数学建模.docx
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数学建模
1、建模准备及问题重述
1.1问题背景
“垃圾围城”是世界性难题,在今天的中国显得尤为突出。
2012年全国城市生活垃圾清运量达到1.71亿吨,比2010年增长了1300万吨。
数据显示,目前全国三分之二以上的城市面临“垃圾围城”问题,垃圾堆放累计侵占土地75万亩。
因此,垃圾焚烧正逐步成为中国垃圾处理的主要手段之一。
事实上垃圾焚烧厂对环境的污染风险与建设投资规模、运行监管力度有直接关系。
小型垃圾焚烧厂由于没有规模效应,在污染治理方面的投入也会受到影响,致使其污染物排放比较严重,难以达到国家新的排放标准,对环境的危害较大。
尤其是目前建厂选址尤为困难,所以国内各大城市目前均倾向于采用新型大型焚烧炉的焚烧厂取代分散的小型焚烧炉的举措。
然而大型焚烧厂又存在需要考虑垃圾运输成本与道路建设成本等问题,因此对于不同城市来说,究竟该把大型焚烧厂的建设规模控制在什么水平,这是一个值得研究的课题。
深圳市某地点计划建立一个中型的垃圾焚烧厂,计划处理垃圾量1950吨/天(设置三台可处理垃圾650吨/天的焚烧炉,排烟口高度80米,每天24小时运转)。
现要确立一套可行的垃圾焚烧厂环境影响动态监控评估方法,并针对潜在环境风险制定出合理的经济补偿方案。
我们在查阅关于大气污染的相关论文和对该垃圾焚烧厂地形及周边环境的了解基础上,对当地的环境指标建立模型,创立新的环境指标,并对周围居民设计出合适的经济补偿方案。
1.2需要解决的问题
问题一:
确立一套可行的垃圾焚烧厂环境影响动态监控评估方法;
问题二:
针对潜在环境风险制定出合理的经济补偿方案。
1.3问题分析
大气污染一直是一个世界性的问题,本题所给出的是因垃圾焚烧厂排出气体所造成的大气污染,这是一个可控的因素,我们可以控制污染物的排出量来减小对该地区环境的污染。
题目中所给出的污染物排放量是以一个平均值上下波动的,所以可以看做一个稳定的常量,结合国家对污染物排放的相关指标,可以对污染做出一定的测评。
对于问题一,我们可以根据测得数据,建立合理的数学模型,对该地的污染指数进行动态评估,并根据建立的数学模型,对不同时段的污染情况给出相应的污染指数。
对于问题二,我们可以运用高斯烟雨模型,对污染物的扩散方向及范围进行判定,同时结合问题一的污染指标,判断对周围居民的损伤,结合政府相关法规,做出对周围居民进行合理的经济补偿方案。
2、模型假设、符号说明
2.1模型假设
(1)题目所给数据准确可靠;
(2)在大气污染物中,只取颗粒物、SO2、NOx三种主要污染物做研究,其他污染物影响忽略不计;
(3)大气污染中污染物的扩散满足扩散系数方程;
(4)污染物造成的危害,由人为判定并设立指标;
(5)天气及其他情况对污染物溶解度的影响忽略不计;
(6)污染物的扩散同统计的风向一致;
(7)污染物的浓度在y、z轴上的分布是高斯分布的;
(8)污染源的源强是连续且均匀的,初始时刻云团内部的浓度、温度呈均匀分布;
(9)扩散过程中不会考虑云团内部的温度变化,忽略热传递、热对流和热辐射;
(10)泄漏气体是理想气体,遵守理想气体状态方程;
(11)在水平方上上,大气扩散系数呈各向同性;
(12)取X轴为平均风速方向,整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变,不随地点、时间变化而变化;
(13)地面对污染气体起全反射作用不发生吸收或吸附作用;
(14)整个过程中,污染气体不发生沉降、分解,不发生任何化学反应。
3、建立的模型
3.1问题一的模型
3.1.1基本模型
