初中角平分线知识点总结和巧用.docx
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初中角平分线知识点总结和巧用
角平分线知识点总结与巧用
1.定义、定理
1.角平分线的定义:
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线。
2..角平分线的性质定理:
在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。
3.逆定理:
在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
4.三角形内心:
三角形的三个顶角的角平分线必相交于一点。
二.基本结论
1.三角形内(外)角平分线夹角结论
(1)如图
PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB
∠P=90°+
∠A,
且点P在∠BAC的角平分线上
(2)如图PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB的外角
∠P=90°-
∠A,
且点P在∠BAC的角平分线上
(3)如图PB平分∠ABC、PC平分∠ACB的外角
∠P=
∠A
且点P在∠BAC外角的角平分线上
2.三角形的三条角平分线交于一点(内心),这个点到三角形三边的距离相等。
3.三角形内(外)角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
(1)在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线
AB:
AC=BD:
DC
(2)AD是△ABC外角∠BAP的角平分线
AB:
AC=BD:
DC
3、关于角平分线常见的辅助线作法:
1.
作双高,或多高
(1)构造全等
(2)对角互补形
四边形ABCD中,BD是∠ABC的角平分线
,且∠3+∠4=180°
DA=DC
2.作平行线
(1)平分平行
等腰
(2)构造A型、X型
3.截长补短构全等
4.平分线+高线,延长⇒等腰
4、典型例题灵活运用
1、如图在△ABC中,PB平分∠ABC,PC平分∠ACB的外角,连接AP,若∠BPC=40°,
则∠CAP=50°
2、已知:
△ABC中,∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,过O的直线EF∥BC,分别交AB、AC于E、F两点,若∠BOC=135°,EO:
OF:
OD=20:
15:
12,△ABC的面积为216,则OD=
3、在△ABC中,∠A=2∠B,AC=3.5,BC=5.5,D为射线BA上一点,D到直线AC,BC的距离相等,则AD=。
(两种情况)
4、在△ABC中,O是角平分线BE和CD的交点,∠A=60°,
求证:
(1)求∠BOC的度数;
(2)求证:
OD=OE;(3)求证:
BC=BD+CE
5、矩形ABCD中,F为BC中点,∠1=∠2,求证:
AE=AB+EC
6、在正方形ABCD中,∠1=∠2,求证:
AE=BE+DF
7、
在△ABC中,AD是中线,∠1=∠2,CE//AB,若∠BAC=120°,AB=12,AC=8,求EC的长度
(答案:
EC=5)
8、在△ABC中,AD是角平分线,2∠C=∠B,求证:
AC-AB=BD
9、在RT△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD是角平分线,AE⊥BD于E,求证:
BD=2AE
10、如图,在△ABC中BE、CD分别为△ABC的角平分线,AD⊥CD,AE⊥BE,连结DE,若AB=8,AC=5,∠BAC=60°,则DE的长为________.(答案:
3)
11、如图,在等边△ABC中,AB=8,D为AB中点,点E在BC上,点F在AC上,且AF=3CF,DE平分∠BDF,则BE=(答案:
2
-2)
12、如图,已知菱形ABCD,点E为AD边上一点,连接CE,把△CDE沿着CE翻折,CD的对应边所在直线交直线AB于点F,若AF=2,AE=3,CF=4,则CD=_______________
答案:
6
13.如图,在等边△ABC中,AB=4,AD⊥BC于点D,点P在AB的延长线上,点Q在AB上,∠PDQ=60°,QD延长线交AC延长线于点R(PB (答案: ) 14、已知: 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,∠EDC=45°. (1)求证: ∠AED+ ∠ABC=90° (2)过点E作DE的垂线,交DC于M,交BA延长线于N.若NE: MC= : 3, 探究BD与BC的数量关系. 15、已知;在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为BC边上的一点BE=AC。 (1)求证: ∠BEA+∠DAC=180°; (2)过点C作CH⊥AB与点H,分别交BE、AD与点M、N,过点E作EF∥AC,交CH于点Q,若BE=EF+DF,BE: EF=3: 2,请你探究线段MH与ME之间的数量关系,并证明你的结论。
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