511相交线与平行线学案宋春.docx
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511相交线与平行线学案宋春
第五章相交线与平行线
5.1.1相交线
学习目标:
1、通过探究两条直线相交形成的角的关系,分类引出邻补角和对顶角的定义
2、理解对顶角相等并说明理由
3、运用相关的定义、性质解决一些问题
一、自主预习O
阅读课本1—3页,回答下列问题
1、平面上不重合的两条直线的位置关系:
_____与平行
2、观察图1,直线AB、CD相交于点O,形成个角,
(1)
两两相配共能组成对角。
∠1与∠2有一条公共,它们的另一边互为,这样的两个角互为角,图中共有对邻补角;∠1与∠3有一个公共,它们的两边分别互为,这样的两个角互为角,图中共有对对顶角。
3、如图1,
(1)如果∠1=30°,那么∠2=,∠3=;
(2)如果∠1=35°,那么∠2=,∠3=,
(3)如果∠1=40°,那么∠2=,∠3=.
你认为互为对顶角的两个角相等吗?
为什么?
举例说明
答:
,如图1,因为∠1与∠2互补,由此得∠1=-∠2,
又因为∠3与∠2互补,由此得∠3=-∠2,所以∠1=∠3
4、对顶角的性质:
5、如图2,直线m、n相交,∠1=115°,求∠2,∠3,∠4的度数。
解:
如图,由的定义得,m
∠2=-∠1==,1
由相等得,42
∠3==,∠4==n3
(2)
二、课堂演练AE
6、如图3,直线AB、CD,EF相交于点O
(1)∠AOC的邻补角是、,COD
∠BOE的邻补角是、;
(2)∠DOA的对顶角为,F(3)B
∠EOC的对顶角为
(3)若∠FOC=50°,则∠DOE=,∠FOD=
3、随堂练习
7,下面几个图形中,∠1与∠2是对顶角的是()
11
112
222
ABCD
8、对顶角指的是()
A、有公共顶点的两个角
B、两条直线相交所成的两个角
C、有公共顶点,并且相等的两个角
D、角的两边互为反向延长线的两个角
9、下列说法下正确的是()
A.有一边互为反向延长线的两个角是邻补角
B.有一公共边的两个角是邻补角
C.互补的角也是邻补角(第10题)
D.邻补角可看成是一条直线与端点在直线上的一射线组成的两个角
10、
如图,当剪子口∠AOB增大
时,
∠COD增大
11、如图是一个对顶角量角器.
你能说明它度量角度的原理吗?
四、能力提升
12、如图,直线AB、CD相交于点O,OA平分
,
,求
的度数。
(第12题)
13、如图,直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.
(2)若2∠BOC=3∠AOC,求各角的度数
(第13题)
五、小结与反思
1、邻补角互补;对顶角相等2、感受:
【学习过程】
一、学前准备
在学习对顶角知识的时候,我们认识了“两线四角”,及两条直线相交于一点,得到四个角,这四个角里面,有两对对顶角,它们分别对应相等,如图,可以说成“直线AB与CD相交于点O”.
我们如果把直线CD绕点O旋转,无论是按照顺时针方向转,还是按照逆时针方向转,∠BOD的大小都将发生变化.
当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时,叫做这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫垂线,它们的交点叫垂足.如图
用几何语言表示:
方式⑴∵∠AOC=90°∴AB_____CD,垂足是_____
方式⑵∵AB⊥CD于O∴∠AOC=______
二、探索思考
探索一:
请你认真画一画,看看有什么收获.
⑴如图1,利用三角尺或量角器画已知直线
的垂线,这样的垂线能画__________条;
⑵如图2,经过直线
上一点A画
的垂线,这样的垂线能画_____条;
⑶如图3,经过直线
外一点B画
的垂线,这样的垂线能画_____条;
(图1)(图2)(图3a)(图3b)
经过探索,我们可以发现:
在同一平面内,过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
练习一:
1.如图所示,OA⊥OB,OC是一条射线,若∠AOC=120°,
求∠BOC度数
2.如图所示,直线AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,
若∠1=26°,求∠2的度数.
