初中数学解题方法归纳训练.docx

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初中数学解题方法归纳训练

初中数学--转化与化归思想解题

一：

【要点梳理】

将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。

除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归月转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。

熟练，扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

二：

【例题与练习】

1.已知实数x满足

那么

的值是（）

A.1或-2；B.-1或2；C.1；D.-2

2.如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，

其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1=S2=S3

（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，

其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么

关系（不求证明）？

（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，

其面积分别为S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系，

并加以证明。

（3）若分别以直角三角形ABC三边为边想外作三个一般三角形，

其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具

有与

（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？

证明你的结论；

（4）类比

（1）

（2）（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论。

3.如图①所示，一张三角形纸片ABC，角ACB=90，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成三角形AC1D1和三角形BC2D2两个三角形（如图②所示），将纸片三角形AC1D1沿直线D2B（AB方向平移0（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，CD1与BC2，交于点E，AC1与C2D2，BC2分别交于点F，P

（1）当三角形AC1D1平移到如图③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并加以证明你的猜想

（2）设平移距离D2D1为X，三角形AC1D1与三角形BC2D2重叠部分面积设为y，请你写出y与x的函数关系式，以几自变量的取值范围；

（3）对与

（2）中的结论，是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原三角形ABC的1/4/？

若存在，求x的值：

若不存在，请说明理由。

4.如图，在宽为20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（如图阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为540m2.求道路的宽17如图反比例函数

与一次函数y=-x+2的图像交于A，B两点

（1）求A，B两点坐标

（2）求三角形AOB的面积

5.如图，在直角坐标系中，点O’的坐标为（2，0），圆O与x

轴交于原点O和点A，又B，C，E三点坐标分别为（-1，0），

（0.3），（0，b），且0＜b＜3

（1）求点A的坐标和经过点B，C两点的直线的解析式

（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与圆O有哪几种位置

关系？

并求出这种位置关系b的取值范围。

6.已知

7.如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为

的矩形，接着把面积为

的矩形等分成两个面积为

的正方形，再把面积为

的正方形等分成两个面积为

的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：

8.解方程：

9.△ABC中，BC＝

，AC＝

，AB＝c．若

，

如图l，根据勾股定理，则

。

若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想

与c2的关系，并证明你的结论．

10.已知：

如图所示，在△ABC中，E是BC的中点，D在AC边上，

若AC=1且∠BAC=60°，∠ABC＝100°，∠DEC=80°，

求:

.

初中数学---数形结合思想

一：

【要点梳理】

1.数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:

一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程（组）或建立函数关系式等

2.热点内容

（1）.利用数轴解不等式（组）

（2）.研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.

（3）.研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.

（4）.运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程（组）,求得有关结论等问题.

二：

【例题与练习】

1.选择：

（1）某村办工厂今年前5个月生产某种产品的总量c（件）

关于时间t（月）的图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）

A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量逐月减少

B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平

C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产

D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产

（2）某人从A地向B地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟以内收费2．4元每加1分钟加收1元，则表示电话费y（元）与通话时间（分）之间的关系的图象

如图所示，正确的是（）

（3）丽水到杭州的班车首法时间为早上6时,末班车为傍晚18时,每隔2小时有一班车发出,且丽水到杭州需要4个小时.已知同一时刻有班车分别从杭州、丽水战发出.则班车在图中相遇的次数最多为（      ）

A.4次      B.5次        C.6次.         D.7次

2.填空：

（1）已知关于X的不等式2x-a>-3的解集如图所示,则a的值等于 

（2）如果不等式组

的解集为x>3,则m的取值范围是

3.考虑

的图象,当x=－2时,y=          ；当x<-2时,y的取值范围是          。

当y≥-1时,x的取值范围是    

4.某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人

按规定剂量服用,那么2个小时时血液中含药最高,达每毫升

6微克（1微克=10-3毫克）,接着逐步衰减,10小时时血液中含药

量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）

的变化如图所示.当成人按规定剂量服药后.

（1）分别求出x≤2和x≥2时y与x的函数解析式;

（2）如果每毫升血液中含量为4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效时间有多长?

