完整word版八年级数学上册几何添辅助线专题.docx
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完整word版八年级数学上册几何添辅助线专题
条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
)(有答案全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:
最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,二个角之间的相等。
总论:
全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变间的相等换中的“对折”法构造全等三角形.
【三角形辅助线做法】2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的也可将图对折看,对称以后关系现。
图中有角平分线,可向两边作垂线。
思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.角平分线加垂线,三线合一试试看。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法,
(1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂要证线段倍与半,延长缩短可试验。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
质定理或逆定理.
(2)可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交,等腰三角形“三线合一”法:
1.遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线形成一对全等三角形。
(3)可以在该角的两边上,距离角的顶点相等长度的位置上截合一”的性质解题取二点,然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。
2.倍长中线:
倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平3.角平分线在三种添辅助线移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条4.垂直平分线联结线段两端线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,:
5.用“截长法”或“补短法”遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
图形补全法:
6.60度的把该角添线后构成等边三角形度或120有一个角为6)已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。
度的作垂线法:
307.角度数为、60度,可60度或遇到三角形中的一个角为30特殊方法:
在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连的特殊直角三角形,然后计以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90接起来,利用三角形面积的知识解答算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三A一、倍长中线(线段)造全等角形创造边、角之间的相等条件。
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是_________.
计算数值法:
8.的特殊直角三角形,或遇到等腰直角三角形,正方形时,或30-60-90解:
延长AD至E使AE=2AD,连BE,由三角形性质知
CDB常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二,的特殊直角三角形40-60-801 AB-BE<2AD ? ABC? BAC,且AD=BD,求证: CD⊥中,AB=2AC,AD1、如图,平分AC 解: (截长法)在AB上取中点F,连FD △ADB是等腰三角形,F是底AB中点,由三线合一知 DF⊥AB,故∠AFD=90°的EF是中点,试比较、、如图,△例2ABC中,E、F分别在ABAC上,DE⊥DF,DBE+CF与 . 