根据题目所给出数据,我们拟从危害系数、扩散系数、自净系数、溶解度四个方面着手,对该地的污染情况作出动态评估。
将给出一个平衡直观的函数系来解决问题。
3.1.2深化模型
3.1.2.1对问题一的分析
对于问题一,我们可以根据测得数据,建立合理的数学模型,对该地的污染指数进行动态评估,并根据建立的数学模型,对不同时段的污染情况给出相应的污染指数。
对于垃圾焚烧厂所排放的大气污染物中,我们主要以其中的颗粒物、SO2、NOx为参考指标。
因其基本为气相组织,所以会受到风向、自由扩散、气候环境对其的影响,所以,要把这些因素统和考虑,构建合理的函数模型。
3.1.2.2数据预处理
全年风向统计表
全年风向频率雷达图
全年污染系数雷达图
年平均风速折线图
一月风向统计表
一月风向频率雷达图
一月污染系数雷达图
四月风向统计表
四月风向频率雷达图
四月污染系数雷达图
七月风向统计表
七月风向频率雷达图
七月污染系数雷达图
十月风向统计表
十月风向频率雷达图
十月污染系数雷达图
污染物排放统计数据
颗粒物排放动态统计
SO2排放动态统计
NOx排放动态统计
3.1.2.3模型建立
我们设立下如下指标,对垃圾焚烧厂环境的影响进行动态监控评估:
1、扩散系数
该系数表示污染物自由扩散的程度,反映了污染物的覆盖程度,对周围居民的影响程度。
气体中的扩散系数与系统、温度和压力有关,其量级为
。
通常对于二元气体A、B的相互扩散,A在B中的扩散系数和B在A中的扩散系数相等,因此可略去下标而用同一符号D表示,即
。
表7-1给出了某些二元气体在常压下(
)的扩散系数。
对于二元气体扩散系数的估算,通常用较简单的由富勒(Fuller)等提出的公式:
(7-19)
式中,
-A、B二元气体的扩散系数,
;
-气体的总压,
;
-气体的温度,K;
、
-组分A、B的摩尔质量,
;
、
-组分A、B分子扩散体积,
。
一般有机化合物可按分子式由表7-2查相应的原子扩散体积加和得到,某些简单物质则在表7-2种直接列出。
表7-1某些二元气体在常压下(
)的扩散系数
系统
温度/K
扩散系数/(10-5m2/s)
系统
温度/K
扩散系数/(10-5m2/s)
H2-空气
273
6.11
甲醇-空气
273
1.32
He-空气
317
7.56
乙醇-空气
273
1.02
O2-空气
273
1.78
正丁醇-空气
273
0.703
Cl2-空气
273
1.24
苯-空气
298
0.962
H2O-空气
273
2.20
甲醇-空气
298
0.844
298
2.56
H2-CO
273
6.51
332
3.05
H2-CO2
273
5.50
NH3-空气
273
1.98
H2-N2
273
6.89
CO2-空气
273
1.38
294
7.63
298
1.64
H2-NH3
298
7.83
SO2-空气
293
1.22
He-Ar
298
7.29
表7-2 原子扩散体积和分子扩散体积
原子扩散体积
v/(cm3/mol)
分子扩散体积
Σv/(cm3/mol)
原子扩散体积
v/(cm3/mol)
分子扩散体积
Σv/(cm3/mol)
C15.9
He2.67
S22.9
CO18.0
H2.31
Ne5.98
CO226.9
O6.11
Ar16.2
N2O35.9
N4.54
Kr24.5
NH320.7
芳香族环-18.3
Xe32.7
H2O13.1
杂环-18.3
H26.12
SF671.3
F14.7
D26.84
Cl238.4
CL21.0
N218.5
Br269.0
Br21.9
O216.3
SO241.8
I29.8
空气 19.7
注:
已列出分子扩散体积的,以后者为准。
2、危害系数
根据污染物对环境的影响,基本确立SO2、NOx的危害曲线。
