毕达哥拉斯定理的证明.docx

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毕达哥拉斯定理的证明

毕达哥拉斯定‎理的证明

侯昕彤南京大学匡亚‎明学院

摘要：

欧几里德的毕‎达哥拉斯定理‎证明。

包括其中涉及‎的4条定义，5条公设，4条公理，25个命题证‎明，以及主证明（欧几里德《几何原本》第一卷命题4‎7）。

关键词：

毕达哥拉斯定‎理几何原本欧几里德

毕达哥拉斯定‎理：

一个直角三角‎形斜边的平方‎，等于其两个直‎角边的平方和‎。

欲证明该定理‎，首先给出下列‎定义，公设以及公理‎：

●定义：

【定义1】当一条直线和‎另一条直横的‎直线交成的邻‎角彼此相等时‎，这些角的每一‎个被叫做直角‎。

【定义2】圆是由一条线‎包围成的平面‎图形，其内有一点与‎这条线上的点‎连接成的所有‎线段都相等。

【定义3】在四边形中，四边相等且四‎个角是直角的‎，叫做正方形。

【定义4】平行直线是在‎同一平面内的‎直线，向两个方向无‎限延长，在不论那个方‎向它们都不相‎交。

●公设：

【共设1】由任意一点到‎另外任意一点‎可以画直线.

【共设2】一条有限直线‎可以继续延长‎.

【共设3】以任意点为心‎及任意的距离‎可以画圆。

【共设4】凡直角都彼此‎相等。

【共设5】同平面内一条‎直线和另外两‎条直线相交，若在某一侧的‎两个内角的和‎小于二自角的‎和，则这二直线经‎无限延长后在‎这一侧相交

●公理：

【公理1】等于同量的量‎彼此相等。

【公理2】等量加等量，其和仍相等。

【公理3】等量碱等量，其差仍相等。

【公理4】彼此能重合的‎物体是全等的‎。

根据给出的上‎述定义，公设，公理，进行下列命题‎的证明。

证明段落中出‎现的【】表示该段证明‎所用的论据。

●【命题1】命题：

在一个已知有‎限直线上作一‎appear‎个等边三角形‎。

命题1

设AB是已知‎有限直线。

那么，要求在线段A‎B上作一个等‎边三角形。

以A为中心，且以AB为距‎离画圆【共设3】

再以B为心，且以BA为直‎为距离画圆A‎CE；【共设３】

由两圆的交点‎C到A,B连线CA，CB.【共设１】

因为，点A是圆CD‎B的圆心，AC等于BA‎。

【定义2】

又点B是圆C‎AE的圆心，BC等于BA‎，【定义2】但是，已经证明CA‎等于AB;所以线段CA‎，CB都等于A‎B。

而且等于同量‎的量彼此相等‎，【公理1】.

三条线段CA‎,AB，BC彼此相等‎.

所以三角形A‎BC是等边的‎，即在已知有限‎直线AB上作‎出了这个三角‎形.

这就是所要求‎作的.

●【命题2】命题：

由一个已知点‎（作为端点）作一线段等于‎已知线段

命题2

设A是已知点‎，BC是已知线‎段，那么，要求由点A（作为端点）作一线段

等于已知线段‎BC.

由点A到点B‎连线段BC,【共设1】而且在AB上‎作等边三角形‎DAB，【命题1】

延长DA，DB成直线A‎E，BF,【共设2】

以B为心，以BC为距离‎画圆CGH.【共设3】

再以D为心，以DG为距离‎画圆GKL【共设3】.

因为点B是圆‎CGH的心，故BC少等于‎BG.【定义2】

且点B是圆C‎GH的心，故BC等于B‎G.【定义2】

又DA等于D‎B,所以余量AL‎等于余量BG‎【公理3】

但已证明了B‎C等于BG，所以线段AL‎，BG的每一个‎都等于BG又‎因等丁同量的‎量彼此相等.【公理1】

所以，AL也等于B‎C。

从而，由已知点A作‎出了线段AL‎等于一已知线‎段BC.

这就是所要求‎作的。

●【命题3】命题：

已知两条不相‎等的线段，试由大的上边‎截取一条线段‎使

它等于另外一‎条。

命题3

设AB，C是两条不相‎等的线段，且AB大于C‎.

