圆心角和圆周角.docx
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圆心角和圆周角
学员:
----------------教师------------------日期---------------------辅导时段-------------
学思教育学科导学案教研主任签字:
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课题
圆心角和圆周角
学习目标
1、掌握弧、弦、圆心角的关系
2、理解并掌握圆心角和圆周角的关系,应用直径所对的圆周角为直角
3、涉及圆心角和圆周角的题型有清晰的认识
重点、难点
圆心角和圆周角的关系的理解和灵活运用
1、热身练习
1.下列说法正确的是()
A.三点确定一个圆B.三角形有且只有一个外接圆
C.弦的垂线必过圆心D.平分弦的直径垂直于弦
2.已知⊙O的直径为10,圆心O到弦的距离OM的长为3,则弦AB的长是()
A.4B.6C.7D.8
3、边长为2的等边三角形的外接圆半径长为()
A.1B.
C.
D.
4、若一个直角三角形的两条边分别为3cm和5cm,则此直角三角形的外接圆半径为.
5.、如图,这是一个残破的轮片,量得AB=80cm,弧AB的中点C到AB的距离是20cm,则这个残破的轮片所在圆的半径是cm.
6、已知⊙O的半径为3,OA=1,则过A点的最短的弦长为___________
7、直角坐标系中,圆心O′的坐标是(2,0),半径是4,则点P(-2,1)在⊙O′(“内”“外”“上”)
8、如图,⊙O中,弦AB=8,C为
中点,CD⊥AB于D,若CD=2,求⊙O的半径。
2、回顾所学,强化旧知
1、圆心角
1)、圆心角:
顶点在圆心的角叫做圆心角.
2)1°圆心角所对的弧叫做1°的弧.n°的圆心角所对的弧就是n°的弧.
2、圆心角的性质
性质1:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;相等的弦或相等的弧所对的圆心角相等.
性质2:
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各组量都相等.
如图所示,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,若下列四个等式:
①∠AOB=∠COD;②AB=CD;③
;④OE=OF中有一个等式成立,则其他三个等式也成立,即:
若①成立
②,③,④成立;若②成立
①,③,④成立;
若③成立
①,②,④成立;若④成立
①,②,③成立.
特别强调:
(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,若没有这一条件,虽然圆心角相等,但所对的弧、弦不一定相等.
(2)若无特殊说明,性质中“弧”一般指劣弧.
3.圆周角
(1)圆周角:
顶点在圆上,两边和圆相交的角叫做圆周角.
(2)圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.
推论2:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;相等的圆周角所对的弧相等.
4、重要结论:
(1)圆的内接四边形对角互补
(2)圆的内接四边形外角等于其内对角
三、典型例题讲解
例1、判断题:
(1)相等的圆心角所对的弧相等();
(2)等弦对等弧();
(3)等弧对等弦();(4)长度相等的两条弧是等弧();
(5)平分弦的直径垂直于弦()。
例2、如上右图,⊙O中,∠AOB=100º,则AB弧的度数为______,AnB弧的度数为______。
例3.如图,⊙O中,AB弧的度数等于100º,那么∠ACB的度数是多少?
由此你得到什么结论?
试证明你的结论。
例4、⊙O中,弦AB所对的圆心角有_______个,所对的圆周角有______个,因此能不能说“一条弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍”?
为什么?
【练习】
1、80º的弧所对的圆心角等于_______,所对的圆周角等于_______。
2、下列命题中是真命题的是()
(A)顶点在圆周上的角叫做圆周角。
(B)60º的圆周角所对的弧的度数是30º
(C)一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
(D)120º的弧所对的圆周角是60º
3、如图,在⊙O中,∠BAC=32º,则∠BOC=________。
第3题图
第4题图
4、如图,⊙O中,∠ACB=130º,则∠AOB=______。
5、如图,在⊙O中,∠A=40º,则∠BOC=___,∠BDC=___。
例5、已知⊙O中的弦AB长等于半径,求弦AB所对的圆周角和圆心角的度数.
例6.条弦分圆为1:
4两部分,求这弦所对的圆周角的度数?
【练习】
1.在⊙O中,弦AB把⊙O分为度数比为
的两条弧,则
所对的圆心角的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、 、 、
中有一组是相等,那么,所对应的其余各组量都分别相等.