设NOx排放量x、SO2排放量y、颗粒物排放量z
设计指标的原理:
颗粒物、NOx与SO2存在某种数学函数关系,将三者联系在一起,从而得到污染指标。
颗粒物、NOx与SO2均有国家排放标准:
NOx:
0~250mg/Nm3
SO2:
0~80mg/Nm3
颗粒物:
0~20mg/Nm3
大量研究发现,大气中PM10浓度的上升容易引起上呼吸道感染、使鼻炎、慢性咽炎、慢性支气管炎、气管哮喘、肺气肿、尘肺等呼吸系统疾病恶化。
PM10每增加个100μg/m3,成人男女感冒咳嗽的发生率分升高4.81%和4.48%。
同时,成年男性患支气管炎的比率增加5.13%。
NORRIS等发现西雅图城儿童哮喘急诊人数与细颗粒物(粒径小于1μm))的污染水平显著相关,当细颗粒物浓度上升11μg/m3时,急诊人数增加的相对危险度(RR)=1.15(1.08~1023)。
另外,过多的可吸入颗粒物的沉积会损害肺部呼吸氧气的能力,使肺泡中巨噬细胞的吞噬功能和生存能力下降,导致肺部排除污染物的能力降低。
空气中PM10每增加10μg/m3),肺功能下降1%。
1994年,国家环保总局与美国国家环保局合作开展了一项“大气污染对人体呼吸健康影响研究”的课题,通过对广州、武汉、兰州、重庆4个城市几年的跟踪调查,数据表明,大气颗粒物浓度(尤其是小颗粒物)与儿童肺功能异常率存有明显的相关性.
3.2对心血管疾病的影响
对心血管疾病的影响由颗粒物引起的心脏自主神经系统在心率、心率变异、血粘度等方面的改变能增加突发心肌梗死的危险。
人暴露在高浓度PM2.5中,会增加血液的粘稠度和血液中某些白蛋白,从而引起血栓。
Costa的研究指出,可吸入颗粒物对健康的影响在中年以上和已患心脏疾病的人群中表现得较为明显,认为可吸入颗粒物是引起心脏病的因一。
;Zanobetti等人的研究发现有呼吸系统疾病并受可吸入颗粒物影响的心血管病人,其住院率比较高。
3.3生殖系统
通常认为,大气颗粒物的污染与人类生殖功能的改变显著相关。
许多研究发现大气颗粒物的浓度与早
产儿、新生儿死亡率的上升,低出生体重、宫内发育迟缓(IURG)及先天功能缺陷具有显著统计学相关性,最新研究指出大气颗粒物对生殖系统的影响不仅表现为造成胎儿出生时形态畸形,而且会导致一些细微的功能缺陷,而影响其一生。
由于一些具有潜在毒性的元素,如铅、镉、镍、锰、钒、溴、锌和苯并
(a)芘等多环芳烃(PAHs),主要吸附在直径小于2.5μm的颗粒物上,而这些小颗粒易沉积于肺泡区,容易被吸收入血液,故细颗粒物的吸入对生殖系统的影响不容忽视。
Dejmek等对波希米亚北部的一组孕妇进行研究发现,对于高浓度的PM205暴露(>37μG/m3),孕妇出现IURG的机率为2.11(1.20~3.70),表明高浓度的细颗粒物污染可能会影响胚胎的发育。
我们可以认定,当NOx排放量为250时与SO2排放量为80时,对空气及人体伤害是相当的。
由此可得x与y比较大小根据x/250与y/80进行比较哪个污染严重。
当NOx与SO2浓度增加时,两污染物对人体健康的影响曲线是不同的:
如上图
NOx的曲线趋近于三次函数y=Ax3+B
SO2的曲线趋近于y=lnx
颗粒物曲线类似于y=x
综上分析,及数据处理可得以下结论:
0.02x3+3.125×lny+12.5z=W(d)
将国家排放标准代入得W(d)=3.15×104
注:
W(d)为干燥或未被处理的空气污染指标。
其中0.02为3次函数曲线的系数。
3.125为250/80之后的结果,意为将x与y化为统一指标,12.5是250/20之后的结果,意为将x与z化为统一指标。
查得1体积水溶解SO240体积。
氮氧化物的溶解度为59%。
雨水冲刷过之后颗粒物可降为0。