3.如图所示,直线AB,CD相交于点O,P是CD上一点.
(1)过点P画AB的垂线PE,垂足为E.
(2)过点P画CD的垂线,与AB相交于F点.
(3)比较线段PE,PF,PO三者的大小关系
探索二:
仔细观察测量比较上题中点P分别到直线AB上三点E、F、O的距离,你还有什么收获?
请将你的收获记录下来:
_______________________________________________
简单说成:
.还有,直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离.注意:
垂线是,垂线段是一条,点到直线的距离是一个数量,不能说“垂线段”是距离.
练习二:
1.在下列语句中,正确的是().
A.在同一平面内,一条直线只有一条垂线
B.在同一平面内,过直线上一点的直线只有一条
C.在同一平面内,过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D.在同一平面内,垂线段就是点到直线的距离
2.如图所示,AC⊥BC,CD⊥AB于D,AC=5cm,BC=12cm,AB=13cm,则点B到AC的距离是________,点A到BC的距离是_______,点C到AB的距离是_______,AC>CD的依据是_________.
三、当堂反馈
1.如图所示AB,CD相交于点O,EO⊥AB于O,FO⊥CD于O,∠EOD与∠FOB的大小关系是()
A.∠EOD比∠FOB大B.∠EOD比∠FOB小
C.∠EOD与∠FOB相等D.∠EOD与∠FOB大小关系不确定
2.如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,C,D是分别位于公路AB两侧的加油站.设汽车行驶到公路AB上点M的位置时,距离加油站C最近;行驶到点N的位置时,距离加油站D最近,请在图中的公路上分别画出点M,N的位置并说明理由.
3.如图,AOB为直线,∠AOD:
∠DOB=3:
1,OD平分∠COB.
(1)求∠AOC的度数;
(2)判断AB与OC的位置关系.
四、学习反思
本节课你有哪些收获?
课题:
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
一、学前准备
在前面我们学习了两条直线相交于一点,得到四个角,即“两线四角”,这四个角里面,有对对顶角,有对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交,结果又会怎样呢?
二、探索思考
探索:
如图,直线c分别与直线a、b相交(也可以说两条
直线a、b被第三条直线c所截),得到8个角,通常称为
“三线八角”,那么这8个角之间有哪些关系呢?
观察填表:
表一
位置1
位置2
结论
∠1和∠5
处于直线c的同侧
处于直线a、b的同一方
这样位置的一对角就称为同位角
∠2和∠8
处于直线c的()侧
这样位置的一对角就称为()
∠3和∠6
处于直线a、b的()方
这样位置的一对角就称为()
∠1和∠5
这样位置的一对角就称为()
表二
位置1
位置2
结论
∠4和∠8
处于直线c的两侧
处于直线a、b之间
这样位置的一对角就称为内错角
∠3和∠5
这样位置的一对角就称为()
表三
位置1
位置2
结论
∠3和∠8
处于直线c的()侧
处于直线a、b()
这样位置的一对角就称为同旁内角
∠4和∠5
这样位置的一对角就称为()
练习:
1.如图1所示,∠1与∠2是___角,∠2与∠4是_角,∠2与∠3是___角.
(图1)(图2)(图3)
2.如图2所示,∠1与∠2是____角,是直线______和直线_______被直线_______所截而形成的,∠1与∠3是_____角,是直线________和直线______被直线________所截而形成的.
3.如图3所示,∠B同旁内角有哪些?
三、当堂反馈
1.如图,
(1)直线AD、BC被直线AC所截,找出图中由AD、BC被直线AC所截而成的内错角是_________和__________
(2)∠3和∠4是直线_________和_________被_________所截,构成内错角.
2.已知∠1与∠2是同旁内角,且∠1=60°,则∠2为()
A.60°B.120°C.60°或120°D.无法确定
3.如图,判断正误
①∠1和∠4是同位角;()
②∠1和∠5是同位角;()
③∠2和∠7是内错角;()
④∠1和∠4是同旁内角;()
4.如图,直线DE、BC被直线AB所截.
⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角?
⑵如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?
∠1和∠3互补吗?
为什么?
四、学习反思
本节课你有哪些收获?
课题:
5.2.1平行线
【学习目标】1使学生知道平行线的概念,掌握平行公理;
2了解平行线具有传递性,能够画出已知直线的平行线.
【学习重点】平行线的概念和平行公理,利用直尺和三角板画已知直线的平行线.
【学习难点】用几何语言描述画图过程,根据几何语言画出图形.
【学习过程】
一、学前准备
在上学期我们学过点和直线的位置关系,同学们还记得点和直线有几种位置关系吗?
请画出来,并尝试用几何语言来表示.
二、探索思考
探索一:
我们知道,火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的斑马线等都给我们平行的形象.一般地,在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.如图,记作“
∥
”或“AB∥CD”,读作“直线
平行于直线
”.请同学们思考一下:
在同一平面内,两条不重合的直线有几种位置关系?
动手画一画,并尝试用几何语言来表示..
练习一:
1.下列说法中,正确的是().
A.两直线不相交则平行B.两直线不平行则相交
C.若两线段平行,那么它们不相交D.两条线段不相交,那么它们平行
2.在同一平面内,有三条直线,其中只有两条是平行的,那么交点有().
A.0个B.1个C.2个D.3个
探索二:
请同学们仔细阅读课本P13页“平行线的讨论”,认真思考.通过观察和画图,可以体验一个基本事实(平行公理):
经过直线外一点,一条直线与这条直线平行.
同样,我们还有(平行线的传递性):
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.简单的说就是:
平行于同一直线的两直线平行.
用几何语言可表示为:
如果
∥
,
∥
,那么.
练习二:
1.如图1所示,与AB平行的棱有_______条,与AA′平行的棱有_____条.
2.如图2所示,按要求画平行线.
(1)过P点画AB的平行线EF;
(2)过P点画CD的平行线MN.
3.如图3所示,点A,B分别在直线
,
上,
(1)过点A画到
的垂线段;
(2)过点B画直线
∥
.
(图1)(图2)(图3)
4.下列说法中,错误的有().
①若a与c相交,b与c相交,则a与b相交;
②若a∥b,b∥c,那么a∥c;
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
④在同一平面内,两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种
A.3个B.2个C.1个D.0个
三、当堂反馈
1.在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.
2.同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________.
3.判断题
(1)不相交的两条直线叫做平行线.()
(2)在同一平面内,不相交的两条射线是平行线.()
(3)如果一条直线与两条平行线中的一条平行,那么它与另一条也互相平行.()
4.读下列语句,并画出图形:
⑴点P是直线AB外一点,直线CD经过点P,且与直线AB平行,直线EF也经过点P且与直线AB垂直.
⑵直线AB,CD是相交直线,点P是直线AB,CD外一点,直线EF经过点P且与直线AB平行,与直线CD相交于E.
四、学习反思
本节课你有哪些收获?
课题:
5.2.2平行线的判定
【学习目标】使学生掌握平行线的判定,并能应用这些知识判断两条直线是否平行,培养学生简单的推理能力.
【学习重点】平行线的三种判定方法,并运用这三种方法判断两直线平行.
【学习难点】运用平行线的判定方法进行简单的推理.
【学习过程】
一、学前准备
还知道“三线八角”吗?
请画一画,找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角.
二、探索思考
探索一:
请同学们仔细阅读课本P13页“平行线判定的思考”,你知道在画平行线这一过程中,三角尺所起的作用吗?
由此我们可以得到平行线的判定方法,如图,将下列空白补充完整(填1种就可以)
判定方法1(判定公理)
几何语言表述为:
∵∠___=∠___∴AB∥CD
由判定方法1,结合对顶角的性质,我们可以得到:
判定方法2(判定定理)
几何语言表述为:
∵∠___=∠___∴AB∥CD
由判定方法1,结合邻补角的性质,我们可以得到:
判定方法3(判定定理)
几何语言表述为:
∵∠___+∠___=180°∴AB∥CD
练习一:
(1题)(2题)(3题)
1.如图1所示,若∠1=∠2,则_____∥______,根据是______.
若∠1=∠3,则______∥______,根据是_________.
2.如图2所示,若∠1=62°,∠2=118°,则_____∥_____,根据是________
3.根据图3完成下列填空(括号内填写定理或公理)
(1)∵∠1=∠4(已知)
∴ ∥ ()
(2)∵∠ABC+∠=180°(已知)
∴AB∥CD()
(3)∵∠=∠(已知)
∴AD∥BC()
(4)∵∠5=∠(已知)
∴AB∥CD()
探索二:
木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线,就可以再找出两条平行线,如图所示,
∥
,你能说明是什么道理吗?
结论(判定推论):
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.简记为:
在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.
如图,几何语言表述为:
∵
⊥
,
⊥
∴
练习二:
1.如图所示,AB⊥BC,BC⊥CD,BF和CE是射线,并且∠1=∠2,
试说明BF∥CE.
三、当堂反馈
1.如图所示,在下列条件中,不能判断L1∥L2的是().
A.∠1=∠3B.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°D.∠2+∠4=180°
2.如图所示,已知∠1=120°,∠2=60°.试说明
与
的关系?
3.如图所示,已知∠OEB=130°,∠FOD=25°,OF平分∠EOD,试说明AB∥CD.
四、学习反思
课题:
5.3.1平行线的性质
一、学前准备
通过前面的学习,你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗?
⑴平行线的定义:
⑵平行线的传递性:
⑶平行线的判定公理:
⑷平行线的判定定理1:
⑸平行线的判定定理2:
⑹平行线的判定推论:
二、探索思考
探索一:
请同学们仔细阅读课本P19页,完成课本上的探究.根据探究内容,我们可以得到平行线的性质,如图,将下列空白补充完整(填1种就可以)
性质1(性质公理)
几何语言表述为:
∵AB∥CD∴∠___=∠___
由性质1,结合对顶角的性质,我们可以得到:
性质2(性质定理)
几何语言表述为:
∵AB∥CD∴∠___=∠___
由性质1,结合邻补角的性质,我们可以得到:
性质3(性质定理)
几何语言表述为:
∵AB∥CD∴∠___+∠___=
练习一:
1.根据右图将下列几何语言补充完整
(1)∵AD∥(已知)
∴∠A+∠ABC=180°()
(2)∵AB∥(已知)
∴∠4=∠()
∠ABC=∠()
2.如右图所示,BE平分∠ABC,DE∥BC,图中相等的角共有()
A.3对B.4对C.5对D.6对
3、如图,AB∥CD,∠1=45°,∠D=∠C,求∠D、∠C、∠B的度数.
探索二:
用三角尺和直尺画平行线,做成一张5×5个格子的方格纸.观察做出的方格纸的一部分(如图),线段
、
、…、
都与两条平行的横线
和
垂直吗?
它们的长度相等吗?
像这样,同时垂直于两条平行直线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度相等,叫做这两条平行线间的距离,即平行线间的距离处处相等.
练习二:
1.如图所示,已知直线AB∥CD,且被直线EF所截,若∠1=50°,则∠2=____,∠3=______.
(1题)(2题)(3题)
2.如图所示,AB∥CD,AF交CD于E,若∠CEF=60°,则∠A=______.
3.如图所示,已知AB∥CD,BC∥DE,∠1=120°,则∠2=______.
三、当堂反馈
1.如图所示,如果AB∥CD,那么().
A.∠1=∠4,∠2=∠5B.∠2=∠3,∠4=∠5
C.∠1=∠4,∠5=∠7D.∠2=∠3,∠6=∠8
(1题)(2题)(3题)
2.如图所示,DE∥BC,EF∥AB,则图中和∠BFE互补的角有().
A.3个B.2个C.5个D.4个
3.如图所示,已知∠1=72°,∠2=108°,∠3=69°,求∠4的度数.
四、学习反思
本节课你有哪些收获?
课题:
平行线的判定及性质习题课
【学习目标】加深对平行线的判定及性质的理解及其应用.
【学习重点】平行线的判定及性质的应用.
【学习难点】灵活运用平行线的判定及性质去推理证明.
【学习过程】
一、学前准备
通过前面的学习,你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗?
⑴平行线的定义:
⑵平行线的传递性:
⑶平行线的判定公理:
⑷平行线的判定定理1:
⑸平行线的判定定理2:
⑹平行线的判定推论:
通过前面的学习,你还知道两条直线平行有哪些性质吗?
⑴根据平行线的定义:
⑵平行线的性质公理:
⑶平行线的性质定理1:
⑷平行线的性质定理2:
⑸平行线间的距离.
二、探索思考
练习:
让我先试试,相信我能行.
1.如图1,若∠1=∠2,那么_____∥______,根据_____.
若a∥b,那么∠3=_____,根据_____.
(图1)(图2)(图3)(图4)
2.如图2,∵∠1=∠2,∴_______∥_______,根据________.
∴∠B=______,根据________.
3.如图3,若AB∥CD,那么________=_______;若∠1=∠2,那么_____∥_____;
若BC∥AD,那么_______=_______;若∠A+∠ABC=180°,那么______∥_____
4.如图4,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,如果第一次拐的角是136°(即∠ABC),那么第二次拐的角(∠BCD)是度,根据___.
5.如图,修高速公路需要开山洞,为节省时间,要在山两面A,B
同时开工,在A处测得洞的走向是北偏东76°12′,那么在B处
应按什么方向开口,才能使山洞准确接通,请说明其中的道理.
6.如图所示,潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的,光线经过
镜子反射∠1=∠2,∠3=∠4,请你解释为什么开始进入潜望镜的光
线和最后离开潜望镜的光线是平行的.
三、当堂反馈
1.已知如图1,用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时,吸管与易拉罐上部夹角∠1=74°,那么吸管与易拉罐下部夹角∠2=_______.
2.已知如图2,边OA,OB均为平面反光镜,∠AOB=40°,在OB上有一点P,从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则∠QPB的度数是().
A.60°B.80°C.100°D.120°
(图1)(图2)(图3)
3.如图3,已知∠1+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的大小关系,并对结论进行说理.
4.如图,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=44°,∠C=85°.⑴求∠DAB的度数;⑵求∠EAC的度数;⑶求∠BAC的度数;⑷通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗?
四、学习反思
二、填空题(每空1.5分,共45分)
1.如图
(1)是一块三角板,且
,则
。
2.若
则
的关系是。
3.若
则
的关系是。
4.若
则
的关系是,
理由是。
5.若
则
的关系是,
理由是。
6.如图(3)是一把剪刀,其中
,则
,
其理由是。
7.如图(4),
则AB与CD的关系是
,理由是。
8.如图(5),∠1的同位角是,∠1的内错角是,若∠1=∠BCD,
则∥,根据是。
若∠1=∠EFG,则∥,根据是。
9.已知:
如图6,∠B+∠A=180°,则∥,理由是。
∵∠B+∠C=180(已知),∴∥()。
10.如图7,直线a与b的关系是。
11.23°30′=______°13.6°=_____°_____′
三、仔细想一想,完成下面的推理过程(每空1分,共10分)
1、
如图EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70o,求∠AGD。
解:
∵EF∥AD,
∴∠2=()
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AB∥()
∴∠BAC+=180o()
∵∠BAC=70o,∴∠AGD=。
2、如图,已知∠BED=∠B+∠D,试说明AB与CD的关系。
解:
AB∥CD,理由如下:
过点E作∠BEF=∠B
∴AB∥EF()
∵∠BED=∠B+∠D
∴∠FED=∠D
∴CD∥EF()
∴AB∥CD()
四、画一画(每题5分,共10分)
1、如图,一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶,M、N是分别位于公路AB两侧的村庄。
设汽车行驶到点P时,离村庄M最近,汽车行驶到点Q时,离村庄N最近,请在图中公路AB上分别画出点P、Q的位置。
2、把下图中的小船向右平移,使得小船上的点A向右平移5cm到A′。
五、解答题(共7分)
1、如图,EB∥DC,∠C=∠E,请你说出∠A=∠ADE的理由。
2、如图,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠
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