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与实际相结合的应用题问题
方案设计型问题
一、考法分析
方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法,来按题目所呈现的要求进行计算,论证,选择,判断,设计的一种数学试题。
纵观近年来各地的中考试题,涉及方案设计与应用的试题大量涌现,它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜,新颖别致.本文从历年中考试题中,筛选出与之有关的部分题目,对其方案设计类型进行归类探究,以供参考.
二、例题分析
(一)、利用方程(组)进行方案设计
例1“利海”通讯器材商场,计划用60000元从厂家购进若干部新型手机,以满足市场需求,已知该厂家生产三种不同型号的手机,出厂价分别为:
甲种型号手机每部1800元,乙种型号手机每部600元,丙种型号手机每部1200元.
(1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完,请你帮助商场计算一下如何购买.
(2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部,并将60000元恰好用完,并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部,请你求出商场每种型号手机的购买数量.
解:
(1)设甲种型号手机要购买x部,乙种型号手机购买y部,丙种型号手机购买z部,根据题意,得:
①x+y=401800 x+600y=60000,解得
x=30y=10
②x+z=401800 x+1200z=60000,解得
x=20z=20
③y+z=40600 y+1200z=60000,解得
y=-20 z=60(不合题意舍去)
答:
有两种购买方案:
甲种手机购买30部,乙种手机购买10部;甲种手机购买20部,乙种手机购买20部.
(2)根据题意,得:
x+y+z=401800 x+600y+1200 z=60000 6≤y≤8
解得
x=26 y=6 z=8或x=27 y=7 z=6或x=28 y=8 z=4
答:
若甲种型号手机购买26部手机,则乙种型号手机购买6部,丙种型号手机购买8部;若甲方型号手机购买27部,则乙种型号手机购买7部,丙种型号手机购买6部;若甲方型号手机购买28部,则乙种型号手机购买8部,丙种型号手机购买4部.
例2某校组织360名师生去参观三峡工程建设,如果租用甲种客车若干辆,则刚好坐满;若租用乙种客车可少租1辆,且余40个空座位。
(1)已知甲种客车比乙种客车少20个座位,求甲、乙两种客车各有多少座位?
(2)已知甲种客车租金是每辆400元,乙种客车租金是每辆480元,这次参观同时租用这两种客车,其中甲种客车比乙种客车少租1辆,所用租金比单独租用任何一种客车要节省,按这种方案需用租金多少元?
解
(1)设甲种客车有x个座位,则乙种客车有(x+20)个座位,
依题意,得
。
整理,得 x2+600x-7200=0
解得 x1=60,x2=-120(不合题意,舍去)
答:
甲种客车有60个座位,乙种客车有80个座位。
(2)设租用甲种客车y辆,则租用乙种客车(y+1)辆,由于单独租用甲种客车需6辆,单独租用乙种客车需5辆,租金都是2400元,依题意,得
400y+480(y+1)<2400
∴ y<
,y的正整数值(车辆数)为1或2,
当y=1时,y+1=2,则60×1+80×2=220<360,不合题意。
当y=2时,y+1=3,则60×2+80×3=360。
此时租金为400×2+480×2=2240(元)。
剖析
本题是考查学生对实际问题的数据处理和计算能力,重在读懂题目,理解题意和弄清数量关系,通过阅读将实际问题分析,抽象,转化为相关的代数式,进而列出方程或不等式,最终解答数学问题。
(二)、利用不等式进行方案设计
例1光华农机租赁公司共有50台联合收割机,其中甲型20台,乙型30台,现将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦,其中30台派往A地区,20台派往B地区.
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表:
每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元),求y与x间的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元,说明有多少种分派方案,并将各种方案设计出来.
(3)如果要使这50召联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一条合理建议.
解:
(1)若派往A地区的乙型收割机为x台,则派往A地区的甲型收割机为(30-x)台;派往B地区的乙型收割机为(30-x)台,派往B地区的甲型收割机为(x-10)台.
∴y=1600x+1800(30-x)+1200(30-x)+1600(x-10)=200x+74000,x的取值范围是:
10≤x≤30(x是正整数)
(2)由题意得200x+74000≥79600
解不等式,得x≥28,由于10≤x≤30,
∴x取28,29,30这三个值
∴有3种不同分配方案.
①当x=28时,即派往A地区甲型收割机2台,乙型收割机28台;派往B地区甲型收割机18台,乙型收割机2台.
②当x=29时,即派往A地区甲型收割机1台,乙型收割机29台;派往B地区甲型收割机19台,乙型收割机1台.
③当x=30时,即30台乙型收割机全部派往A地区;20台甲型收割机全部派往B地区.
(3)由于一次函数y=200x+74000的值y是随着x的增大而增大,所以,当x=30时,y取得最大值,如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高,只需x=30,此时,y=6000+74000=80000.
建议农机租赁公司交30台乙型收割机全部派往A地区;20台甲型收割机全部派往B地区,可使公司获得的租金最高.