所以可以得出雨后空气污染指标
W(d)—0.0118x3+lny×40×3.125+0×z=W(ra)
代入国家排放标准的W(ra)=2.91×104
注:
W(ra)为雨后的空气污染指标该系数表示了大气污染物对周围居民的危害程度,是重要指标。
3、污染系数
该系数表示环境对污染物的抑制作用,是减轻危害的一个指标。
大气稳定度是大气温度场中的一个重要参数,它间接反映了气温的垂直分布。
大气中污染物在垂直方向进行混合和扩散的效果,取决于大气稳定度。
稳定的大气压制垂直方向的混合,当大气处于不稳定状态时,情况则相反。
大气稳定度与云量、地面风速、太阳的辐射、温度等因素有关。
根据帕斯奎尔(Pasquil1)稳定度分级法(简称P.S),大气稳定度分为强不稳定、不稳定、弱不稳定、中性、较稳定和稳定6级,它们分别表示为A、B、C、D、E、F。
污染系数反映了风向和风速2种气象因子对大气污染物综合扩散稀释作用,其表达式:
污染系数=风向频率/平均风速
为了简明而直观地了解各风向的污染程度,作出了1、4、7、10各月以及2011~2012年的污染系数图
4、溶解度
对于大气中的污染物,降雨及空气湿度都会对其产生影响,所以我们结合各物质溶解度,对其污染程度作出评价。
该系数表示大气污染物溶于水的难易程度,反映出污染物通过溶水途径对居民造成伤害的可能性。
SO2溶解度(c)在338.32kPa,25℃下,体积比大约是一体积水溶解四十体积二氧化硫。
NOx中如N2O溶解度在101.3kPa,25°C下,1体积水中溶解体积比为0.59。
对于颗粒物,不溶于水,溶解度为0.
根据以上溶解度数据,可建立一个污染物的溶解度指标,设为S。
由上二氧化硫与氧化亚氮溶解度的关系,其二者溶解度比值为4000:
59.
则S=0×c(颗粒物)+59×c(二氧化硫)+4000×c(氧化亚氮)。
3.2问题二的模型
3.2.1基本模型
根据高斯烟雨模型,判断出污染物的覆盖面积及污染方向,结合政府相关法规,对周围居民的污染损伤做出合理的赔偿模型。
3.2.2深化模型
3.2.2.1对问题二的分析
对于问题二,我们可以运用高斯烟雨模型,对污染物的扩散方向及范围进行判定,同时结合问题一的污染指标,判断对周围居民的损伤,结合政府相关法规,做出对周围居民进行合理的经济补偿方案。
根据高斯烟雨模型,对大气污染物的污染范围及方向作出判断,同时融合所建立的模型,设计方案。
3.2.2.2数据预处理
全年风向统计表
全年风向频率雷达图
全年污染系数雷达图
年平均风速折线图
3.2.2.3模型建立
1、坐标系
高斯模型的坐标系如图2.1所示,原点为排放点(若为高架源,原点为排放点在地面的投影),x轴正向为风速方向,y轴在水平面上垂直于x轴,正向在x轴的左侧,z轴垂直于水平面xoy,向上为正向。
在此坐标系下烟流中心线或烟流中心线在xoy面的投影与x轴重合。
2、模型公式推导
由正态分布假设可以导出下风向任意一点X(x,y,z)处重金属气体浓度的函数为:
(1)
由概率统计理论可以写出方差的表达式为:
(2)
由假设可以写出源强的积分公式:
(3)
式中:
、
为泄漏气体在y、z方向分布的标准差,单位为m;X(x,y,z)为任一点处重金属颗粒气体的浓度,单位为kg/m
;u为平均风速,单位为m/s;Q为源强(即重金属排放速度),单位为kg/s;
将
(1)式代入
(2)式,积分可得:
(4)
将
(1)式和(4)式代入(3)式,积分可得:
(5)
P为污染源在传播过程中的源强总量;S为传播的距离;
再将(4)式和(5)式代入
(1)式,可得:
(6)
上式为无界空间连续点源扩散的高斯模型公式改进公式。
其中:
X(x,y,z)为下风向x米、横向y米、地面上方z米处的扩散的气体浓度,单位为kg/m
