精选高考数学一轮复习对点提分专题106 条件概率二项分布及正态分布 文理科通用学生版.docx
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精选高考数学一轮复习对点提分专题106条件概率二项分布及正态分布文理科通用学生版
第十篇计数原理、概率、随机变量及其分布
专题10.06 条件概率、二项分布及正态分布
【考试要求】
1.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率,了解条件概率与独立性的关系;
2.会利用乘法公式计算概率,会利用全概率公式计算概率;
3.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题;
4.了解服从正态分布的随机变量,通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征.
【知识梳理】
1.条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率
(1)0≤P(B|A)≤1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)
2.事件的相互独立性
(1)定义:
设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.
(2)性质:
若事件A与B相互独立,则A与
,
与B,
与
也都相互独立,P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A).
3.全概率公式
(1)完备事件组:
设Ω是试验E的样本空间,事件A1,A2,…,An是样本空间的一个划分,满足:
①A1∪A2∪…∪An=Ω.
②A1,A2,…,An两两互不相容,则称事件A1,A2,…,An组成样本空间Ω的一个完备事件组.
(2)全概率公式
设S为随机试验的样本空间,A1,A2,…,An是两两互斥的事件,且有P(Ai)>0,i=1,2,…,n,
Ai=S,则对任一事件B,有P(B)=
P(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.
4.独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次试验结果,则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=C
pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.
5.正态分布
(1)正态分布的定义
如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=
φμ,σ(x)dx,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).其中φμ,σ(x)=
e
(σ>0).
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方,与x轴不相交,与x轴之间的面积为1;
②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
③曲线在x=μ处达到峰值
;
④当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ-σ ②P(μ-2σ ③P(μ-3σ 【微点提醒】 1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响,计算式为P(AB)=P(A)P(B),互斥事件是指在同一试验中,两个事件不会同时发生,计算公式为P(A∪B)=P(A)+P(B). 2.若X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),要充分利用正态曲线的关于直线X=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1. 【疑误辨析】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件.( ) (2)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (3)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=C pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( ) (4)从装有3个红球,3个白球的盒中有放回地任取一球,连取3次,则取到红球的个数X服从超几何分布.( ) 【教材衍化】 2.(选修2-3P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为( ) A. B. C. D. 3.(选修2-3P75B2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X 【真题体验】 4.(2018·全国Ⅲ卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4) A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3 5.(2019·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为 和 ,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A. B. C. D. 6.(2019·青岛联考)已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>0)=0.8,则P(X≥2)=________. 【考点聚焦】 考点一 条件概率与事件独立性 【例1】 (1)(一题多解)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( ) A. B. C. D. (2)(2019·天津和平区质检)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. ①求至少有一种新产品研发成功的概率; ②若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列. 【规律方法】 1.求条件概率的两种方法 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= ,这是求条件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)= . 2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 【训练1】 (1)(2019·珠海一模)夏秋两季,生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江,历经三千多公里的溯流博击,回到金沙江一带产卵繁殖,产后待幼鱼长大到15厘米左右,又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗,该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05,若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟,则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A.0.05B.0.0075C. D. (2)(2018·濮阳二模)如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是 ,且是相互独立的,则灯亮的概率为( ) A. B. C. D. 考点二 全概率公式 【例2】有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%,已知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 【规律方法】全概率公式是计算概率的一个很有用的公式,通常把B1,B2,…,Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”,必是n个车间生产了次品;若A是“某种疾病”,必是几种病因导致A发生;若A表示“被击中”,必有几种方式或几个人打中. (1)何时用全概率公式: 多种原因导致事件的发生. (2)如何用全概率公式: 将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲,全概率公式是加法公式与乘法公式的结合. 【训练2】一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次,求第二次取到白球的概率. 考点三 独立重复试验与二项分布 【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位: 克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图). (1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量; (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列; (3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列. 