例2某园林的门票每张10元,一次使用,考虑到人们的不同需求,也为了吸引更多的游客,该园林保留原来的售票方法外,还推出了一种“购买个人年票”的售票方法(个人年票从购买日起,票可供持票者使用一年),年票分A、B、C三类:
A类年票每张120元,持票者进入园林时,无需再购买门票;B类年票每60元,持票者进入园林时,需再购买门票,每次2元;C类门票每张40元,持票者进入园林时,需再购买门票,每次3元。
(1)如果你只选择一种购买门票的方式,并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上,试通过计算,找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
(2)求一年中进入该园林至少超过多少次,购买A类年票比较合算。
解
(1)不可能选A类年票。
若选B类年票,则
=10(次);
若选C类年票,则
=13.3(次);
若不购买年票,则
=8(次)。
所以计划用80元花在该园林的门票上时,选购买C类年票进入园林的次数最多,为13次较合算.
(2)设至少超过x次时,购买A类年票比较合算。
则
,解之得
所以一年中进入该园林至少超过30次,购买A类年票比较合算。
(三)、利用函数进行方案设计
例1某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县,已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费(元/吨)如下表所示.出发地运费CD目的地A3540B3045
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总运费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(2)求最低总运费,并说明运费最低时的运送方案.
解:
(1)由C县运往A县的化肥为x吨,则C县运往B县的化肥为(100-x)吨,D县运A县的化肥为(90-x)吨,D县运往B县的化肥为(x-40)吨,依题意W=35x+40(90-x)+30(100-x)+45(x-40)=10x+4800(40≤x≤90)
(2)∵W随着x的减小而减小
当x=40时,W最小=10×40+4800=5200(元)
运费最低时,x=40,故100-x=60,90-x=50,x-40=0
运送方案为:
C县的100吨化肥40吨运往A县,60吨运往B县,D县的50吨化肥全部运往A县.
例2某校办工厂生产了一批新产品,现有两种销售方案。
方案一:
在这学期开学时售出该批产品,可获利30000元,然后将该批产品的成本(生产该批产品支出的总费用)和已获利30000进行再投资。
到这学期结束时再投资又可获利4.8%;
方案二:
在这学期结束时售出该批产品,可获利35940元,但要付成本的0.2%的作保管费。
(1)该批产品的成本为x元,方案一获利y1元,方案二的获利为y2元,分别求出y1、y2与x的函数关系式;
(2)当该批产品的成本是多少元时,方案一与方案二的获利一样的?
(3)就成本x元,讨论该方案一好、还是方案二好。
解:
(1)y1=30000+(30000+x)×4.8%;
y2=35940-0.2%·x
即 y1=31440+0.048x;y2=35940-0.002x。
(2)令y1=y2,则31440+0.048x=35940-0.002x。
解得 x=90000
答:
当该批产品的成本是90000元时,方案一与方案二的获利一样的。
(3)令y1>y2,即31440+0.048x>35940-0.002x。
解得 x>90000,
令y1<y2,即31440+0.048x<35940-0.002x。
解得 x<90000,
答:
当产品成本大于90000元时,选择方案一好。
当产品成本小于90000元时,选择方案二好。
剖析:
分类讨论是一种重要的教学思想方法,本题是市场方案设计分类,所以它更具有鲜明的时代特色。
(四)、通过计算比较进行方案设计
例4居民楼的采光是人们购买楼房时关心的一个重要问题,冬至是一年中太阳光相对地球北半球位置最低的时刻,只要此时楼房的最低层能采到阳光,一年四季整座楼均能受到阳光的照射,宁夏地区冬至时阳光与地面所成的角约为30°,如图所示,现有A、B、C、D四种设计方案提供的居民楼的高H(米)与楼间距L(米)的数据,如下表所示,仅就图中居民楼乙的采光问题,你认为哪种方案设计较为合理,并说明理由.
解:
根据题意:
tan30°=HL=0.5773
设计合理的楼房应满足:
HL≤0.5773
∵对于A方案:
1218≈0.6667>0.5773,
对于B方案:
1525=0.6>0.5773,
对于C方案:
1628≈0.5714<0.5773,
对于D方案:
1830=0.6>0.5773,
∴C方案设计较为合理.
三、练习
1、辽南素以“苹果之乡”著称,某乡组织20辆车装运A、B、C三种苹果到外地销售,按规定每辆车只装同一种苹果,且必须装满。
每种苹果不少于2车。
(1)设有x辆车装运A种苹果,用y辆车装运B种苹果,根据下表提供的信息求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;
(2)设此外销活动的利润为W(百元),求W与x之间的函数关系式以及最大利润,并安排相应的车辆分配方案。
2、为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划,有关部门准备对180名初中男生身高作调查,现有三种调查方案:
(1)测量少体校中180名男子篮球、排球队员的身高;
(2)查阅有关外地180名男生的身高的统计资料;
(3)在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学,在这六所学校有关年级的
(1)班中,用抽签的方法分别10选出名男生,然后测量他们的身高。
为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的,你认为采用上述哪一种调查方案比较合理,为什么?
答:
选_______________;理由
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