大小EG,解: ,连BG,G至使FG=2EF)(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法延长FDFC,显然BG=A△ADF≌△ADC(SAS) ⊥DF,由等腰三角形的三线合一知在△EFG中,注意到DE∠ACD=∠AFD=90°即: CD⊥AC EEF =EG2、如图,AD∥BC,EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA,CD过点E,求证;AB=AD+BCF在△BEG中,由三角形性质知解: (截长法)在AB上取点F,使AF=AD,连FEBDAC DEG ∠ADE=∠故: EF AFE,E∠ADDCE、如图,△例3ABC中,BD=DC=AC,是的中点,求证: 平分∠BAE. ADE+∠BCE=180° B C AA BCEDBQ PDG,BG,连,2AEAGGAE解: 延长至使=°BFE=180∠AFE+∠故∠ECB=∠EFBACDGDC=∠∠ACDG显然=,△FBE≌△CBE(AAS)DACDC=AC由于,故∠ADC=∠故有BF=BCC中,ADGADB在△与△从而;AB=AD+BC 0,AD=,=BDAC=DGAD060? ? BAC40? ? C,P,Q3、如图,已知在△ABC内,分别在BC,,CA上,并且AP,ADG ACD=∠∠ADB=∠ADC+GDC∠∠ADC+=∠? BAC? ABC的角平分线。 求证: BQ+AQ=AB+BP分别是,BQBAE,即∠BAD=,故有∠ADG≌△ADB故△DAGAD平分∠解: (补短法,计算数值法)延长AB至D,使BD=BP,连DP 在等腰△BPD中,可得∠BDP=40°二、截长补短2 ACP°=∠BDP=40从而∠)ACP(ASA△ADP≌△AC =故ADQC=QCB故BQ又∠QBC=40°=∠BP =BDBQ+AQ=AB+BP 从而ABC? 平分,BA,AD=CD,BD4、如图,在四边形ABCD中,BC>0180C? ? A? ? 求证: FDBC,连至F,使BF=解: (补短法)延长BA分析: 此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用已知条件和等A )SAS△BDF≌△BDC(D边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。 AD DC=DFB=∠DCB,FD故∠解: 有AE? AD? BCCD AD=又点于FEAC,过作并AC连接BCEF//故在等腰△BFD为等边三角则可AE? DAF =∠∠DFE6AFAEEA? °=180故有∠BAD+∠BC12CF? C B A D 又A/B6? PB-PC 1AB、如图在△5ABC中,>AC,∠=∠2,;AB-ACADP为上任意一点,求证12BA? 又6DE? FEAEFE 中在与FCE? ADE? 12C ,,FEC? ? AEDCFE? EAD? ? ? EF? AEB P∴FCE? ? ADE? ∴FC? ADCBD∴AE? AD? BC此题的解法比较新颖,把梯形的问题转化成等边三角形的问题,然后利用全等三点评: 角形的性质解决。 PD ,连=AF,使至AC(补短法)延长解: FAB三、平移变换(AFP≌△△ABPSAS)PF故BP=P,△ABC周长记为上一点,△于的角平分线,直线ABCMN⊥ADA.E为MN为△1例ADA由三角形性质知AC=-PF=PC-PBPC >.EBC周长记为求证ABB 应用: 3 FE,连AF=AC(镜面反射法)延长BA至F,使解: B=60度计算数值法)∠证明? (角平分线在三种添辅助线,AD的角平分线,MN⊥AD为△ABC ;BCA=120度则∠BAC+∠CAE=∠知∠FAE, AD,CE均为角平分线A 故有COD;AOE==∠∠则∠OAC+∠OCA=60度≌△CAE(SAS)△FAE. ∠AOC=120度CE 故EF=EOF.AF=AE,连接在AC上截取线段OBE+EF>BF=BA+AF=BA+AC中有: 在△BEFOAF∠OAE=∠又AO=AO;PPOAE≌ΔOAF(SAS),.则⊿=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=从而ABBCOE=OF;AE=AF;DAB+AC>AD+AE. 2例如图,在△ABC的边上取两点D、E,且,求证: BD=CE. AOE=60度∠AOF=∠连证明: 取BC中点M,AM并延长至N,BN,DN.MN=AM,连使COD;=∠∠AOC-∠AOF=60度则∠COF= OCF.OCD=∠又CO=CO;∠≌ΔOCF(SAS),故⊿OCDOD=OF;CD=CF. OE=OD DC+AE=CF+AF=AC. F.于DF⊥ACEBC,DE⊥AB于,BCABC2、如图,△中,AD平分∠BAC,DG⊥且平分ab.、BEAB=,AC=的长,求AE1()说明BE=CF的理由; (2)如果DC连接BD,解: (垂直平分线联结线段两端)ADC BD=DG垂直平分BC,故,故有⊥AC于F⊥BAC,DEAB于E,DF平分∠由于AEBD=CE, ∵GCBDM=EM, ∴DF =EDFEMA(SAS),DMN≌△∴△HL)≌DBERT△DFC(故RT△DDN=AE,∴BN=CA. 