【规律方法】 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X=k)=C pk(1-p)n-k的三个条件: (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p; (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 【训练3】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况,交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查,得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为: 在55名男性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有40人,不超过100km/h的有15人;在45名女性驾驶员中,平均车速超过100km/h的有20人,不超过100km/h的有25人. (1)在被调查的驾驶员中,从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人,求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率; (2)以上述样本数据估计总体,从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆,记这3辆车平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的车辆为X,求X的分布列. 【例4】 (1)(2019·郑州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<4)=( ) A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2 (2)(2019·茂名一模)设X~N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注: 若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ A.7539B.6038C.7028D.6587 【规律方法】 (1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用: ①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-σ)=P(X≥μ+σ). 【训练4】(2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X,且X~N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( ) (参考数据: 若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ A.0.9772B.0.6826C.0.9974D.0.9544 【反思与感悟】 1.古典概型中,A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)= = ,其中,在实际应用中P(B|A)= 是一种重要的求条件概率的方法. 2.全概率公式的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是伴随着某个Ai出现,适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一,在实际应用和理论分析中都有重要的地位. (1)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二: 其一是独立性,即一次试验中,事件发生与不发生二者必居其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次. (2)对于二项分布,如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X=k)=C pkqn-k.其中k=0,1,…,n,q=1-p. 【易错防范】 1.运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件,只有当事件A,B相互独立时,公式才成立. 2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体数量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理. 【核心素养提升】 【数据分析】——三局两胜制的概率问题 1.数据分析是指针对研究对象获取数据,运用数学方法对数据进行整理、分析和推断,形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括: 收集数据,整理数据,提取信息,构建模型,进行推断,获得结论. 2.教材和考题中涉及到“三局两胜制”的概率计算问题,对于“三局两胜”的比赛赛制其实是有两种: 一种是比赛完3局,胜两局的一方获胜;另一种是比赛的一方先获胜两局则比赛结束,两种不同的赛制对于同一问题的概率计算结果是否一样呢? 我们可通过教材的习题对此问题进行认识. 【例题】(选修2-3P59习题2.2B组1)甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 你对局制长短的设置有何认识? 【拓展延伸】 先后参赛对比赛公平性的影响 【拓展1】(两方参赛)匣中有3红5黑2白共10个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球,甲先取而乙后取;每人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜,而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率. 【拓展2】(三方参赛)甲、乙、丙三人进行比赛,规定每局两个人比赛,胜者与第三人比赛,依次循环,直至有一人连胜两局为止,此人即为冠军.已知每次比赛双方取胜的概率都是0.5,现假定甲、乙两人先比,试求各人得冠军的概率. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时: 40分钟) 一、选择题 1.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是( ) A. B. C. D. 2.(2019·衡水模拟)先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是( ) A. B. C. D. 3.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45 4.已知某批零件的长度误差(单位: 毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附: 若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%.)( ) A.4.56%B.13.59% C.27.18%D.31.74% 5.(2019·厦门二模)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是( ) A. B. C. D. 二、填空题 6.已知随机变量X服从正态分布N(0,82),若P(X>2)=0.023,则P(-2≤X≤2)=________. 7.某次知识竞赛规则如下: 在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________. 8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层有5个乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,则P(X=4)=________. 三、解答题 9.在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试,“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会,先进行“立定投篮”测试,如果合格才有机会进行“三步上篮”测试,为了节约时间,每项只需且必须投中一次即为合格.小明同立定投篮”的命中率为 ,“三步上篮”的命中率为 ,假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响. (1)求小明同学一次测试合格的概率; (2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ,求ξ的分布列. 10.空气质量指数(AirQualityIndex,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级: 0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;300以上为严重污染. 一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的数据分别为: 45,50,75,74,93,90,117,118,199,215. (1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数; (2)将频率视为概率,从六月中随机抽取3天,记三天中空气质量为优良的天数为ξ,求ξ的分布列. 【能力提升题组】(建议用时: 20分钟) 11.箱子里有5个黑球,4个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若取出白球,则停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率为( ) A. B. × C. × D.C × × 12.(2019·南昌月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则两次都取到红球的概率是( ) A. B. C. D. 13.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位: 小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________. 14.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.
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