第二章轴对称与轴对称图形教案.docx

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第二章轴对称与轴对称图形教案

2.1　轴对称与轴对称图形

教学目标

1．在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称图案，探索轴对称及轴对称图形的共同特点等活动，进一步发展空间观点；

2．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及轴对称．

教学重点

了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别、体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值．

教学难点

能正确地区分轴对称图形和轴对称，进一步发展空间观念．

教学过程（教师）

学生活动

一、创设情境

教师先展示纸折的飞机、剪纸作品（蝴蝶、五角星等）、照片、实物，并用多媒体展示各种漂亮的轴对称图案等，然后让学生交流、展示各自收集的相关图片．

教师应关注以下几点：

（1）学生参与活动是否积极主动，全神贯注；

（2）学生自带的图片是否具有代表性；

（3）审美意识和情感是否在感知中有所增强；

（4）鼓励学生举出符合对称特征的物体：

如风筝、知了、蜻蜓等．

学生欣赏图片，感知对称；

充分观察、讨论、交流；

尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征．

二、探索活动

活动一：

折纸印墨迹．

在纸的一侧滴一滴墨水后，对折，压平．

问题1：

你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？

为什么？

问题2：

两边墨迹的位置与折痕有什么关系？

问题3：

联系实际，你能举出一些生活中图形成轴对称的实例吗？

学生动手、操作、观察、思考．组内同学讨论、交流．

教师引导得出轴对称及对称轴、对称点的概念，并板书概念．

学生举例，处理练习．

活动二：

剪图案．

把一张长方形纸片对折，从折叠处剪出一个图案，然后再打开（学生自由发挥）．

问题1：

按照老师所示的方法剪纸，你得到了什么图案？

它是轴对称图形吗？

说出对称轴．

问题2：

联系实际，你能举出一个轴对称图形的实例吗？

问题3：

你能正确地完成课本P41页第1题的练习吗？

学生动手、操作、观察、思考．组内同学讨论、交流，并尝试着表述这些图形的共同特征．

教师归纳学生的表述，引导出轴对称图形及对称轴的概念，并板书概念．

学生举例，独立完成练习．

归纳总结

问题1：

根据课本图形2-1和2-4进行比较，轴对称与轴对称图形之间有什么区别吗？

问题2：

如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称吗？

如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，它是一个轴对称图形吗？

学生根据两组图比较观察、思考、讨论、交流，教师引导学生得出其区别．

教师提出问题，学生思考，讨论交流，进一步明确轴对称与轴对称图形的区别和联系．

三、课堂小结

这节课你学到了什么？

学生自由发言，交流学习的经验和体会，并自主总结本节课的主要内容．

四、课后作业

1．课本P42习题2.1第1～4题．

2．（选做题）你能用2张正方形的纸，剪出下面的2个图案吗？

课后完成必做题，并根据自己的能力水平确定是否选做思考题．

5、教后记：

2.2　轴对称的性质

（1）

教学目标

1．知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，且成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；

2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理的思考和表达能力．

教学重点

理解“成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等”．

教学难点

轴对称性质的运用．

教学过程（教师）

学生活动

一、开场白：

同学们，你们喜欢照镜子吗？

你知道“你与镜中的你”有什么关系吗？

随意交流，进入状态，兴致盎然.

二、引入

一些图形也想照镜子看看自己美不美，一位数学老师就让同学们记录下圆、正方形、长方形、平行四边形照镜子的状况，你对这四位的记录有什么意见吗（投影图片）？

同学们的看法到底对不对？

通过这一节课的学习我们就有答案了（对学生的回答不予评价，探索完轴对称的性质后，让学生自评或互评）．

积极思考，回答问题.