同理。 故有BE=CFBN+BP>PN,DP+PA>AD,AB交延长NDP,于则2AE=AB+ACBN+BP+DP+PA>PN+AD,相加得BN+AB>DN+AD,DP,各减去得/2=(a+b)AE。 AB+AC>AD+AE∴BE=(a-b)/2四、借助角平分线造全等应用: ,ABCB=60中,∠ABC、如图,已知在△1°,△相交于点AD,CE的角平分线,求证: OOE=OD所在直线为对称轴的全等OP请你利用该图形画一对以MON如图①,1、OP是∠的平分线,DC+AE=AC三角形。 请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题: 4 BCABAC、∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠ (1)如图②,在△ABC中,∠ 之间的数量关系;AD、CE相交于点F。 请你判断并写出FE与FD的平分线,有等腰三角形时常用的辅助线中的其它条件不变,请问,你 (1)ACB不是直角,而2)如图③,在△ABC中,如果∠(中所得结论是否仍然成立? 若成立,请证明;若不成立,请说明理由。 在 (1)⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线B FD,⊥AC于AB=AC例: 已知,如图,,BDB M DBC ∠求证: ∠BAC=2E E D F D1PO BAC∠于E,则∠1=∠2= 的平分线证明: (方法一)作∠BACAE,交BC 2C A A N C AB=AC又∵图①图③图②ABC ∴AE⊥) 23题图(第21o ACB=90+∠∴∠2之间的数量关系为)FE与FD解: (1FD? FEDAC ∵BD⊥(仍然成立。 12)答: ()中的结论FD? FEoACB=90∴∠DBC+∠BAC,连结上截取FG如图证法一: 1,在AEAG? CEDBC ∠∴∠2=∵为公共边,,AF2? 1? ? DBC BAC=2∠∴∠∴AGF? AEF? ? (过程略)(方法二)过A作AE⊥BC于E,∴FG? ? AFG? FE? AFE,连结(方法三)取BC中点EAE(过程略)B ⑵有底边中点时,常作底边中,的平分线、、CE分别是ADBCA? 60? ? BAC? ? BDE例: 已知,如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∴? ? 603? 2? ? A,于DF⊥ACF⊥AB于EE ∴? ? AFEAFG? 60? CFD? ? ? DDE=DF求证: F ∴? 60? CFG? AD. 证明: 连结41∵FC及为公共边4? ? ? 3中点,∵D为BCFE3 2∴CFDCFG? ? ? BD=CD∴BA CC GD∴FDFG? AB=AC又∵1 图BAC∴AD平分∠∴FDFE? ACDF⊥,∵DE⊥ABG于点,F2证法二: 如图,过点分别作于点HBCABFG? ? FHDE=DF ∴分别是、,ADCE∵的平分线、BCA60? BAC? ? ? B? ⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题B的内心F∴可得,是ABC60? ? ? ? ? 2? 3 延长线和BA例: 已知,如图,△ABC中,AB=AC,在N∴,FG? GEF? 60? FH? ? ? 1G DAC上各取一点E、F,使AE=AF,EEH 又∵1? HDFB? ? ? ? F BC EF⊥求证: 4A1 ∴HDF? ? GEF? AC AN=则=到证明: 延长BEN,使ANAB,连结CN,AB=3 2ANCACN=B=∴∠∠ACB,∠∠∴可证DHFEGF? ? ? A FCo+∠ANC=180ACNACBB∵∠+∠+∠2图∴FDFE? BCo2BCA∠2∴+ACN=180∠5 oNF,则交AB于证明: (证法一)过点E∴∠BCA+∠ACN=90作EF∥BCDoB AFE=∠即∠BCN=90∠AMC ∠∴NC⊥BC∠AEF=∵∵AE=AF AB=ACEFC∴∠B=∠AFE ∠∴∠AEF= BAEF又∵∠BAC=∠∠∴∠+∠AFEAFE=AEFCAD=AE ∠BAC=∠ACN+∠ANC∵∴∠AED=ANC∠ADE ∴∠BAC=2∠AEF=2∠oADE=180+∠AED+∠∠ANC又∵∠AFE+∠AEFAEF=∴∠o∴AED=902∠2∴EF∥NC∠AEF+oEF∴⊥BCFED=90即∠∴DE⊥FE 又∵EF∥BC ∴⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线DE⊥BC (证法二)过点D作DN∥BD= EDABC例: 