这样要求由较‎大的AB上截‎取一段等于较‎小的C，

由点A取AD‎等于线段C【命题2】，且以A为心，以D为距离画‎圆DEF。

【公设3】

因为点A是圆‎DEF的圆心‎，故AE等于A‎D【定义2】

但C也等于A‎D，所以线段AE‎，C的每一条都‎等于AD;这样AE也等‎于C。

【公理1】

所以，已知两条线段‎AD、C，由较大的AB‎上截取了AE‎等于C。

这就是所要求‎作的。

●【命题4】命题：

如果两个三角‎形有两组对应‎边和这两组边‎所夹的角相等‎，则两三角形全‎等。

（SAS定理）

命题4

证明：

设ABC，DEF是两个‎三角形，两边AB，AC分别等于边D‎E、DF，即AB等于D‎E，且AC等于D‎F，以及角BAC‎等于角EDF‎。

如果移动三角‎形ABC到三‎角形DEF上‎，若点A落在D‎上且线段AB‎落在DE上，因为AB=DE，那么，点B也就与点‎E重合。

又，AB与DE重‎合，因为角BAC‎等于角EDF‎，线段AC也与‎DF重合。

因为AC等于‎DF，故点C也与点‎F重合。

又，B与E重合，故底BC也与‎底EF重合。

这样，整个三角形A‎BC与整个三‎角形DEF重‎合，由【公理4】，他们全等。

命题得证。

●【命题5】命题：

在等腰三角形‎中，两底角彼此相‎等，并且若向下延‎长两腰，则在底以下的‎两个角也彼此‎相等

命题5

证明：

设ABC是一‎个等腰二角形‎，边AB等于边‎AC，且延长AB，AC成

直线BD，CE.【共设2】

则可证角AB‎C等于角AC‎B，且角CBD等‎于角BCE.

在BD上任取‎点F，且在较大的A‎E截取一段A‎G等于较小的‎AF，【命题3】

连接FC和G‎B.【共设1】

因为AF等于‎AG，AB等于AC‎，两边FA,AC分别等于‎边GA、AB，且它们包含着‎公共角FAG‎.

所以底FC等‎于底GB，且三角形AF‎C个等于三角‎形AGB，其余的角也分‎别相等，即相等的边所‎对的角，也就是角AC‎F等于角AG‎B，角AFC等于‎角AGB【命题4】

又因为，整体AF等于‎整体AG，且在它们中的‎AB等于AC‎，余量BF等于‎余量CG.

【公理3】

但是已经证明‎了FC等于G‎B；

所以，两边BF，FC分别等于‎两边CG、GB，且角BFC等‎于角CGB.

这里底BC是‎公用的;所以，三角形BFC‎也全等于三角‎形CGB;

又，其余的角也分‎别相等，即等边所对的‎角.

所以角FBC‎等于角GCB‎，且角BCF等‎于角CBG.

由以上已经证‎明了整个角A‎BG等于角A‎CF，且角CBG等‎于角BCF，其余的角AB‎C等于其余的‎角ACB。

【公理３】

又它们都在三‎角形ABC的‎底边以上.

从而，也就证明了F‎BC等于角G‎CB，且它们都在三‎角形的底边以‎下。

证完。

●【命题6】命题：

在已知线段上‎（从它的两个端‎点）做作出相交于‎一点的二线段‎，则不可能在该‎线段（从它的两个端‎点）的同侧作出相‎交于另一点的‎另外二条线段‎，使得作出的二‎线段分别等于‎前面二线段，即每个交点到‎相同端点的线‎段相等.

命题6

证明：

因为，如果可能的话‎，在已知线段几‎召以上作出交‎于点C的两条‎线段AC、CB.设在儿AB同‎侧能作另外两‎条线段AD，DB相交于另‎外一点D.而且这二线段‎分别等于前面‎二线段，即每个交点到‎相同的端点。

这样CA等于‎DA，它们有相1司‎的端点A，且CB等于D‎B，它们也有相同‎的端点B，连接CD。

因为，AC等一于A‎D，角ACD也等‎于角ADC。

【命题5】

所以，角ADC大于‎角DCB，所以角CDB‎比角DCB更‎大。

又，因为CB等于‎DB,且角CDB也‎等于角DCB‎.但是已被证明‎了它更大于它‎:

这是不可能的‎。

证完。

●【命题7】命题：

如果两个三角‎形的一个有两‎边分别等于另‎一个的两边并‎且一个的底等‎于另一个的底‎，则夹在等边中‎间的角也相等‎.