（1）

（2）

实践探索一

1.活动一：

如图所示，把一张纸折叠后，用针扎一个孔；再把纸展开，两针孔分别记为点A、点A，折痕记为l；连接AA，AA与l相交于点O．探究：

你有什么发现？

（1）通过活动一的操作，你小组探索的结果是什么？

你们是怎样发现的？

给直线l起个名字．

（2）线段的垂直平分线需满足几个条件？

你觉得线段的垂直平分线我们怎样定义？

线段的垂直平分线的特征是什么？

1．小组活动．

2．总结：

对称轴直线l垂直两点连线AA；OA＝OA（即对称轴直线l平分AA）．

由以上两点得，直线l叫做AA′的垂直平分线．

①线段的垂直平分线概念：

垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

②线段垂直平分线的两个特征：

平分、垂直．

　　实践探索二：

仿照上面的操作，在对折后的纸上再扎一个孔，把纸展开后记这两个针孔为点B、点B，连接AB、AB、BB．你有什么新的发现？

（1）线段BB被l垂直平分．

（2）线段AB与AB相等．

（3）连接AB、AB，线段AB与AB关于直线l对称．

活动二

　　实践探索三：

如图，在纸上再画一点C，找出点C关于直线l对称的点C；并仿照上面进行操作，扎孔、展开、标记、连线．你又有什么发现？

引导学生观察，形成结论．即轴对称的性质：

1．成轴对称的两个图形全等．2．成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．

活动三．结论：

如果两点关于直线l对称，那么得出：

（1）对应点的连线与对称轴的关系；

（2）得出对应线段与对称轴的关系；（3）得出成轴对称的两个图形之间的关系以及它们与对称轴的关系．

　　返回情景导入题（投影图片）

开始同学们的回答对不对？

先让学生自评，再由他评．

参考答案：

（1）、（4）不符合成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分；

（2）不符合成轴对称的两个图形全等．所以

（1）、

（2）、（4）都画错了；（3）符合轴对称的性质，所以（3）是正确的．

三、投影例题

例1、小明取一张纸，用小针在纸上扎出“4”，然后将纸放在镜子前．

（1）你能画出镜子所在直线l的位置吗？

（2）图中点A、B、C、D的在镜中的对应点分别是，线段AC、AB的在镜中的对应线段分别是，CD＝，∠CAB＝，∠ACD＝.

（3）连接AE、BG，AE与BG平行吗？

为什么？

（4）AE与BG平行，能说明轴对称图形对称点的连线一定互相平行吗？

（5）延长线段CA、FE，连接CB、FG

并延长，作直线AB、EG，你有什么

发现吗？

学生独立思考、独立完成、有条理的表述．

（1）找一组对应点，画出它的垂直平分线，或对应点连线的中点所在的直线．

（2）找出对应点、对应线段、对应角．

（3）平行．因为A和E，B和G是关于直线l的对称点，所以l⊥AE，l⊥BG．所以AE∥BG．（4）不一定．如图，对称点的连线DH、CF就不互相平行，而是在同一条直线上，从而说明轴对称图形对称点的连线互相平行或在同一条直线上．（5）轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行．

