近世代数期末考试题库1.docx
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近世代数期末考试题库1
近世代数期末考试题库1
世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R(实数集),如果A到B的映射?
:
x→x+2,则?
是从A到B的?
x∈R,A、满射而非单射 B、单射而非满射C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有个元素。
A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b∈G都有解,这个解是乘法来说A、不是唯一 B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样)4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的A、倍数B、次数C、约数D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1,2?
,则有B?
A?
-1,0,1,-2,2。
1、设集合A?
?
?
1,0,1?
;B?
?
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换,则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且I?
S?
R,如果I是R的最大理想,那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题 ?
12345678?
?
12345678?
?
?
1、设置换和分别为:
?
?
?
,,判断?
和?
的奇偶性,并把?
和?
?
?
?
?
?
?
64173528?
?
23187654?
写成对换的乘积。
2、证明:
任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵 之和。
奇1、解:
把?
和?
写成不相杂轮换的乘积:
?
?
(1653)(247)(8) ?
?
(123)(48)(57)(6) 可知?
为奇置换,?
为偶置换。
?
和?
可以写成如下对换的乘积:
?
?
(13)(15)(16)(24)(27) ?
?
(13)(12)(48)(57) B?
11(A?
A?
)C?
(A?
A?
)222解:
设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称 矩阵,且A?
B?
C。
若令有A?
B1?
C1,这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵,则 B?
B1?
C1?
C,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:
B?
B1,C?
C1,所以,表示法唯一。
1 3、设集合Mm?
{0,1,2,?
?
m?
1,m}(m?
1),定义Mm中运算“?
m”为a?
mb=(a+b)(modm),则是不是群,为什么?
四、证明题 21、设G是群。
证明:
如果对任意的x?
G,有x?
e,则G是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环,F是一个包含R的域,那么F包含R的一个商域。
2?
1?
1?
1(xy)?
exy?
(xy)?
yx?
yx。
2、证明在F里 a(a,b?
R,b?
0)b ?
a?
?
Q?
?
所有?
(a,b?
R,b?
0)b?
?
有意义,作F的子集ab?
1?
b?
1a?
Q显然是R的一个商域 证毕。
?
近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集是子群。
33?
?
?
?
aa,e?
?
e,a?
?
e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统中,不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的?
A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设?
1、?
2、?
3是三个置换,其中?
1=,?
2=,?
3=,则?
3= 22A、?
1 B、?
1?
2C、?
2D、?
2?
1 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它。
A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说:
任一个子群都同一个---变换全-------同构。
2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于50,则a的阶等于-25-----。
4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。
5、A={}B={}那么A∩B=---2--。
6、若映射?
既是单射又是满射,则称?
为---双射--------------。
7、?
叫做域F的一个代数元,如果存在F的--不都等于林---a0,a1,?
an使得 2 a0?
a1?
?
?
?
an?
n?
0。
8、a是代数系统(A,0)的元素,对任何x?
A均成立x?
a?
x,则称a为----单位元-----。
9、有限群的另一定义:
一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G对于乘法 封闭;结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群,则P是----------。
三、解答题 1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群,H是G的子群,H={I,(12)},写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合,“?
”是数的乘法,则“?
”是E中的运算,是一个代数系统,问是不是群,为什么?
1、解:
H的3个右陪集为:
{I,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}H的3个左陪集为:
{I,(12)},{(123),(23)},{(132),(13)}2、答:
不是群,因为中无单位元。
3、解方法一、辗转相除法。
列以下算式:
a=b+102b=3×102+85102=1×85+17 此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。
然后回代:
17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5. 四、证明题 1、证明设e是群的幺元。
令x=a-1*b,则a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b。
所以,x=a-1*b是a*x=b的解。
若x?
∈G也是a*x=b的解,则x?
=e*x?
=(a-1*a)*x?
=a-1*(a*x?