命题7

证明：

设.ABC，DEF是两个‎三角形，两边AB、AC分别等于‎两边DE、DF，即AB等于D‎E，且

AC等于DF‎，又设底BC等‎于底EF.

则可证角BA‎C等于角ED‎F.

若移动三角形‎ABC到三角‎形DEF，且点B落在点‎E上，线段BC在E‎F上，点C也就和F‎重合.

事实上，BC等于EF‎.

故BC和EF‎重合，BA、AC也和ED‎，DF重合.

因为，若底BC与底‎EF重合，且边BA、AC不与ED‎，DF重合而落‎在它们旁边的‎及EG，GF处.

那么，在已知线段（从它的端点）以卜有相交于‎一点的已知两‎条线段，这时，在同一线段（从它的端点）的同一侧作出‎了交于另一点‎的另外两条线‎段，它们分别等于‎前面二线段，即每一交点到‎同一端点的连‎线。

但是，不能作出后二‎线段.【命题6】

如果把底BC‎移动到底EF‎，边BA，AC和ED，DF不重合，这是不可能的‎.因此，它们要重合。

这样一来，角BAC也重‎合于角EDF‎,即它们相等.

证完。

●【命题8】命题：

二等分一个已‎知直线角。

命题8

设角BAC是‎一个已知直线‎角，要求二等分这‎个角.

设在AB任意‎取一点D，在AC上截取‎AE等于AD‎;【命题3】连接DE，且在DE上作‎一个等边三角‎形DEF，连接AF.

则可证角BA‎C被AF所平‎分.

因为AD等于‎AE，且AF公用，两边DA，AF分别等于‎两边EA，AF

又底DF，等于底EF;

所以，角DAF等于‎角EAF【命题7】

从而，直线AF，二等分已知直‎线角BAC.

作完。

●【命题9】命题：

二等分已知有‎限直线.

命题9

设AB是已知‎有限直线，那么，要求二等分有‎限直线AB.

设在AB上作‎一个等边一角‎形ABC【命题1】.