四、总结：

轴对称在我们的生活中无处不在，通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家．

1．线段垂直平分线的概念．

2．轴对称的性质．

五、课后作业：

课本P44练习1、2．

6、教后记：

2.2　轴对称的性质

（2）

教学目标

1．会画已知点关于已知直线l的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形；

2．让学生先从“做数学”中体会“获取知识”的快乐；

3．让学生们感受分类讨论的思想，体会方法的多样性和知识的丰富性．

教学重点

作已知图形的轴对称图形的一般步骤．

教学难点

怎样确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形．

教学过程（教师）

学生活动

一、创设情境，感悟新知

思考：

如图，A、B、C3点都在方格纸的格

点位置上．请你再找一个格点D，使图中的4点组成一

个轴对称图形．

本题尽量让学生独立思考，教师不要提醒．

对于学生的每一种方法教师都要给予及时的评点，并充分鼓励．

小组讨论，学生都能找到1～2个符合条件的点，但找不全，让学生在合作中学习，发挥小组的集体力量．

二、实践探索　

　　实践探索一

以其中的个别对应点为例，去掉网格线，你能找出点C关于直线AB的对应点么？

点A关于直线AB的对应点有吗？

（分类讨论点在线上与点在线外作对应点的方法）．

AC关于直线AB的对称图形呢？

积极思考，回答问题．

问题1去掉网格线，你能说说如何找出点C关于直线AB的对应点么？

并说明其道理．

问题2　点A关于直线AB的对应点有么？

问题3　AC关于直线AB的对称图形呢？

　　实践探索二

你能画出线段AB关于直线l的对称图形么？

如果直线l外有线段AB，那么怎样画出线段AB关于直线l的对称线段AB？

要让学生不仅要会画，而且还要会说画法，能根据轴对称的定义说理，并能通过折纸来验证，从而为后面探求线段的轴对称性作铺垫．

　　实践探索三

画出△ABC关于直线MN的对称图形．

问题2　怎样画已知线段关于某直线对称的线段？

怎样画已知三角形关于某直线对称的三角形？

说说你的想法和根据，展开讨论，踊跃回答，并动手去做一做．

在操作过程中主要让学生作线段关于某直线的对称图形转化为找关键点关于该直线的对称点．

如何找关键点呢？

如果是四边形呢？

多边形呢？

　　实践探索四

在图中，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称．连接AC、BD．设它们相交于点P．怎样找出点P关于l的对称点Q？

提示：

成轴对称的两个图形的对应点也成轴对称．

问题1在图2-11中连接AC、BD，画出它们的交点P，你能用折纸、扎孔的方法画出点P关于直线l的对称的点Q吗？

问题2　你能用直尺和三角尺，根据“画点A关于直线l的对称的点A”的方法画出点P关于直线l的对称的点Q．

问题3　为什么EG和FH的交点就是与点P对称的点Q？

三、课堂小结，内化新知

（1）请同学们用自己的语言再来复述一下画轴对称图形的方先画对称轴，再画已知点关于对称轴的对称的点；

（2）先画已知线段各端点的对称的点，再画出关于对称轴对称的线段；

（3）先画已知三角形的各顶点的对称的点，再画出关于对称轴对称的三角形；

成轴对称的两个图形的对应点（如图2-11画出的点P与点Q）也成轴对称．法．

讨论后共同小结画轴对称图形的方法．

（4）

四、课后作业

课本P47习题2.2第5题．

5、教后记

2.3　设计轴对称图案

教学目标

1．欣赏生活中的轴对称图案，感受数学丰富的文化价值；

2．经历“操作——猜想——验证”的实践过程，积累数学活动的经验；

3．能利用轴对称的性质设计简单的轴对称图案．

教学重点

利用对称轴掌握颜色对称与图形对称．

教学难点

利用对称性质设计轴对称图形．

教学过程（教师）

学生活动

一、情境创设

欣赏轴对称图案，思考这些图案是怎样形成的？

你想学会制作这种图案的方法吗？

欣赏轴对称图案：

1．绿色食品标志、中国环境标志、国家免检产品标志等；

2．课本P48美丽的“盆花”图案．

二、探索活动

1．对称的美术图案，除图形对称外，有时颜色也“对称”．如果不包括色彩因素在内，下列图形有几条对称轴？

请你画出图中

（1）和

（2）的对称轴．

动手实践、探究、交流，分别画出下列图形的对称轴．

要点：

画全．

（1）

（2）

2．如果不考虑颜色的“对称”，图2-13中

（1）和

（2）中各有几条对称轴？

考虑颜色的“对称”呢？

3．如果将图2-13

（1）中左上方和右下方的小方格也涂上色，那么它有几条对称轴？

4．改变图2-13

（2）哪些小方格的颜色，就能使它有4条对称轴？

学生动脑想、动手画，积极参与活动．

2.答案：

4条，4条；2条，1条．

3.答案：

4条．4.答案：

涂色如图．

试一试：

1．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在右图方格内填涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．