例7.如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数?
例8.一条弧所对的圆周角为80°,它所对的圆心角是____度,它所含的圆周角是____度.
【练习】
1.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BCD=130°,
则∠BOD的度数是__________.
2.一条弧所对的圆周角为80°,它所对的圆心角是____度,它所含的圆周角是____度.
例9.如图,已知⊙O中,AB为直径,AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,
求BC、AD和BD的长.
课堂练习:
1.同弧所对的圆心角的度数是它所对圆周角度数的_____倍.
2.下图所示的角中,圆周角是( )
3.如右图,已知圆心角∠AOB=120°,则圆周角∠ACB的度数是( )
A.60°B.100°C.120°D.80°
4.如图,AB是⊙O的直径,∠C=30°.则∠ABD等于( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
5..如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=140°,
则∠BCD等于( )
A.140°B.110°C.70°D.20°
6.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧,
则劣弧所对的圆周角等于( )
A.45°B.90°C.135°D.270°
7.如图,在⊙O中,弦BC//半径OA,AC与OB相交于M,
∠C=20°,则∠AMB的度数为( )
A.30°B.60°C.50°D.40°
8.如图,点A、B、C、D在圆上,AB=8,BC=6,AC=10,CD=4,求AD的长.
9、如图,AB为⊙O的弦,在⊙O的上找到点C,使得△ABC是等腰三角形,用直尺和圆规找出所有满足条件的C点,保留作图痕迹,不写作法.
10、如图,AB和CD是⊙O的两条直径,AB⊥CD,AB=2,∠EAB=150,AE、DB的延长线交于点F,求:
(1)求∠FAD的度数;
(2)△ADF的面积.
(第10题)
11.(8分)如图,CD是⊙O的直径,A为DC的延长线上一点,点E在⊙O上,∠EOD=81°,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数.
课后作业
1、下列说法正确的是()
A圆周角的度数等于所对弧的度数的一半
B圆是中心对称图形,也是轴对称图形
C垂直于直径的弦必被直径平分
D劣弧是大于半圆的弧
2、在⊙O中,AB、AC是互相垂直的两条弦,AB=8,AC=6,则⊙O的半径为()
A4B5C8D10
3、同圆中两条弦长为10和12,它们的弦心距为m和n,则()
Am>nBm<nCm=nDm、n的大小无法确定
4、平面上有4个点,它们不在同一直线上,过其中3个点作圆,可以作出不重复的圆n个,则n的值不可能为()
A4B3C2D1
第5题第6题
5、如图,AB、CD为⊙O直径,则下列判断正确的是()
AAD、BC一定平行且相等
BAD、BC一定平行但不一定相等
CAD、BC一定相等但不一定平行
DAD、BC不一定平行也不一定相等
6、点P为⊙O内一点,且OP=4,若⊙O的半径为6,则过点P的弦长不可能为()
A
B12C8D10.5
二、填空
7.一条弦恰好等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角为________
8.如图所示,已知AB、CD是⊙O的两条直径,弦DE∥AB,
∠DOE=70°则∠BOD=___________
9.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,则∠ACD=___________
10.D、C是以AB为直径的半圆弧上两点,若弧BC所对的圆周角为25°弧AD所对的圆周角为35°,则弧DC所对的圆周角为_____度
11.如图所示,在⊙O中,A、B、C三点在圆上,且∠CBD=60,那么∠AOC=__________
12.如图所示,CD是圆的直径,O是圆心,E是圆上一点且
∠EOD=45°,A是DC延长线上一点,AE交圆于B,如果AB=OC,则∠EAD=____________
三、解答题
13.已知如图所示,OA、OB、OC是⊙O的三条半径,弧AC和弧BC相等,M、N分别是OA、OB的中点。
求证:
MC=NC
14.如图所示,已知:
AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,
求证:
CE=BE
☆15.如图所示,△ABC为圆内接三角形,AB>AC,∠A的平分线AD交圆于D,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:
BE=CF
☆16.如图所示,在△ABC中,∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E,延长AE交△ABC的外接圆于D点,连接BD、CD、CE,且∠BDA=60°
(1)求证△BDE是等边三角形;
(2)若∠BDC=120°,猜想BDCE是怎样的四边形,并证明你的猜想。
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- 圆心角 圆周角