)=a-1*b=x。
所以,x=a-1*b是a*x=b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z记为Zm,每个整数a所在的等价类记为[a]={x∈Z;m︱x–a}或者也可记为a,称之为模m剩余类。
若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时,Z2仅含2个元:
[0]与[1]。
四、证明题1、若是群,则对于任意的a、b∈G,必有惟一的x∈G使得a*x=b。
2、设m是一个正整数,利用m定义整数集Z上的二元关系:
a?
b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三 一、单项选择题 1、6阶有限群的任何子群一定不是。
A、2阶B、3阶 C、4阶D、6阶 2、设G是群,G有个元素,则不能肯定G是交换群。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于。
4、下列哪个偏序集构成有界格 A、偶数B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂A、 B、 C、)D、(P(A),?
) 5、设S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有 A、
(1),(123),(132) B、12),(13),(23)C、
(1),(123) D、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的,每个元素的逆元素是--------的。
?
1faAAA2、如果是与间的一一映射,是的一个元,则?
f?
a?
?
?
----a------。
3、区间[1,2]上的运算a?
b?
{mina,b}的单位元是--2-----。
f4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=———24———————。
5、环Z8的零因子有-----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数---相等-------。
7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的-----商权----。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。
n9、设群G中元素a的阶为m,如果a?
e,那么m与n存在整除关系为---mIn----。
三、解答题 1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链,问可做出多少种不同的项链?
2、S1,S2是A的子环,则S1∩S2也是子环。
S1+S2也是子环吗?
3、设有置换?
?
(1345)(1245),?
?
(234)(456)?
S6。
?
11.求?
?
和?
?
; ?
12.确定置换?
?
和?
?
的奇偶性。
群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。
用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:
例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,?
等等,可得总共8种。
2、证上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2:
因为S1,S2是A的子环,故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2,因而a-b,ab∈S1∩S2,所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例:
4 ?
1?
?
?
(1243)(56)?
);3、解:
1.,?
?
(165242.两个都是偶置换。
四、证明题1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群,证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
?
1a?
?
?
?
0?
1、证明:
假定是R的一个理想而不是零理想,那么a,理想的定义a?
1?
?
, 因而R的任意元b?
b?
1?
?
这就是说?
=R,证毕。
2、证必要性:
将b代入即可得。
充分性:
利用结合律作以下运算:
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e, 近世代数模拟试题四 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B的积集合A×B中含有个元素。
2.设A=B=R(实数集),如果A到B的映射 ?
:
x→x+2,?
x∈R, 则?
是从A到B的 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 3.设S3={
(1),(12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3中可以与(123)交换的所有元素有 A.
(1),(123),(132) B.(12),(13),(23)C.
(1),(123) 中的所有元素 4.设Z15是以15为模的剩余类加群,那么,Z15的子群共有个。
5.下列集合关于所给的运算不作成环的是A.整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法 B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?
”:
?
m,n∈Z,m?
n=0 5
D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“?
”:
?
m,n∈Z,m?
n=1二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设“~”是集合A的一个关系,如果“~”满足___________,则称“~”是A的一个等价关系。
7.设(G,·)是一个群,那么,对于?
a,b∈G,则ab∈G也是G中的可逆元,而且(ab)-1= ___________。
8.设σ=(23)(35),τ=(1243)(235)∈S5,那么στ=___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。
9.如果G是一个含有15个元素的群,那么,根据Lagrange定理知,对于?
a∈G,则元素a的阶只可能是____5,15,1,3,_______。
10.在3次对称群S3中,设H={
(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群,则商群G/H中的元素(12)H=___________。
11.设Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}是以6为模的剩余类环,则Z6中的所有零因子是___2,3,4________。
12.设R是一个无零因子的环,其特征n是一个有限数,那么,n是___________。
13.设Z[x]是整系数多项式环,(x)是多项式x生成的主理想,则(x)=________________________。
14.设高斯整数环Z[i]={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,则Z[i]中的所有单位是______________________。
15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。
三、解答题 16.设Z为整数加群,Zm为以m为模的剩余类加群,?
是Z到Zm的一个映射,其中 ,?
k∈Z,?
:
k→[k] 验证:
?
是Z到Zm的一个同态满射,并求?
的同态核Ker?
。
17.求以6为模的剩余类环Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]}的所有子环,并说明这些子环都是Z6的理想。
18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系,并举例说明唯一分解环未必是主理想环。
四、证明题19.设G={a,b,c},G的代数运算“?
” 右边的运算表给出,证明:
(G,?