2．完成课本上练习2、3．

三、数学实验

（一）制作4张如图2-14的正方形纸片，将纸片拼合．

1．图2-15中的3个图案各有几条对称轴？

2．这些图案可以看成是由一个小正方形纸片经过怎样的变换得到的？

3．你有不同于课本的拼法吗？

拼出的图案是轴对称图形吗？

如果是，有几条对称轴？

（二）人们在剪纸时，常常利用轴对称设计图案．欣赏剪纸作品，探讨它是怎么得到的？

例如，按照图2-16

（1）进行剪切，就能得到“庆丰灯笼”的剪纸作品（如图2-16

（2））．

你来试试看呢？

画出图案的对称轴，并说出它的变换方式．

展示学生拼合的图案，交流所拼图案的对称轴及图形变换方式．

讨论、交流剪纸的要点，动手操作，展示作品．

四、实践操作

利用轴对称，设计并剪出一幅奖杯图案，

班内展览，评选精品．

在准备的纸上设计图案，并通过折纸——剪纸来完成这一设计．

把自己满意的作品进行班内展览，民主评选出精品．

五、全课小结

1．能按要求完成某些轴对称图案．

2．会设计简单轴对称标志．

3．轴对称具有美感，轴对称在生活中无处不在．

谈谈本节课的收获．

六、课后作业

1．课本P49练习1和P50习题2.3习题1、2．

2．拓展：

请用2块大小一样的三角尺（两锐角分别是60°和30°）拼出不同的轴对称图形，看看你能拼出几种．

认真完成课后作业．

7、教后记

2.4　线段、角的轴对称性

（1）

教学目标

1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题；

2．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想；

3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．

教学重点

利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质．

教学难点

1．利用线段垂直平分线的性质解决生活中的实际问题；

2．运用所学知识说明线段的垂直平分线外的点到线段两端的距离不相等．

教学过程（教师）

学生活动

开场白

同学们，纷繁源于简单，复杂图形都是由基本图形构成的．为了更好的研究轴对称图形，今天我们就先来研究最基本的图形——线段的轴对称性．

进入状态，兴致盎然．

实践探索一

_

l

_

B

_

2

_

1

_

O

_

A

2-17

在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考：

线段是轴对称图形吗？

如果是，对称轴在哪里？

为什么？

积极思考，动手操作，提出猜想．

实践探索二

如图2-17直线l是线段AB的垂直平分线，如果沿

直线l翻折，你有什么发现？

说说你的看法．

动手操作，验证猜想，描述发现．

实践探索三

2-18

如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P是l上任意一点，PA与PB相等吗？

为什么？

通过证明，你发现了什么？

用语言描述你得到的结论．方法不一，具体如下：

1．利用“SAS”证明△OAP≌△OBP后，说明PA与PB相等；

2．利用线段的轴对称性和基本事实“两点确定一条直线”，说明PA与PB相等．

学生独立思考、积极探究．

总结：

线段垂直平分线上的点有什么特点？

线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

讨论后共同小结．

实践探索四

试判断：

线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？

引导学生展开讨论：

1．你能读懂题目吗？

题中已知哪些条件？

要说明怎样一个结论？

2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形．

3．根据图形你能证明吗？

试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明．

教师点评，用幻灯片给出解答过程：

解：

线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离不会相等．

如图，在线段AB的垂直平分线l外任取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q，连接QB．

根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因为点Q在AB的垂直平分线上，所以QA＝QB．

于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．

因为三角形的两边之和大于第三边，所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．

学生按老师的要求作图，猜想结论，探讨说理．

指导学生活动．

练习：

课本P52练习1、2．

小结：

1．线段垂直平分线有哪些性质？

我们是怎么证明的？

2．线段垂直平分线有哪些应用？

它主要可以用来解决什么样的问题？

学生讨论、小结．

布置作业：

1、课本习题第3题

2、《评价手册》本节内容

教后记

2.4　线段、角的轴对称性

（2）

教学目标

1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；

2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；

3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．

教学重点

利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．

教学难点

灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．

教学过程（教师）

学生活动

实践探索一

在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？

这样的点有多少个？

动手操作，交流发现．

实践探索二

如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？

如图2-21

（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.

如图2-21

（2），若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？

为什么？

通过上述探索，你得到了什么结论？

教师利用几何画板验证线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

1．猜想线段垂直平分线性质定理的逆定理；

2．自学课本上点Q在线段上的情形，思考点Q不在线段上时的证明；

3．学生证明逆定理．

（1）过点Q作QM

AB于点M，利用HL证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

（2）过点Q作∠AQB的角平分线交AB于点M，利用SAS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

（3）过点Q作AB边上的中线交AB于点M，利用SSS证明三角形全等，继而得到QM垂直平分AB．

4．学生讨论、归纳得到线段垂直平分线性质定理的逆定理.