已知,如图,在△中,AB=AC,在AB上,在AC延长线上,且BC交CA的延长线于N,(过程略) (证法三)过点A作AM∥BC交DE于M,(过程略)于交CE,连结DEBCF ⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形求证: DF=EFAo,PBAC=80为形内一点,若∠中,N,则AB=AC,∠例: 已知,如图,△ABC于∥作过证明: (证法一)DDN,交AEBCoo求∠PAB的度数PBC=10.ACBDNB=∠∠,∠PCB=30解法一: 以E∠,AB为一边作等边三角形,连结CE ∠NDE=Do∵ABE=60则∠BAE=AB=AC,∠ECAE=AB=BE B=∴∠∠ACB1B2FAN∵DNB AB=AC ∠∴∠B=E∴∴BD=DN AE=AC∠ABC=∠ACBA∴∠AEC=BD=CE又∵∠ACE D∵∠EAC=∠BAC-∠BAE∴DN=EC Cooo1ECFDNF在△和△中=20-=8060MB2FP2 1=∠∠BC1Eo(180-∠EAC)=∴∠ACE=80∵∠E∠∠NDF= 2DN=EC ECF∴△≌△DNF1ooACB= -∠(180BAC)=50DF=EF ∴ 2延长线于BC交AB∥EME(证法二)过作B∠EMB=M,则∠(过程略)∴∠BCE=⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线∠ACE-∠ACB ooo在E,=ACAB中,ABC例: 已知,如图,△AC=AD延长线上,且BA在D上,AE=80=30,-50o∵∠DE 连结PCB=30∴∠DE求证: PCB=BC ⊥∠BCE 6 oo60∠ABE∵∠ABC=∠ACB=50=, 的度数。 +∠E+∠C+∠D1.如图,求∠A+∠Boo-50-∠ABC =60∴∠EBC=∠ABEAAAo=10 oPBC=10∵∠EBC ∴∠PBC=∠EBEBP中PBC和△EBC在△BCEBC∠∠PBC=EO O BC=BC D CD CBCE∠∠PCB= EBCPBC∴△≌△CD 解: 连结 BP=BE∴ AB=BE∵E+∠BDC=∠B∵∠ECD+∠AB=BP ∴COD°-∠=180°-∠BOE=180 BPA ∴∠BAP=∠E+∠ACE+∠ADB∴∠A+∠B+∠ooo-10=40PBC=50ABC∵∠ABP=∠-∠ADB+∠BDC+∠ACE∠A+∠ECD+∠= )BDC+∠ADB+(∠ECD+∠ACE)+(∠=∠A1ooPAB= ∴∠ABP)=70(180-∠ADC+∠A+∠ACD=∠ 2°=180AC为一边作等边三角形,证法同一。 解法二: 以BE,延长上一点,且BE=ACBC边上的中线,E是AD2.如图,已知在△ABC中,AD是则BCEBC解法三: 以为一边作等边三角形△,连结AE,。 。 求证: AF=EF交AC于Fo∠,∠EB=EC=BCBEC=EBC=60A FEB=EC ∵A E的中垂线上在∴EBC F 的中垂线上在A同理BCE 所在的直线是∴EA的中垂线BCDC BBC ∴EA⊥1oPCB=∠∠BEC=30∠AEB= CDBG 2解: 延长AD至G,使DG=AD,连结BG o由解法一知: ∠ABC=50∵BD=DC,∠BDG=∠ADC oPBCABE=∴∠ABC=10-∠EBC∠∠=∴△BGD≌△CAD PCBPBC,BE=BC,ABE=∵∠∠AEB=∠∠∴BG=AC=BE,∠G=∠CAD PBC ∴△ABE≌△∴∠G=∠BEG=∠AEF BPA BAP=AB=BP∴∴∠∠∴∠AEF=∠CAD∴AF=EF oooPBC=50ABC∠ABP=∵∠-∠10-=403.已知E是正方形ABCD边CD上的中点,点F在BC上,且∠DAE=∠FAE。 求证: AF=AD+CF。 11oooo)=70PAB= ABP)=∴∠(180(180-∠-40解: 过E作EG⊥AF于G 227 DADA EE G C FBC FB °,∠AGE=90°∵∠D=90∴ED=EGAE平分∠DAF EG=EC∴∵ED=EC °EF=EF∵∠EGF=∠C=90∴GF=FC∴△EGF≌△ECF(HL)AGE=90°∵ED=EG,AE=AE,∠D=∠∴AD=AG∴△ADE≌△AGE(HL) FC∴AF=AG+GF=AD+即AF=AD+FC ⊥,CEBE。 4.已知: 在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BE平分∠ABC1BD。 求证: CE= 2F AAEEDDCBBC F 交证明: 延长BACE的延长线于 ⊥BEABCBE∵平分∠,CE1CFCE=∴ 2CAF=90BAC=AB=AC又∵,∠∠°°-∠FABD=90∠ACF=∠CF=BDABDACF∴△≌△∴1CF∴BDCE= 28
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