5.如图.小杰到学校食堂买饭,看到A、B两窗口前排队的人一样多（设为a

人,a>8）,就战到A窗队伍的后面,过了2分钟他发现A窗口每分钟有6人

买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人.

（1）此时,若小杰继续在A窗口排队,则他到达窗口所花的时间是多少（用含

a的代数式表示）?

（2）此时,若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队,且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口的时间少,求a的取值范围（不考虑其他因素）

6.如图①,在平面直角坐标系中,两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合,点A在第二象限内.点B、点C在x轴的负半轴上,角CAO=30°,OA=4.

（1）求点C的坐标;

（2）如图②,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转30°到△A'CB'的位置,其中A'C交知线OA与点E,A'B'分别交直线OA,CA与点F,G,则除△A'B'C≌△AOC外,还有哪几对全等的三角形,请直接写出答案（不再另外天家辅助线）

①②

7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,图象过点（-1,2）

和（1,0）,且与y轴相交与负半轴。

以下结论

（1）a>0；

（2）b>0；（3）c>0；（4）a+b+c=0；（5）abc<0；

（6）2a+b>0;（7）a+c=1；（8）a>1中,正确结论的序号

是    .

8.如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直BC,AC=BC=2,动作P

冲点A出发沿AC向终点移动,过点P分别作PM平行AB交

BC与M,PN平行DC与点N,连接AM,设AP=x.

（1）四边形PMCN的形状可能是菱形吗?

请说明六;

（2）当x为何值时,四边形PMCN的面积与△ABM的面积相等?

9.如图所示，ΔAOB为正三角形，点A、B的坐标分别为

，求a，b的值及△AOB的面积．

10.在直径为AB的半圆内，画出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8．现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图所示的设计方案是使AC=8，BC=6．

⑴求△ABC中AB边上的高h；

⑵设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

⑶实际施工时，发现在AB上距B点l．85处有一棵大树．问：

这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？

如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

初中数学---分类讨论思想

一：

【要点梳理】

1.数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。

而在学业考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。

由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。

2.分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

3.热点内容

（1）.实数的分类。

（2）.绝对值、算术根

（3）.各类函数的自变量取值范围

（4）.函数的增减性：

（5）.点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。

（6）.三角形的分类、四边形的分类

二：

【例题与练习】

1.在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点。

请你在坐标上确定点P，使得三角形AOP成为等腰三角性，

在给出坐标西中把所有这样的点P都找出来，画上实心点，

并在旁边标上P1，P2，P3……

（有k个就表到P1，P2，Pk,不必写出画法0）.

2.由于使用农药的原因，蔬菜都回残留一部分农药，对身体健康不利，用水清晰一堆青菜上残留的农药，对于水清晰一次的效果如下规定：

用一桶水可洗掉青菜上残留农药的

，用水越多洗掉的农药越多，但总还有农药残留在青菜上，设用x桶水清洗青菜后，青菜上残留的农药量比本次清晰的残留的农药比为y，

（1）试解释x=0，y=1的实际意义

（2）设当x取x1,x2使对应的y值分别为y1,y2,如果x1＞x2＞1，试比较y1，y2，

的关系（直接写结论）

（3）设

，现有a（a＞0）桶水，可以清洗一次。

也可以把水平均分2份后清洗两次，试问哪种方；案上残留的农药比较少？

说明理由\

3.田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌个有等级为上、中、下的三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌塞马，双方约定：

比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强…………

（1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？

（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随即出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？

（要求写双方对阵的所有情况）

4.填空：

（1）要把一张值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值2元、1元的人民币，那么有＿＿＿＿种换法。

（2）已知（2005-x）2=1，则x=＿＿＿＿

（3）若

，则直线y=kx+k的图像必经过第＿＿＿象限。

（4）一次函数y=kx+b的自变量取值范围是-3小于等于x小于等于6，相应函数值的取值范围是-5小于等于y小于等于2。

则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿

5.选择：

（1）若x2+4（m-2）x+16是完全平方式，则m等于（）

A.6B.4C.0D.4或0

（2）若圆O所在平面内的一点P到圆O上的点的最大距离为a,最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（）

A.

；B.

；C.

；D.