实践探索三

你能运用实践探索二得到的结论，用尺规画出任一条线段的垂直平分线吗？

如果能，说说你作图的依据.

A

B

课本上用尺规作线段的垂直平分线时，为什么要画“两弧的交点”，而且“半径要大于AB”呢？

在线段AB所在直线外取一点C，连接AC，用刚学的方法画出AC的垂直平分线l1，与AB的垂直平分线l2交于点O，再连接BC，并作出它的垂直平分线．你发现了什么？

得到什么结论？

这又是为什么呢？

1．学生尝试操作、小组交流；

2．小组代表汇报画法，并说明作图依据；

3．自学课本，与你的画法进行对比，

判断谁的画法更好？

4．说明作法中“两弧的交点”“半径

要大于AB”的原因；

5.进行延伸作图，观察现象，思考原因.

例1、已知：

如图2-22，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O．求证：

点O在BC的垂直平分线上.

B

A

C

O

分析：

要证明点O在BC的垂直平分线上，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，只要证OB＝OC，连接OB、OC，要证OB＝OC，只要证OB＝OA，OC＝OA，因为AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得OB＝OA，OC＝OA，所以得证．

1．学生结合实践探索三思考；

2．尝试证明；

2-22

3．验证得到结论：

三角形的三边垂直平分线相交于一点．

练习：

课本P54练习1、练习2．

课本P52练习2的基础上作出公共汽车站的位置．

小结：

（1）探索并证明了线段的垂直平分线的逆定理，会用直尺和圆规作线段的垂直平分线，知道了线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.

（2）会应用性质定理和逆定理证明结论的正确性和解决问题．

学生讨论、小结．

布置作业：

1、课本P57-58习题2.4，第5、6题．

2、《评价手册》本节

学生根据自身实际情况，选题作业．

教后感：

2.4　线段、角的轴对称性（3）

教学目标

1．探索并掌握角平分线的性质定理和逆定理；

2．能利用所学知识提出问题并能解决生活中的实际问题；

3．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据；

4．经历探索角的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．

教学重点

利用角的轴对称性探索角平分线的性质．

教学难点

理解“点在角平分线上”的证明方法．

教学过程（教师）

学生活动

开场白：

同学们，上节课我们充分研究了线段的轴对称性，那么另一个基本图形“角”的轴对称性又如何呢？

与线段有什么异同和联系呢？

下面，我们就进入今天愉快的数学探究之旅．

进入状态，兴致盎然，跃跃欲试．

实践探索一

在一张薄纸上画∠AOB，它是轴对称图形吗？

如果是，对称轴在哪里？

为什么？

积极思考，动手操作，提出猜想．

O

A

B

2-23

C

实践探索二

如图2-23，直线OC是∠AOB的角平分线，如果沿

直线OC翻折，你有什么发现？

角平分线是线段的

对称轴吗？

动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．

实践探索三

O

A

B

C

P

D

E

角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？

如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？

为什么？

通过证明，你发现了什么？

用语言描述你得到的结论．

方法不一，具体如下：

1．利用“AAS”证明△ODP≌

△OEP后，说明PD与PE相等．

2．利用角的轴对称性和基本事

实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，说明PD与PE相等．

2-24

学生独立思考、积极探究．

总结：

角平分线上的点有什么特点？

角平分线上的点到角两边的距离相等．

讨论后共同小结.

实践探索四

如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？

如图2-26，若点Q在∠AOB内部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？

为什么？

通过上述探索，你得到了什么结论？

连接OQ，利用HL证明三角形全等，继而得到OQ平分∠AOB．

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．

1．猜想角平分线性质定理的逆定理．

2．学生证明逆定理．

O

A

B

Q

D

E

2-26

3．学生讨论、归纳得到角平分线性质定理的逆定理.

练习：

课本P55练习．

延伸：

在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．

小结：

1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：

角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．

2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相