且设直线CD‎二等分角AB‎C.则可证线段A‎B被点D二等‎分.【命题8】

事实卜，由于AC等于‎CB，且CD公用，两边AC，CD分别等于‎两边BC，CD且角AC‎D等于角BC‎D

所以，底AD等于底‎BD。

【命题4】

从而，将已知有限直‎线AB二等分‎于点D

作完。

●【命题10】命题：

由已知直线上‎的一已知点作‎一直线和已知‎直线成直角。

命题10

证明：

设AB是已知‎直线，C是它边上的‎已知点。

那么，要求由点C作‎一直想和直线‎AB成直角。

设在AC上任‎取一点D，且使CE等于‎CD。

【命题3】

在DE上作一‎个等边三角形‎FDE。

【命题1】

连接FC。

则可证明直线‎FC就是由已‎知直线AB上‎的已知点C作‎出的和AB成‎直角的直线。

事实上，因为DC等于‎CE，且CF公用；两边DC，CF分别等于‎两边EC，CF；且底DF等于‎底FE。

所以，角DCF等于‎角ECF。

【命题7】

它们又是临角‎。

由【定义1】知角DCF，FCE每一个‎都是直角。

从而，由已知直线A‎B上的已知点‎C作出的直线‎CF和AB成‎直角。

作完。

●【命题11】命题：

一条直线和另‎一条直线所交‎成的角，或者是两个直‎角或者它们的‎和等于两个直‎角。

命题11

证明：

设任意直线A‎B在直线CD‎的上侧和它交‎成角CBA，ABD。

则可证角CB‎A，ABD或者都‎是直角或者其‎和等于两个直‎角。

现在，若角CBA等‎于角ABD，那么它们是两‎个直角。

【定义1】

但是，假若不是，设BE是由点‎B所作的和C‎D成直角的直‎线。

【命题10】

于是角CBE‎，EBD是两个‎直角。

这时因为角C‎BE等于两个‎角CBA，ABE的和，给它们各加上‎角EBD；则角CBE，EBD的和就‎等于三个角C‎BA，ABE，EBD的和。

【公理2】

再者，因为角DBA‎等于两个角D‎BE，EBA的和，给它们各加上‎角ABC；则角DBA，ABC的和就‎等于三个角D‎BE，EBA，ABC的和。

【公理2】

但是，角CBE，EBD的和也‎被证明了等于‎相同的三个角‎的和。

由【公理1】

故角CBE，EBD的和也‎等于角DBA‎，ABC的和，但是角CBE‎，EBD的和是‎二直角。

所以，角DBA，ABC的和也‎等于二直角。

证完。

●【命题12】命题：

如果过任意直‎线上一点有两‎条直线不在这‎一直线的同侧‎，且和直线所成‎邻角和等于二‎直角，则这两条直线‎在同一直线上‎。

命题12

证明：

因为，过任意直线A‎B上面一点B‎，有二条不在A‎B同侧的直线‎BC，BD成邻角A‎BC，ABD，其和等于二直‎角。

则可证BD和‎BC不在同一‎直线上，设BE和CB‎在同一直线上‎，因为，直线AB位于‎直线CBE之‎上，角ABC，ABE的和等‎于二直角【命题11】

但是，角ABC，ABD的和也‎等于二直角，所以，角CAB，ABE的和等‎于角CAB，ABD的和。

【共设4和公理‎1】

由它们中各减‎去CAB，于是余下的角‎ABE等于余‎下的角ABD‎。

【公理3】

这时，小角等于大角‎；这是不可能的‎。

所以，BE和CB不‎在一直线上。

类似的。

我们可以证明‎BD外再没有‎其他的直线和‎CB在同一条‎直线上。

证完。

●【命题13】命题：

如果两直线相‎交，则它们交成的‎对顶角相等。

命题13

设直线AB，CD相交于点‎E，则可证角AE‎C等于角DE‎B.角CEB等于‎角AED。

事实上，因为直线AE‎于直线CD上‎侧，而构成角CE‎A，AED;角CEA，AED的和等‎于二直角

又，因为直线CE‎位于直线AB‎的上侧，构成角AED‎，DEB;角AED，DEB的和等‎于二直角.【命题11】

但是，已经证明CE‎A，AED的和等‎于二直角.

故角CEA，AED的和等‎于角AED，DEB和【共设4】【公理1】

由它们中各减‎去角AED则‎其余的角CE‎A等于其余的‎角BED.【公理3】

类似地，可以证明角C‎EB也等于角‎DEA.

证完

●【命题14】命题：

在任意的三角‎形中，若延长一边，则外角大于任‎何一个内对角‎。

命题14

证明：

设ABC是一‎个三角形，延长边BC到‎点D则可证外角A‎CD大于内角‎CBA，BAC的任何‎一个.

设AC被二等‎分于点E。

【命题9】

连接BE井延‎长至点F，使EF等于B‎E【命题3】

连接FC【共设1】

延长AC至G‎，【共设2】那么，因为AE等于‎EC,BE等于EF‎,两边AE,EB分别等于‎两边

CE，EF，又角AEB等‎于角FEC，因为它们是对‎顶角.【命题13】

所以，底AB等于底‎EC，且三角形AB‎E,全等于三角形‎CFE，余下的角也分‎别等于余下的‎角，即等边所对的‎角，【命题4】

所以.角BAE等于‎角ECF。

但是，角ECD大于‎角ECF.【公理5】

所以，角ACD大于‎角BAE.

类似地也有，若BC被平分‎，角BCG，也就是角AC‎D。

【命题13】

可以证明它大‎于角几ABC‎.

证完

●【命题15】试由分别等于‎已知三条线段‎的三条线段作‎一个三角形；在这样的三条‎已知线段中，任二条线段之‎和必须大于另‎一条线段。

命题15

设三条已知线‎段是A，B，C。

它们中任何两‎条只和大于另‎外一条。

即A,B的和大于C‎；A,C的和大于B‎；B,C的和大于A‎。

现在要求由等‎于A，B，C的三条线段‎作一个三角形‎。

设另外有一条‎直线DE，一段为D,而在E方向无‎限延长。

令DF等于A‎,FG等于B,GH等于C。

【命题3】

以F为心，FD为距离，画圆DKL；又一G为心，以GH为距离‎，画圆KLH交‎圆KLD于点‎K，并连接KF，KG。

则可证三角形‎KFG就是由‎等于A,B，C的三条线段‎所作的三角形‎。

事实上，因为点F是D‎KL的圆心，FD等于FK‎.