（3）已知圆O的直径AB=10cm。

CD为圆O的弦，且点C，D到AB的距离分别为3cm和4cm,则满足上述条件的CD共有（）

A.8条B.12条C.16条D.以上都不对

6.如图，已知等边三角形ABC所在平面上有点P，使△PAB，

△PBC，△三角形PAC都是等腰三角形，问具有这样性质的

点P有多少个？

请你画画

7.一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标出3，4，5从袋子中随即取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；在取出一个小球用一个小球上的数字作为数位上的数字，这样组成一个两位数，试问：

按这样方法能组成哪些两位数？

十位数上的数字比个为上的数字合为9的概率是多少？

用列表发或画数状图加以说明。

8.依法纳税是每个公民应尽的义务，从2006年1月1日起，个所得税的起征点从800元提到1600元。

月工资个人所得税税率表（与修改前一样）:

全月应纳税所得额

税率（%）

不超过500元的部分

5

超过500元至2000元的部分

10

超过2000元至5000元的部分

15

……

……

（1）某同学父亲2006年10月工资是

3000元（未纳税），问他要纳税多

少？

（2）某人2006年8月纳税150.1元，那么此人本月的工资（未纳税）是多少元？

此所得税法修改前少纳税多少元？

（3）已知某人2006年9月激纳个人所得税a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税）是多少元？

9.已知：

如图所示，直线

切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，

点B在直线

上，且∠BAC=∠CAD（AD与AB不在一条直线上），试

判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？

10.

（1）抛物线

经过点A（1，0）．

①求b的值；

②设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．

（2）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于

，设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

初中数学---图象信息问题

一：

【要点梳理】

1.图象信息题是指由图象（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型。

2.图象信息题的图象大致分两大类．

（1）是课本介绍的基本函数图象（如直线、双曲线、抛物线）；

（2）是结合实际情境描绘的不规则图象（如折线型、统计图表等）．这种题型一般是由图象给出的数据信息，探求两个变量之间的关系，进行数、形之间的互换．

3.图象信息题的解决方法是观察图象，从图象提供的已知条件出发，认真分析，由图象信息建模出有关函数解析式，揭示问题的数学关系和本质属性，找到了解题的途径．

4.解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：

（1）观察图象，获取有效信息；

（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．

5.图象信息题大致有三类：

基本概念类、基础综合类和压轴综合类．题型可涉及填空、选择和解答等．

二：

【例题与练习】

1.假定甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示，

那么可以知道：

（１）这是一次　　　　m赛跑；（100）

（２）甲、乙两人中先到达终点的是　　　　　；（甲）

（３）乙在这次赛跑速度为　　　m／s．（8）

2.如图是上体育课某学生推铅球时．铅球轨迹高度y（m）与水

平距离x（m）的函数图象．铅球推出的水平距离是　　　　m；

这段图象的y关于x的函数解析式是　（10m；

）

3.某校九年级（８）班共有学生５０人，据统计原来每人每年用与

购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查．若该班学生集

体改饮某品牌的桶装纯净水．则年总费用由两部分组成，一部分

是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中纯净

水的销售价x（元／桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．

（１）求y与x的函数关系式；（y=-80x+720）

（２）若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：

该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？

（桶装纯净水）

（３）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定核算？

从计算结果来看，你有何感想（不超过３０字）？

（当a=9/2时，改饮桶装纯净水一定核算）

4.某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水２升，他们先同时打开两个放水龙头，后来因故障关闭一个水龙头．假设前后两人接水间隔时