;Q为源强(即源释放速率),单位为kg/s;u为平均风速,单位为m/s;t为泄漏后是时间,单位为s;H为泄漏源有效高度,单位为m;y为横向距离,单位为m;z为垂直方向距离,单位为m。
如:
式中,令z=0,即可得到地面气体浓度计算公式:
…………无界空间的烟羽模型的解(11)
其中,X(x,y,0)为下风向x米、横向y米处的地面扩散重金属颗粒浓度,单位为kg/m
。
3、地势的作用在该模型的影响:
以上式中的重金属颗粒云团有效高度是指泄漏气体形成的气云基本上变成水平状的时候气云中心的离地高度。
在上式中假定为污染源的地势海拔。
实际上,泄漏源有效高度就等于泄漏源几何高度加泄漏烟云抬升高度。
影响烟云抬升高度的因素有很多,主要包括:
泄漏气体的初始速度和方向、初始温度、泄漏口直径、环境风速及风速岁高度的变化率、环境温度及大气稳定度。
有效源高:
其中,
为泄漏源几何架高,
为烟云抬升高度。
实验表明,泄漏源抬升高度可以用下面公式近似计算:
(12)
其中,
是气云释放速度,单位为m/s;
是泄漏出口直径,单位为m;V为环境风速,单位为m/s;
(12)式是20世纪70年代末、80年代初,Wilson根据管道破裂泄漏实验所得的实验公式。
实验时气体的喷射方向与风速垂直并且气体喷射路径上无障碍物。
实验表明,当气体喷射方向垂直向上时,预测值与实际值之比在洗漱2以内。
计算出泄漏烟云抬升高度以后,将泄漏源抬升高度与泄漏源实际几何高度相加就得到了泄漏源有效高度。
当地形高于烟囱有效高度;
A(x,0,
H)=
……………………….(13)
为地形高度,亦计算点地面高于烟囱底的高度,当
>H时,烟流中心直接落于地面计算点,地面浓度等于烟柳中心线的浓度。
在计算出污染点距污染源S与p的关系后,近似取取样点的金属污染量作为p值;从问题一,问题二的解答中,取出每一个区的严重污染范围,并在该污染范围内的点作为样本点。
在该样本点以距离S画圆,样本点圆的交叉范围就可以近似的取得污染源的位置。
如下例子:
4、扩散系数的选取:
扩散系数x、y、z的大小与大气湍流结构、离地高度、地面粗糙度、泄漏持续时间、抽样时间间隔、风速以及离开泄漏源的距离等因素有关。
大气的湍流结构和风速在大气稳定度中考虑。
大气稳定度由10米高度以上的风速、白天的太阳辐射或夜间的云量等参数决定。
按照Pasquill的分类方法,随着气象条件稳定性的增加,大气稳定度可以分为A、B、C、D、E、F六类。
其中A、B、C三类表示气象条件不稳定,E、F两类表示气象条件稳定,D类表示中性气象条件,也就是说气象条件的稳定性在稳定和不稳定之间。
A、B、C三种类型的稳定度中,A类表示气象条件极其不稳定,B类表示气象条件中等程度不稳定,C类表示气象条件弱不稳定。
E和F两种类型的稳定度中,E类表示气象条件弱稳定,F类表示气象条件中等程度稳定。
大气稳定度具体分类方法见下表1、表2。
表1和表2中的云量是指当地天空层覆盖率。
例如,云量为3/8是指当地3/8的天空有云层覆盖。
日照角是指当地太阳光线与地平线之间的夹度。
例如,阳光垂直照射地卖弄时的日照角为90°。
一般来说,随着大气稳定度的增加,扩散系数减小。
根据Hanna和Drivas的建议,化学危险品事故泄漏扩散系数与大气稳定度类型和下风向的关系如下表3。
表3 扩散系数的计算方法
4、模型求解
4.1问题一模型
根据对模型一中扩散系数、危害系数、污染系数、溶解度这四个因素的判断,对其影响污染情况作出初步判断,将四个指标的影响能力做出如下判断:
扩散系数:
30%
危害系数:
50%
污染系数:
15%
溶解度:
5%
同时,我们规定,在这一模型中,200为
4.1.1扩散系数
依据扩散系数公式:
以及对当地环境、温度、气压和查表所得的各个数据,得出以下方程:
S02:
5.5237×10-9(22.4/C[SO2]+34.4828C[SO2])1/2
NOx:
5.9202×10-9(22.4/C[NOx]+34.4828C[NOx])1/2
4.1.2危害系数
当NOx与SO2浓度增加时,两污染物对人体健康的影响曲线是不同的:
如上图
NOx的曲线趋近于三次函数y=Ax3+B
SO2的曲线趋近于y=lnx
颗粒物曲线类似于y=x
综上分析,及数据处理可得以下结论:
0.02x3+3.125×lny+12.5z=W(d)
将国家排放标准代入得W(d)=3.15×104
注:
W(d)为干燥或未被处理的空气污染指标。
其中0.02为3次函数曲线的系数。
3.125为250/80之后的结果,意为将x与y化为统一指标,12.5是250/20之后的结果,意为将x与z化为统一指标。
查得1体积水溶解SO240体积。
氮氧化物的溶解度为59%。
雨水冲刷过之后颗粒物可降为0。
所以可以得出雨后空气污染指标
W(d)—0.0118x3+lny×40×3.125+0×z=W(ra)
代入国家排放标准的W(ra)=2.91×104
注:
W(ra)为雨后的空气污染指标
4.1.3污染系数
雷达图的分析结果
从雷达图中可以看出,岳阳市常年主导风向为NNE,S风除发生在6、7、8月(1个季度)外,其余月(3个季度)均由ENE、NE、NNE所控制,6、7、8月S风频率分别占17.0%、24.2%、19.4%,各月的静风频率分别为13.7%、9.7%、13.7%、35.5%。
从风速变化曲线图可以明显地看出城区平均风速不低于2.4m/s,年平均风速比较大,而且静风频率小于40%,有利于大气污染物的扩散。
污染系数图的分析结果
从图中可以看出,岳阳城区的污染物输送通道为NE,即东北方向,而城区几个贡献值较大的企业均集中在东北面,因此,这些点源也是造成西南面中心城区污染的主要原因。
污染系数反映了风向和风速2种气象因子对大气污染物综合扩散稀释作用,其表达式:
污染系数=风向频率/平均风速
为了简明而直观地了解各风向的污染程度,作出了1、4、7、10各月以及2011~2012年的污染系数图。
4.1.4溶解度
根据溶解度数据,可建立一个污染物的溶解度指标,设为S。
由上二氧化硫与氧化亚氮溶解度的关系,其二者溶解度比值为4000:
59.
则S=0×c(颗粒物)+59×c(二氧化硫)+4000×c(氧化亚氮)。
4.1.5总模型
因人为定义,数值为200是,为
4.2问题二模型
参照如上高斯烟雨模型求解流程,对问题二模型进行求解。
5、模型检验、结果分析
d:
雨洗作用
降雨对烟羽中的颗粒物及气溶胶具有清洗作用,可溶性气体与蒸汽亦可溶于雨水中,降雨过程造成的这类湿沉积是导致放射性气溶胶和气体向地面沉积的另一重要机制。
通常以冲洗系数
,描述降雨对烟羽中污染物清洗作用的大小。
与雨强的关系可以表达为:
(23)
式中,
为雨强(mm/h);
a,b为经验系数。
式中,按释放物质为含碘、不含碘情况分别取值。
对含碘物质,取
;对于不含碘物质,取
。
对于湿沉积导致的烟羽耗减,可采用湿沉积耗减因子对源强
进行修正,有
(24)
6、模型评价
优点:
1、模型易于实现,并无使用过多深、难的数学知识;
2、前后两个模型有关联,模型整体具有连贯性;
3、创立独有模型,形式新颖的模型能从不同的角度阐释问题。
缺点:
1、考虑影响因素是不全面,可能会有某些遗漏;
2、由于数据不齐全,有局限性,可能一些结果不具代表性;
3、初创模型可能有很多没想到的地方,不够全面,不够严谨。
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