则实数a的取值范围为()
2
A、(0,1)(1,3)B、(1,3)
C、(0,1)(1,23)D、(1,2.3)
a
分析:
“对任意的X1、X2,当x1x2时,f(x1)f(x2)0”实质上就是“函
2
数单调递减”的“伪装”,同时还隐含了“f(X)有意义”。
事实上由于g(x)X2ax3
a1,
a■
在x时递减,从而a由此得a的取值范围为(1,2.、3)。
故选D。
2g(/0.
5、挖掘特殊化
例42、不等式G?
C?
3的解集是()
A、B、{大于3的正整数}C、{4,5,6}D、{4,4.5,5,5.5,6}
分析:
四个选项中只有答案D含有分数,这是何故?
宜引起高度警觉,事实上,将x
值取4.5代入验证,不等式成立,这说明正确选项正是D,而无需繁琐地解不等式。
6、挖掘修饰语
例43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上,两校各派3名代表,校际
间轮流发言,对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉,对中国人民抗日斗争中的英勇事
迹进行赞颂,那么不同的发言顺序共有()
x2D,使得一坐»C,则称函数f(x)在D上的均值为C。
已知
2
f(x)lgx,x[10,100],则函数f(x)lgx在x[10,100]上的均值为()
D、10
分析:
10
2
X2[10,100],使得
4
f(X1)f(X2)lg(X1X2)c,从而对任意的x1[10,100],存在唯一的
2
X1,X2为常数。
充分利用题
x1x2101001000
当Xi[10,100]
时,X2
中给出的常数10
1000[10,100],
100。
X1
坐凹3.故选
22
(四)选择题解题的常见失误
1、审题不慎
例46、设集合M={直线},P={圆},
A、0B、1
误解:
因为直线与圆的位置关系有三种,中的元素的个数为0或1或2。
故选D。
剖析:
本题的失误是由于审题不慎引起的,用直线与圆的位置关系解题。
实际上,没有公共元素。
故选A。
忽视隐含条件
47、若sin2x、sinx分另U是sin与cos
(或2即交点的个数为0或1或2个,所以M
则集合M
C、2
P中的元素的个数为
D、0或1
误认为集合M,P就是直线与圆,从而错M,P表示元素分别为直线和圆的两个集合,它们
2、
例
为
的等差中项和等比中项,则
误解:
1、33
8
依题意有2sin2x
sin
1、33
8
cos,①
1■33
8
・2
sinxsin
C、
cos2x的值
()
1■.2
剖析:
sin2x
cos
133
。
8
本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。
事实上,由
0,所以1虫3不合题意。
故选
8
由①2-②疋得,4cos22x
cos2x2
0,解得cos2x
故选
C。
sincos
,得cos2x
1sin2
3、概念不清
例48、已知
2
误解: