中考数学第七章四边形复习人教版.docx
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中考数学第七章四边形复习人教版
2017年中考数学第七章四边形复习(人教版)
第十讲四边形
陈德前
101多边形
基础盘点
多边形的内(外)角和:
n边形的内角和为(n-2)×180°,外角和为360°;正n边形的每个内角为,每个外角为.多边形的外角和是固定不变的.
考点呈现
考点1已知边数求角度
例1(201•无锡)八边形的内角和为( )
A.180°B.360°.1080°D.1440°
分析:
根据多边形的内角和公式直接进行计算.
解:
当n=8时,(n-2)•180=(8﹣2)•180°=6×180°=1080°,选.
点评:
求n边形的内角和,只需将n的值代入公式180(n-2)°即可.
考点2已知角度求边数
例2(201•南宁)一个正多边形的内角和为40°,则这个正多边形的每一个外角等于()
A.60°B.72°.90°D.108°
分析:
先由多边形的内角和求出边数,再由正多边形的每个外角都相等求外角度数.
解:
设此多边形为n边形,根据题意,得180°(n﹣2)=40°,即可求得n=而多边形的外角和等于360°,可知这个正多边形的每一个外角等于360°÷=72°,故选B.
点评:
已知多边形的内角和求多边形的边数,常应用方程解决问题.
考点3多边形对角线
例3若凸多边形的内角和为12600,则从一个顶点出发引的对角线条数是___
解析:
由内角和得(n-2)×1800=12600,解得n=9由从多边形一个顶点出发引的对角线条数是n-3,即可知结论为6
点评:
多边形每一个顶点引的对角线条数都是(n-3)条,n边形的对角线条数为
误区点拨
例一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为720°,那么原多边形的边数为()
AB67D或6或7
错解:
设这个多边形截去一个角后的边数为n,则180°(n-2)=720°,解得n=6.因为截去一个角后这个多边形的边数增加1,所以原多边形的边数,选A
剖析:
由于不知道这个多边形截去一个角后的情况,因此要先判断截去一个角后多边形的边数,再分类讨论原多边形的边数一个多边形截去一个角后,边数可能加1,可能不变,也可能减1错解误认为只有第一种情况,思考不周造成错误
正解:
设这个多边形截去一个角后边数不变,设其边数为n,则180°(n-2)=720°,解得n=6,所以原多边形的边数可能是或6或7,故选D
跟踪训练
1(201•丽水)一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是()
A四边形B五边形六边形D七边形
2(201•资阳)一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数是_______.
3(2014•毕节)如图,一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后,得到一个内角和为2340°的新多边形,则原多边形的边数为()
A.13B.14.1D.16
102平行四边形
基础盘点
平行四边形性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等,邻角互补;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点
平行四边形判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
考点呈现
考点1平行四边形的性质
例1
(1)(201•梅州)如图1,在□ABD中,BE平分∠AB,B=6,DE=2,则□ABD的周长等于.
(2)(201•大连)如图2,在□ABD中,点是对角线A、BD的交点,A垂直于B,且AB=10,AD=8,则B=.
分析:
(1)根据□ABD可得AE∥B,根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB,继而可得AB=AE,然后根据已知可求得结果;
(2)根据□ABD可得B=AD,A=,B=D,则可在Rt△AB中求出A,进而得到,再在Rt△B中求B.
解:
(1)因为四边形ABD为平行四边形,所以AE∥B,AD=B,所以∠AEB=∠EB.又BE平分∠AB,所以∠ABE=∠EB,所以∠ABE=∠AEB,所以AB=AE所以AE+DE=AD=B=6,所以AE+2=6,所以AE=4,所以AB=D=4,所以□ABD的周长为4+4+6+6=20
(2)因为A垂直于B,AB=10,B=AD=8,所以A=,所以=A=3,B==()
点评:
解决第
(1)题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB,解决第
(2)题的关键是运用平行四边形的对角线互相平分和勾股定理.
考点2平行四边形的判定
例2
(1)(201•广州)下列命题中:
①对角线互相平分的四边形是平行四边形;②两组对角分别相等的四边形是平行四边形;③一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形.
真命题的个数有()
A.3B.2.1D.0
(2)(201•绵阳)如图3,在四边形ABD中,对角线A、BD相交于点E,∠BD=90°,B=4,BE=ED=3,A=10,则四边形ABD的面积为()
A.6B.12.20D.24图3
分析:
(1)利用平行四边形的判定方法进行判断即可;
(2)先在Rt△BE中求出E,得到E为A的中点,进而四边形ABD是平行四边形,即可利用S四边形ABD=B•BD求解.
解:
(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形,①正确,是真命题;两组对角分别相等的四边形是平行四边形,②正确,是真命题;一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形,③错误,例如等腰梯形,也符合一组对边平行,另一组对边相等.故选B;
(2)因为∠BD=90°,所以△BE是直角三角形又B=4,BE=3,所以.因为A=10,所以E为A的中点又BE=ED=3,所以四边形ABD是平行四边形而且△DB是直角三角形,所以S□四边形ABD=B•BD=4×6=24故选D.
点评:
在平行四边形的判定方法中,只要稍微改动一下说法,就可能成为假命题,若不注意,就会出现似是而非的错误务必准确掌握判定定理.
考点3平行四边形性质与判定的综合应用
例3(201•遂宁)如图4,在□ABD中,点E,F在对角线BD上.且BE=DF.求证:
四边形AEF是平行四边形图4
分析:
根据平行四边形的性质,可得对角线互相平分,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可证明结论.
证明:
如图4,连接A,并交对角线BD于点.
因为四边形ABD是平行四边形,所以A=,B=D.因为BE=DF,所以E=F.所以四边形AEF是平行四边形.
点评:
本题证明四边形BEDF是平行四边形的方法很多,这里用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定最简捷,你不妨写出其他证明方法,做一个对比.判定四边形是平行四边形常可边、角、对角线三个方面入手,但有简繁之分,在解题时注意比较选择.
误区点拨
例1在□ABD中,AD=BD,BE是AD边上的高,∠EBD=20°,则∠A的度数为_________.错解:
如图,因为∠EBD=20°,所以∠EDB=70°.又AD=BD,所以∠A=.
剖析:
有些考生由于思维定式,考虑问题不全面,缺少分类,误以为高BE一定在△ABD的内部,
其实高BE也可能在△ABD的外部,如图6所示,因此应分类求解.
正解:
(1)当高BE在△ABD的内部时,同错解可得∠A=°;
(2)当高BE在△ABD的外部时,因为∠EBD=20°,所以∠EDB=70°,所以∠ADB=110°.又AD=BD,所以∠A=.综合
(1)
(2)可知∠A的度数为°或3°
例2(201•广州)已知在四边形ABD中,∠A=∠,∠B=∠D.求证:
四边形ABD是平行四边形.
错解:
如图7,连接BD,则∠1+∠3=180°-∠A,∠2+∠4=180°
-∠.因为∠A=∠,所以∠1+∠3=∠2+∠4,所以∠1=∠4,∠2=∠3,
所以AB∥D,B∥AD,所以四边形ABD是平行四边形.图7
剖析:
上述错解中,由∠1+∠3=∠2+∠4并不能得到∠1=∠4,∠2=
∠3,这种推理其实是不自觉地默认了四边形ABD是平行四边形,犯了“循环论证”的错误.
正解:
因为∠A=∠,∠B=∠D,∠A+∠B+∠+∠D=360°,所以∠A+∠B=180°,所以AD∥B同理,AB∥D,所以四边形ABD是平行四边形.
跟踪训练
1(201•宁波)如图,□ABD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条,使△ABE≌△DF,则添加的条不能为()
ABE=DFBBF=DEAE=FD∠1=∠2
第1题图第2题图第3题图
2(201•牡丹江)如图,四边形ABD的对角线相交于点,A=,请添加一个条_______________(只添一个即可),使四边形ABD是平行四边形
3(201•哈尔滨)如图①,在口ABD中,点0是对角线A的中点,EF过点0,与AD、B分别相交于点E、F,GH过点0,与AB、D分别相交于点G、H,连接EG、FG、FH、EH
(1)求证:
四边形EGFH是平行四边形
(2)如图②,若EF//AB,GH//B,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)
103特殊的平行四边形
基础盘点
1矩形
性质:
(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等;
(3)矩形是轴对称图形,有两条对称轴.
判定:
(1)定义:
有一个角是直角的平行四边形是矩形;
(2)三个角都是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形.
2菱形
性质:
(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的对角线互相垂直;
(3)菱形是轴对称图形,有两条对称轴;
(4)菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
判定:
(1)定义:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)四条边都相等的四边形是菱形;
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3正方形
性质:
(1)正方形的四条边都相等;
(2)正方形的四个角都是直角;
(3)正方形的对角线互相垂直平分且相等;
(4)正方形是轴对称图形,有四条对称轴.
判定:
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
考点呈现
考点1矩形的性质
例1(201•无锡)如图1,已知矩形ABD的对角线长为8,E,F,G,H分别是AB,B,D,DA的中点,则四边形EFGH的周长等于__________.
图1
分析:
连接A,BD,根据三角形的中位线求出HG、GF、EF、EH的长即可.
解析:
连接A,BD,因为四边形ABD是矩形,所以A=BD=8因为E,F,G,H分别是AB,B,D、DA的中点,所以HG=EF=A=4,EH=FG=BD=4,所以四边形EFGH的周长位4+4+4+4=16.
点评:
解题的关键是能求出四边形各边的长,注意:
矩形的对角线相等,三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
考点2矩形的判定
例2(201•临沂)如图2,四边形ABD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,E,DB,添加一个条,不能使四边形DBE成为矩形的是()
AAB=BEBBE⊥D∠ADB=90°DE⊥DE
图2
分析:
根据矩形的判定方法分析判断.
解:
因为四边形ABD为平行四边形,所以ADB因为DE=AD,所以DEB,
所以四边形EDB为平行四边形①假若AB=BE,因为AB=BE,AD=DE,BD=BD,所以△ADB≌△EDB,所以∠BDE=90°,所以四边形EDB为矩形;②假若BE⊥D,则只能得到四边形EDB为菱形;
③假若∠ADB=90°,则∠EDB=90°,所以四边形EDB为矩形;④假若E⊥DE,则∠DE=90,
四边形EDB为矩形故选B
点评:
本题中要谨防将矩形的判定方法与菱形的判定方法相混淆而产生错误
考点3菱形的性质
例3(201•漳州)如图3,在矩形ABD中,点E在边D上,将该矩形沿AE折叠,使点D落在边B上的点F处,过点F作FG∥D,交AE于点G,连接DG.
(1)求证:
四边形DEFG为菱形;
(2)若D=8,F=4,求的值.图3
分析:
(1)由翻折得到ED=EF,GD=GF,再证明FE=FG,
即可运用菱形的不同判定方法得到多种证法;
(2)设DE=x,则E=8-x,在Rt△EF中利用勾股定理求出x,即可求出的值.
解:
(1)如图3,由轴对称性质,得∠1=∠2,ED=EF,GD=GF.因为FG∥D,所以∠1=∠3,则
∠2=∠3,所以FE=FG,所以ED=EF=GD=GF,所以四边形DEFG为菱形.
(2)设DE=x,由轴对称,得FE=DE=x,E=8-x在Rt△EF中,F2+E2=EF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=,E=8-x=3,所以.
点评:
菱形的判定方法较多,在解题中要根据具体情况选择重视对题目进行一题多解的研究,从多中取好,好中取优,进而提高我们分析问题和解决问题的能力.
考点4正方形的性质
例4(201•凉州)如图4,在正方形ABD中,G是B上任意一点,连接AG,DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,探究线段AF,BF,EF三者之间的数量关系,并说明理由.
图4
分析:
根据正方形的性质,可得AB=AD,∠DAB=∠AB=90°,根据余角的性质,可得∠ADE=∠BAF,根据全等三角形的判定与性质,可得BF与AE的关系,再根据等量代换,可得答案.
解:
线段AF,BF,EF三者之间的数量关系AF=BF+EF
理由如下:
因为四边形ABD是正方形,所以AB=AD,∠DAB=∠AB=90°.因为DE⊥AG于E,BF∥DE交AG于F,所以∠AED=∠DEF=∠AFB=90°,所以∠ADE+∠DAE=90°,∠DAE+∠BAF=90°,所以∠ADE=∠BAF.
在△ABF和△DAE中,所以△ABF≌△DAE,所以BF=AE.所以AF=BF+EF.
点评:
正方形是特殊的矩形,又是特殊的菱形,因此在解决正方形的有关问题时,要充分利用解决矩
形和菱形问题时的方法与技巧.在探索线段AF、BF、EF三者之间的数量关系时,可通过观察猜想出结论.
考点正方形的判定
例(201•日照)小明在学习了正方形之后,给同桌小出了道题,从下列四个条:
①AB=B,②∠AB=90°,③A=BD,④A⊥BD中选两个作为补充条,使平行四边形ABD成为正方形(如图)现有下列四种选法,你认为其中错误的是()
A.①②B.②③.①③D.②④图
分析:
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别,结合正方形的判定方法分别判断得出结论.
解:
因为四边形ABD是平行四边形,当①AB=B时,平行四边形ABD是菱形,当②∠AB=90°时,菱形ABD是正方形,故选项A不符合要求;因为四边形ABD是平行四边形,所以当②∠AB=90°时,平行四边形ABD是矩形,当A=BD时,这是矩形的性质,无法得出四边形ABD是正方形,故选项B符合要求;因为四边形ABD是平行四边形,当①AB=B时,平行四边形ABD是菱形,当③A=BD时,菱形ABD是正方形,故选项不符合要求;因为四边形ABD是平行四边形,所以当②∠AB=90°时,平行四边形ABD是矩形,当④A⊥BD时,矩形ABD是正方形,故选项D不符合要求.故选B.
点评:
正确掌握正方形的判定方法是解题关键.在ABD的基础上,需要再同时具备矩形和菱形的特征,平行四边形ABD即可成为正方形.
考点6四边形综合题
例6(201•泰州)如图6,正方形ABD的边长为8,E、F、G、H分别是AB、B、D、DA上的动点,且AE=BF=G=DH
(1)求证:
四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由;
(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?
若存在,请求出这个最小值;
若不存在,请说明理由图6
分析:
(1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠=∠D=90°,AB=B=D=DA,证出AH=BE=F=DG,由SAS证明△AEH≌△BFE≌△GF≌△DHG,得出EH=FE=GF=GH(也可以由勾股定理得到),∠AEH=∠BFE,证出四边形EFGH是菱形,再证明∠HEF=90°,即可得出结论;
(2)连接A、EG,交点为;先证明△AE≌△G,得出A=,证明点为对角线A、BD的交点,即为正方形的中心;(3)设四边形EFGH面积为S,BE=x,则BF=(8﹣x),由勾股定理得出S=x2+(8﹣x)2=2(x﹣4)2+32,S是x的二次函数,容易得出四边形EFGH面积的最小值.
解:
(1)因为四边形ABD是正方形,所以∠A=∠B=∠=∠D=90°,AB=B=D=DA因为AE=BF=
G=DH,所以AH=BE=F=DG在△AEH、△BFE、△GF和△DHG中,
所以△AEH≌△BFE≌△GF≌△DHG,所以EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,所以四边形EFGH是菱形所以∠BEF+∠BFE=90°,所以∠BEF+∠AEH=90°,所以∠HEF=90°,所以四边形EFGH是正方形
(2)直线EG经过一个定点,这个定点为正方形的中心(A、BD的交点)
理由如下:
连接A、EG,交点为,如图6所示,因为四边形ABD是正方形,所以AB∥D,所以∠AE=∠G在△AE和△G中,所以△AE≌△G,所以A=,即为A的中点
因为正方形的对角线互相平分,所以为对角线A、BD的交点,即为正方形的中心;
(3)设四边形EFGH面积为S,设BE=x,则BF=(8﹣x)
根据勾股定理,得EF2=BE2+BF2=x2+(8﹣x)2,所以S=x2+(8﹣x)2=2(x﹣4)2+32
因为2>0,所以S有最小值,当x=4时,S最小值=32,所以四边形EFGH的面积存在最小值,最小值为322.
点评:
本题的解法很多,第
(1)题系统复习了全等三角形、勾股定理、平行四边形、菱形、矩形及正方形等知识;第
(2)题是第
(1)题的延伸,要判定直线EG是否经过一个定点,由合情推理容易猜想到直线EG一定经过正方形ABD对角线的交点,再运用演绎推理进行说理,同时综合复习了全等三角形、平行四边形、正方形、一次函数等知识;第(3)题是第
(1)题的拓展,要求正方形EFGH面积的最小值,方法多元,从几何角度思考,可运用菱形的面积公式与垂线段最短的性质;从代数角度思考,可运用乘法公式与函数的有关知识请你按照上述提示对本题进行一题多解的研究,并与同伴交流.
误区点拨
例1(201•哈尔滨)在矩形ABD中,AD=,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BFE为菱形,若线段EF的中点为点,则线段A的长为__________.
错解:
如图,在Rt△AEB中,由勾股定理得AE=3,因为EF=,是EF的中点,所以E=2,所以A=3+2=.
剖析:
由于四边形BFE为菱形,因此BE=B=,而AD=4,因此以点B为圆心,为半径画弧与直线AD应该有两个交点,进而线段A的长应该有两个,错解只考虑了其中的一种情况,犯了以偏概全的错误.
正解:
因为矩形ABD中,AD=,AB=4,所以B=AD=,∠BAD=90°;因为四边形BFE是菱形,所以BE=B=,以点B为圆心,为半径画弧交直线AD于点E:
(1)当点E在线段AD上时,同错解有A=;
(2)当点E在射线DA上时,如图22,在Rt△AEB中,由勾股定理,得AE=3
因为EF=,是EF的中点,所以E=2,所以A=3-2=0.因此线段A的长为或0
跟踪训练
1(201•泸州)矩形具有而平行四边形不具有的性质是()
A两组对边分别平行B两组对角分别相等
对角线互相平分 D对角线相等
2(201•青岛)如图,菱形ABD的对角线A、BD相交于点,E、F分别是AB、B边上的中点,连接EF若EF=,BD=4,则菱形ABD的周长为()
A4BD28
3(201•长春)如图,点E在正方形ABD的边D上,若△ABE的面积为8,E=3,则线段BE的长为__________.
4(201•内江)如图,将□ABD的边AB延长至E,使AB=BE,连接DE,E,DE交B于点
(1)求证:
△ABD≌△BE;
(2)连接BD,若∠BD=2∠A,求证:
四边形BED是矩形第4题图
(201•长春)如图,E是△AB外角∠AD的平分线,AF//D交E于点F,FG//A交D于点G.求证:
四边形AGF是菱形.第题图
6(201•安顺)如图,在△AB中,AB=A,AD⊥B,垂足为点D,AN是△AB外角∠A的平分线,E⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:
四边形ADE为矩形;
(2)当△AB满足什么条时,四边形ADE是一个正方形?
并给出证明.
参考答案
101多边形
1283.B
102平行四边形
12答案不唯一,从①AB∥D,②A∥BD,③∠BA=∠D,④∠AB=∠D,⑤∠DA=∠B,⑥∠AD=∠B,等中任取一个即可
3
(1)证明:
因为四边形ABD为平行四边形,所以AD//B,所以∠EA=∠F因为A=,∠AE=∠F,所以△AE≌△F,所以E=F;同理G=H,所以四边形EGFH是平行四边形
(2)口GBH,口ABFE,口EFD,口EGFH
103特殊平行四边形
1D23
4证明:
(1)因为四边形ABD是平行四边形,所以AD=B,AD∥B,所以∠BAD=∠EB
又AB=BE,所以△ABD≌△BE
(2)因为BE=D,BE∥D,所以四边形BED是平行四边形,因为∠BD=2∠A,所以∠BD=2∠D,所以D=,所以B=ED,所以四边形BED是矩形;
证明:
因为AF//D,FG//A,所以四边形AGF为平行四边形,因为E是△AB外角∠AD的平分线,所以∠AF=∠FG,因为AF//G,所以∠AF=∠FG,所以∠AF=∠AF,所以AF=A,所以□AGF为菱形
6.证明:
(1)在△AB中,AB=A,AD⊥B,所以∠BAD=∠DA因为AN是△AB外角∠A的平分线,所以∠AE=∠AE,所以∠DAE=∠DA+∠AE=180°=90°
又AD⊥B,E⊥AN,所以∠AD=∠EA=90°,所以四边形ADE为矩形
(2)当△AB满足∠BA=90°时,四边形ADE是正方形
理由:
因为AB=A,所以∠AB=∠B=4°,因为AD⊥B所以∠AD=∠AD=4°,所以D=AD因为四边形ADE为矩形,所以矩形ADE是正方形.
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