)作成一个群。
?
abcaabc bbca ccab 20.设 6 ?
?
aR?
?
?
?
?
?
c?
b?
?
a,b,c,d?
Z?
d?
?
?
?
?
a0?
?
?
I?
?
?
a,c?
Z?
?
c0?
?
?
?
?
已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。
证明:
I是R的一个子环,但不是理想。
21.设(R,+,·)是一个环,如果(R,+)是一个循环群,证明:
R是一个交换环。
近世代数模拟试题一参考答案 一、单项选择题。
1、C;2、D;3、B;4、C;5、D; 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。
1、?
?
1,?
1?
?
1,0?
?
1,1?
?
2,?
1?
?
2,0?
?
2,1?
?
;2、单位元;3、交换环;4、整数环;5、变换群;6、同构;7、零、-a;8、S=I或S=R;9、域; 三、解答题1、解:
把?
和?
写成不相杂轮换的乘积:
?
?
(1653)(247)(8) ?
?
(123)(48)(57)(6) 可知?
为奇置换,?
为偶置换。
?
和?
可以写成如下对换的乘积:
?
?
(13)(15)(16)(24)(27) ?
?
(13)(12)(48)(57) 11(A?
A?
)C?
(A?
A?
)222、解:
设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称 矩阵,且A?
B?
C。
若令有A?
B1?
C1,这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵,则 B?
B?
B1?
C1?
C,而等式左边是对称矩阵,右边是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:
B?
B1,C?
C1,所以,表示法唯一。
3、答:
不是群,因为Mm中有两个不同的单位元素0和m。
四、证明题 2?
1?
1?
1(xy)?
exy?
(xy)?
yx?
yx。
2、证明在F里 a(a,b?
R,b?
0)b ?
a?
?
Q?
?
所有?
(a,b?
R,b?
0)b?
?
有意义,作F的子集ab?
1?
b?
1a?
Q显然是R的一个商域 证毕。
?
近世代数模拟试题二参考答案 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)。
1、C;2、D;3、B;4、B;5、A; 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)。
1、变换群;2、交换环;3、25;4、模n乘余类加群;5、{2};6、一一映射;7、不都等于零的元;8、右单位元;9、消去律成立;10、交换环;三、解答题 1、解:
H的3个右陪集为:
{I,(12)},{(123),(13)},{(132),(23)}H的3个左陪集为:
{I,(12)},{(123),(23)},{(132),(13)}2、答:
不是群,因为中无单位元。
7 3、解方法一、辗转相除法。
列以下算式:
a=b+102b=3×102+85102=1×85+17 此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339。
然后回代:
17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5. 四、证明题 1、证明设e是群的幺元。
令x=a-1*b,则a*x=a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b。
所以,x=a-1*b是a*x=b的解。
若x?
∈G也是a*x=b的解,则x?
=e*x?
=(a-1*a)*x?
=a-1*(a*x?
)=a-1*b=x。
所以,x=a-1*b是a*x=b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系,把这样定义的等价类集合Z记为Zm,每个整数a所在的等价类记为[a]={x∈Z;m︱x–a}或者也可记为a,称之为模m剩余类。
若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时,Z2仅含2个元:
[0]与[1]。
近世代数模拟试题三参考答案 一、单项选择题1、C;2、C;3、D;4、D;5、A; 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、唯一、唯一;2、a;3、2;4、24;5、;6、相等;7、商群;8、特征;9、mn;三、解答题 1、解在学群论前我们没有一般的方法,只能用枚举法。
用笔在纸上画一下,用黑白两种珠子,分类进行计算:
例如,全白只1种,四白一黑1种,三白二黑2种,?
等等,可得总共8种。
2、证上题子环的充分必要条件,要证对任意a,b∈S1∩S2有a-b,ab∈S1∩S2:
因为S1,S2是A的子环,故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2,因而a-b,ab∈S1∩S2,所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。
在矩阵环中很容易找到反例:
)(56),?
?
?
(16524);3、解:
1.?
?
?
(12432.两个都是偶置换。
四、证明题 ?
11、证明:
假定?
是R的一个理想而?
不是零理想,那么a?
0?
?
,理想的定义aa?
1?
?