间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时

间x（分）的函数图象如图．（１）根据图中信息，请你写出一个

结论；略（２）问前１５名同学接水结束共需要几分钟（5.5分）

（３）小敏说：

今天我们寝室的８位同学去锅炉房连续接完水恰

好用了３分钟．你说可能吗？

请说明理由．（可能，理由略）

5.为宣传秀山丽水，在丽水文化摄影节前夕，丽水电视台摄制组乘船

往返于丽水（Ａ）、青田（Ｂ）两码头，在Ａ、Ｂ间设立拍摄中心

Ｃ，拍摄欧江沿岸的景色，往返过程中，船在Ｃ，Ｂ处均不停留，

离开码头Ａ，Ｂ的距离s（km）与航行的时间t（h）之间的函数

关系如图所示．根据图象提供的信息，解答写列问题：

（１）船只从码头Ａ到Ｂ，航行的时间为　h，航行的速度为　km／h；船只从码头Ｂ到Ａ，航行的时间为　　　h，航行的速度为　　　km／h．

（1）3，25；5，15；

（２）过点Ｃ作CH∥t轴，分别交AD，DF与点Ｇ、Ｈ，设AC＝x，GH＝y，求出y与x之间的函数关系式．

（2）；

（３）若拍摄中心Ｃ设在离Ａ码头２５km处，摄制组在拍摄中心Ｃ分两组行动，一组乘橡皮艇漂流而下，另一组乘船到达码头Ｂ后，立即返回．

①求船只往返Ｃ，Ｂ两处所用的时间；（3）①；②20km

②两组在途中相遇，求相遇时船只离拍摄中心Ｃ有多远？

6.改革开放以来，衢州的经济得到长足发展近来，

衢州市委市政府又提出“争创全国百强城市"的

奋斗目枥己下面是衢州市1999--2004年的生

产总值与人均生产总值的统计资料：

请你

根据上述统计资料回答下列问题：

（1）1999—2004年间，衢州市人均生产总值增长

速度最快的年份是．这一年的增长率为．（2004；21.03％）

（2）从1999年至2004年衢州市的总人口增加了约万人（4.51）

（3）除以上两个统计图中直接给出的数据以外，你还能从中

获取哪些信息?

请写出两条．略

7.2003年春季，我国部分地区SARS流行，

党和政府采取果断措施，防治结合，很

快使病情得到控制．如图是某同学记载

的5月1日到30日每天全国的SARS

新增确诊病例数据图．将图中记载的数

据每5天作为一组，从左至右分为第一

组至第六组，下列说法：

①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；

②第二组的中位数为138；

③第四组的众数为28．其中正确的有（）

A．0个；B．l个；C．2个；D．3个答案（D）

8.如图是某报纸公布的我国“九·五”期间国内生产总

值的统计图，那么“九.五”期间我国国内生产总值

平均每年比上一年增长（）

A.0．575万亿元；B.0．46万亿元

C.9．725万亿元；D.7．78万亿元；答案：

（A）

9.据信息产业部2003年4月公布的数字显示，我

国固定电话和移动电话用户近年来都有大幅度增

加，移动电话用户已接近固定电话用户根据右图

所示，我国固定电话从_____年至____年的年增

加量最大；移动电话从____年至____年的年增加

量最大．（1999，2000，2001，2002）

10.某班13位同学参加每周一次的卫生大扫除，按学校的卫生要求需要完成总面积为80cm2三个项目的任务，三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作如下图所示：

（1）从上述统计图中可知：

每人每分钟能擦课桌椅;擦玻璃，擦课桌椅，扫地拖地的面积分别是m2，m2，m2；

（2）如果x人每分钟擦玻璃的面积是y，那么y关于x的函数关系式是，

（3）他们一起完成扫地和拖地的任务后，把这13个人分成两组，一组去擦玻璃，一组去擦课桌椅。

如果你是卫生委员，该如何分配这两组的人数，才能最快地完成任务？

初中数学--新情境应用问题

（一）

一：

【要点梳理】

1.新情境应用问题有以下特点：

（1）提供的背景材料新，提出的问题新；

（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.

2.解答应用题的主要步骤有：

（1）建模，它是解答应用解题的最关键的步骤，即在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题；

（2）解模，即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运用，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论．其解答的基本程序可表示如上。

3.常见的数学模型及相关问题归类如下：

建模

相关内容

方

程

工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、存贷、调配、面积等

函数

方案优化、风险估算、成本最低、利润最大

不等式、统计、概率

最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、投资估算

解直角三角形

测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝、屋架计算

线性规划初步

产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估、利润分配、生产方案设计

二：

【例题与练习】

1.某商店的老板销售一种上平，要要以不低与进价２０％的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价８０％的价格标价．若你想买下标价为３６０元的这种商品，最多降价（　　），商店老板才能出售（C）

Ａ.80元　　　　Ｂ.100元　　　　Ｃ.120元　　　　　Ｄ.160元

2.在社会注意新农村建设中，某乡阵决定对一段公路进行改