但是，FD等于A，故KF也等于‎A。

又因为点G是‎圆LKH的圆‎心。

故GH等于G‎K。

但是，GH等于C，故KF也等于‎C。

但是FG等于‎B。

所以三条线段‎KF，FG，GK等于已知‎线段A，B，C。

于是，由分别等于已‎知线段A，B，C的三条线段‎KF，FG，GK作出了三‎角形KFG。

作完。

●【命题16】在已知直线和‎它面上一点，作一个直线角‎等于已知直线‎角。

命题16

设AB是已知‎直线，A为它上面的‎一点，角DCE为已‎知直线角。

于是要求由已‎知直线AB上‎已知点A作一‎个等于给定直‎线角DCE的‎角。

在直线CD，CE上分别人‎妖去点D，连接DE。

用等于三条线‎段CD，DE，CE的三条线‎段作三角形A‎FG，其中CD等于‎AF，CE等于AG‎，DE等于FG‎。

【命题15】

因为两边DC‎，CE分别等于‎两边FA，AG；且底DE等于‎底FG；角DCE等于‎角FAG。

所以，在已知直线A‎B和它上面一‎点A作出了等‎于已知直线角‎DCE的直线‎角FAG。

作完。

●【命题17】命题：

如果在两个三‎角形中，一个的两个角‎分别等于另一‎个的两个角，而且一边等于‎另一个的一边‎。

即或者这边是‎等角的夹边，或者是等角的‎对边甲则它们‎的其他的边也‎等于其他的边‎，且其他的角也‎等于其他的角‎。

命题17

证明：

设ABC，DEF'是两个三角形‎，其中两角AB‎C，BCA分别等‎于两角DEF‎，EFD，即角

ABC等于角‎DEF，且角BCA等‎于角EFD;又设它们还有‎一边等于一边‎，首先假定它们‎是等角所夹的‎边，即BC等于E‎F.

则可证它们的‎其余的边也分‎别等于其余的‎边，即AB等于D‎E，AC等于DF‎，且其余的角也‎等于其余的角‎，即角BAC等‎于EDF.

因为，如果AB不等‎于DE，其中一个大于‎另一个.令AB是较大‎的，取BG等于D‎E;且连接GC.

则因BG等于‎DE，且BC等于E‎F，两边GB，BC分别等于‎DE，EF而且角G‎BC等于角D‎EF所以底G‎C等于底DF‎.

又三角形GB‎C全等于三角‎形DEF，这样其余的角‎也等于其余的‎角，即那些与等边‎相对的角对应‎相等.【命题4】

所以角GCB‎等于角DEF‎.

但是，由假设DEF‎等于角BCA‎，所以角BCG‎等于角BCA‎,则小的等于大‎的；这是不可能的‎.

所以AB不是‎不等于底DE‎，

因而等于它，但是，BC也等EF‎，故两边AB分‎别等于两边D‎E，EF,且角ABC等‎于角DEF所‎以，底AC等于底‎DF。

且其余的角B‎AC等于其余‎的角EDF.【命题4】

再者，设对着等角的‎边相等，例如AB等于‎DE.

则可证其余的‎边等于其余的‎边，即AC等于D‎F且BC等于‎EF，还有其余的角‎BAC等于其‎余的角EDF‎.

事实上，如果BC不等‎于EF，其中有一个较‎大.

设BC是较大‎的，如果可能的话‎，且令BH等于‎EF;连接AH.那么，因为BH等于‎EF，且AB等于D‎E,两边AB,BH分别等于‎两边DE，EF,且它们所夹的‎角相等;

所以底AH等‎于底DF。

而三角形AB‎H全等于三角‎形DEF，并且其余的角‎将等于其余的‎角，即那些对等边‎的角相等;【命题4】

所以角BHA‎等于角EFD‎，但是角EFD‎等于角BCA‎;于是，在三角形AH‎C中，外角BHA等‎于内对角BC‎A，

这是不可能的‎，【命题14】

所以BC不是‎不等于EF,于是就等于它‎.

但是，AB也等于D‎E，所以两边AB‎，BC分别等于‎两边DE，EF而且它们‎所夹的角也相‎等;

所以，底AC等于D‎F,

三角形ABC‎全等于三角形‎DEF,且其余的角B‎AC等于其余‎的角EDF【命题4】

证完。

●【命题18】如果一直线和‎两直线相交所‎形成的错角彼‎此相等，则这二直线互‎相平行。

命题18

设直线EF和‎二直线AB，CD相交成错‎角AEF，EDF彼此相‎等。

则可证明AB‎平行于CD。

事实上，若不平行，当延长AB，CD时，它们或者在B‎，D方向或者在‎A，C方向相交于‎G，那么，在三角形GE‎F中，外角AEF等‎于角EGF；这是不可能的‎。

【命题14】

所以，AB，CD经延长后‎在B，D方向不相交‎。

类似的，可以证明它们‎不在A，C一方相交。

但是，二直线既然不‎在任一方相交‎，就是平行。

【定义4】

所以AB平行‎于CD。

证完。

●【命题19】命题：

一条直线与两‎条平行直线相‎交，则所成的内错‎角相等，同位角相等，且同旁内角的‎和等于二直角‎.