,因而R的任意元b?
b?
1?
?
这就是说?
=R,证毕。
?
1 8 2、证必要性:
将b代入即可得。
充分性:
利用结合律作以下运算:
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e,ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e,所以b=a-1。
近世代数试卷 一、判断题 1、设A与B都是非空集合,那么A?
B?
?
xx?
A且x?
B?
。
2、设A、B、D都是非空集合,则A?
B到D的每个映射都叫作二元运算。
3、只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射f?
1。
4、如果循环群G?
?
a?
中生成元a的阶是无限的,则G与整数加群同构。
5、如果群G的子群H是循环群,那么G也是循环群。
6、群G的子群H是不变子群的充要条件为?
g?
G,?
h?
H;g?
1Hg?
H。
7、如果环R的阶?
2,那么R的单位元1?
0。
8、若环R满足左消去律,那么R必定没有右零因子。
9、F(x)中满足条件p(?
)?
0的多项式叫做元?
在域F上的极小多项式。
10、若域E的特征是无限大,那么E含有一个与Z?
p?
同构的子域,这里Z是整数环,?
p?
是素数p生成的主理想。
二、单项选择题 1、设A1,A2,?
An和D都是非空集合,而f是A1?
A2?
?
?
An到D的一个映射,那么①集合A1,A2,?
An,D中两两都不相同;②A1,A2,?
An的次序不能调换;③A1?
A2?
?
?
An中不同的元对应的象必不相同;④一个元?
a1,a2,?
an?
的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算4 a?
b;②在有理数集Q上,a?
b?
ab;ab③在正实数集R?
上,a?
b?
alnb;④在集合?
n?
Zn?
0?
上,a?
b?
a?
b。
①在整数集Z上,a?
b?
3、设?
是整数集Z上的二元运算,其中a?
b?
max?
a,b?
,那么?
在Z中3 ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。
4、设?
G,?
?
为群,其中G是实数集,而乘法?
:
a?
b?
a?
b?
k,这里k为G中固定的常数。
那么群?
G,?
?
中的单位元e和元x的逆元分别是 ①0和?
x; ②1和0; ③k和x?
2k; ④?
k和?
(x?
2k)。
5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?
bxc?
1,acx?
xac,那么x?
1①bc?
1a?
1; ②c?
1a?
1; ③a?
1bc?
1; ④b?
1ca。
6、设H是群G的子群,且G有左陪集分类?
H,aH,bH,cH?
。
如果6,那么G的阶G?
2 9 ①6; ②24; ③10; ④12。
7、设f:
G1?
G2是一个群同态映射,那么下列错误的命题是4 ①f的同态核是G1的不变子群;②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群;③G1的子群的象是G2的子群; ④G1的不变子群的象是G2的不变子群。
8、设f:
R1?
R2是环同态满射,f(a)?
b,那么下列错误的结论为3①若a是零元,则b是零元; ②若a是单位元,则b是单位元;③若a不是零因子,则b不是零因子;④若R2是不交换的,则R1不交换。
9、下列正确的命题是1 ①欧氏环一定是唯一分解环; ②主理想环必是欧氏环;③唯一分解环必是主理想环; ④唯一分解环必是欧氏环。
10、若I是域F的有限扩域,E是I的有限扩域,那么4①?
E:
I?
?
?
E:
I?
?
I:
F?
; ②?
F:
E?
?
?
I:
F?
?
E:
I?
;③?
I:
F?
?
?
E:
F?
?
F:
I?
; ④?
E:
F?
?
?
E:
I?
?
I:
F?
。
三、填空题1、设集合A?
?
?
1,0,1?
;B?
?
1,2?
,则有B?
A?
。
2、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,则f?
1?
f?
a?
?
?
a 。
3、设集合A有一个分类,其中Ai与Aj是A的两个类,如果Ai?
Aj,那么Ai?
Aj?
0 。
4、设群G中元素a的阶为m,如果an?
e,那么m与n存在整除关系为 。
5、凯莱定理说:
任一个子群都同一个 同构。
),那么?
?
1?
。
6、给出一个5-循环置换?
?
(314257、若I是有单位元的环R的a生成的主理想,那么I中的元素可以表达为 x 。
8
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