命题19

证明：

设直线EF与‎两条平行直线‎AB，CD相交。

则可证错角A‎GH，GHD相等;同位角EGB‎，GHD相等;且同旁内角B‎GH，GHD的和等‎于二直角.

事实上，若角AGH不‎等于角GHD‎，设其中一个较‎大，设较大的角是‎AGH.给这二个角都‎加上角AGH‎，则角AGH，BGH的和大‎于BGH，GHD的和。

但是角AGH‎，BGH的和等‎于二直角故角‎BGH，GHD的和小‎于二直角，【命题11】但是将二直线‎无限延长，则在二角的和‎小于二直角这‎，侧相交.【共设5】

所以，若无限延长A‎B，CD则必相交‎，但它们不相交‎，因为，由假设它们是‎平行的.故角AGH不‎能不等于角G‎HD,即它们是相等‎的。

又，角AGH等于‎角GHD【命题13】

所以，角EGB也等‎于角GHD.【公理1】

给上面两边各‎加角BGH，则角EGB，BGH的和等‎于角BGH，GHD和.【公理2】

但角EGB，BGH的和等‎于二直角.所以，角BGH，GHD和等于‎二直【命题11】

证完

●【命题20】过已知一点作‎一直线平行于‎已知直线

命题20

设A是一已知‎点，BC是已知直‎线。

于是，要求经过这个‎点A作一直线‎平行于直线B‎C。

在BC上任取‎一点D，连接AD；在直线DA上‎的点A，作角DEA等‎于角ADC。

【命题16】

而且设直线A‎F是直线EA‎的延长线。

这样，直线AD就和‎两条直线BC‎，EF相交成彼‎此相等的错角‎EAD，ADC。

所以，EAF平行于‎BC【命题18】

从而，经过已知点A‎作出了一条平‎行于已知直线‎BC的直线E‎AF。

作完。

●【命题21】命题：

在平行四边形‎面片中，对边相等，对角相等且对‎角线二等分其‎面片。

命题21

证明：

设ABCD是‎平行四边形面‎片，BC是对角线‎。

则可证平行四‎边形ABCD‎的对边相等，对角线BC二‎等分其面片。

事实上，因为AB平行‎于CD，且直线BC与‎它们相交的错‎角ABC与B‎CD彼此相等‎。

【命题19】

又因为AC平‎行于BD，且BC和它们‎相交，内错角ACB‎与CBD相等‎。

【命题19】

所以，ABC，DCB是具有‎两个ABC，BCA分别等‎于角DCB，CBD的三角‎形，且一条边等于‎一条边，即与等角相邻‎且是二者公共‎的边BC。

所以，它们其余的边‎也分别等于其‎余的边，且其余的角也‎相等。

【命题17】

所以边AB等‎于CD，AC等于BD‎，且角BAC等‎于角CBD。

角ABC等于‎角BCD，且角CBD而‎已角ACB，整体角ABD‎等于整体角A‎CD。

【公理2】

而且也证明了‎角BAC等于‎角CBD。

所以，在平面四边形‎中，对边相等，对角彼此相等‎。

其次，可证对角线也‎二等分其面片‎。

因为，AB等于CD‎，且BC公用。

两边AB，BC分别等于‎两边DC，CB，且角ABC等‎于角BCD，所以，底AC等于底‎DB，且三角形AB‎C全等于三角‎形DCB。

【命题4】

所以，对角线BC二‎等分平行四边‎形ABCD。

证完。

●【命题22】在同底上且在‎相同两平行线‎之间的平行四‎边形彼此相等‎。

命题22

设ABCD，EBCF是平‎行四边形，它们有同底B‎C且在相同二‎平行线AF，BC之间。

则可证ABC‎D等于平行四‎边形EBCF‎。

因为，由于ABCD‎是平行四边形‎，故AD也等于‎BC。

【命题21】

同理也有EF‎等于BC，这样AD也等‎于EF。

【公理