知识梳理与自测人教A版文科数学《高考专题突破五 范围最值问题》 第1课时.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《高考专题突破五范围最值问题》第1课时
高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
例1(2018·开封质检)已知椭圆C:
+=1(a>b>0)与双曲线-y2=1的离心率互为倒数,且直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围.
解
(1)∵双曲线的离心率为,
∴椭圆的离心率e==.
又∵直线x-y-2=0经过椭圆的右顶点,
∴右顶点为点(2,0),即a=2,c=,b=1,
∴椭圆方程为+y2=1.
(2)由题意可设直线的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),
M(x1,y1),N(x2,y2).
联立
消去y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,
则x1+x2=-,x1x2=,
于是y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.
又直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,
故·==k2,
则-+m2=0.
由m≠0得k2=,解得k=±.
又由Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)
=16(4k2-m2+1)>0,得0 显然m2≠1(否则x1x2=0,x1,x2中至少有一个为0,直线OM,ON中至少有一个斜率不存在,与已知矛盾). 设原点O到直线的距离为d, 则S△OMN=|MN|d =··|x1-x2|· =|m|=. 故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1). 思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. 跟踪训练1(2018·浙江)如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C: y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上. (1)设AB中点为M,证明: PM垂直于y轴; (2)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围. (1)证明 设P(x0,y0),A,B. 因为PA,PB的中点在抛物线上, 所以y1,y2为方程2=4·, 即y2-2y0y+8x0-y=0的两个不同的实根. 所以y1+y2=2y0, 所以PM垂直于y轴. (2)解 由 (1)可知 所以|PM|=(y+y)-x0=y-3x0, |y1-y2|=2. 所以△PAB的面积 S△PAB=|PM|·|y1-y2|= . 因为x+=1(-1≤x0<0), 所以y-4x0=-4x-4x0+4∈[4,5], 所以△PAB面积的取值范围是. 题型二 最值问题 命题点1 利用三角函数有界性求最值 例2过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则|AF|·|BF|的最小值是( ) A.2B. C.4D.2 答案 C 解析 设直线AB的倾斜角为θ, 可得|AF|=,|BF|=, 则|AF|·|BF|=×=≥4. 命题点2 数形结合利用几何性质求最值 例3在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________. 答案 解析 双曲线x2-y2=1的渐近线为x±y=0,直线x-y+1=0与渐近线x-y=0平行,故两平行线间的距离d==.由点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,得c≤,故c的最大值为. 命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 例4已知点P是圆O: x2+y2=1上任意一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,延长QP到点M,使=. (1)求点M的轨迹E的方程; (2)过点C(m,0)作圆O的切线l,交 (1)中的曲线E于A,B两点,求△AOB面积的最大值. 解 (1)设M(x,y),∵=, ∴P为QM的中点,又有PQ⊥y轴,∴P, ∵点P是圆O: x2+y2=1上的点,∴2+y2=1, 即点M的轨迹E的方程为+y2=1. (2)由题意可知直线l与y轴不垂直, 故可设l: x=ty+m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y2), ∵l与圆O: x2+y2=1相切, ∴=1,即m2=t2+1,① 由 消去x,并整理得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0, 其中Δ=4m2t2-4(t2+4)(m2-4)=48>0, ∴y1+y2=-,y1y2=.② ∴|AB|= =, 将①②代入上式得 |AB|==,|m|≥1, ∴S△AOB=|AB|·1=· =≤=1, 当且仅当|m|=,即m=±时,等号成立, ∴△AOB面积的最大值为1. 思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法: 一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 跟踪训练2(2018·邢台模拟)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称. (1)求实数m的取值范围; (2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点). 解 (1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为 y=-x+b.由 消去y,得x2-x+b2-1=0. 因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,① 将AB的中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-,② 由①②得m<-或m>. (2)令t=∈∪, 则t2∈. 则|AB|=·, 且O到直线AB的距离为d=. 设△AOB的面积为S(t), 所以S(t)=|AB|·d=≤, 当且仅当t2=时,等号成立, 此时满足t2∈. 故△AOB面积的最大值为. 1.已知P(x0,y0)是椭圆C: +y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则x0的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 A 解析 由题意可知,F1(-,0),F2(,0), 则·=(x0+)(x0-)+y=x+y-3<0, 点P在椭圆上,则y=1-, 故x+-3<0,解得- 即x0的取值范围是. 2.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2=x上移动,设点P为线段MN的中点,则点P到y轴距离的最小值为( ) A.1B.C.2D.5 答案 B 解析 设M(x1,y1),N(x2,y2),抛物线y2=x的焦点为F,抛物线的准线为x=-,所求的距离d==-=-,所以-≥-=(两边之和大于第三边且M,N,F三点共线时取等号). 3.过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角θ≥,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 D 解析 记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+ =+=+|AF|cosθ, |AF|(1-cosθ)=,|AF|=. 由≤θ<π得-1 即|AF|的取值范围是. 4.已知椭圆+=1(a>b>0)的中心为O,一个焦点为F,若以O为圆心,|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.B. C.D. 答案 A 解析 由于以O为圆心,以b为半径的圆内切于椭圆,所以要使以O为圆心,以c为半径的圆与椭圆恒有公共点,需满足c≥b,则c2≥b2=a2-c2,所以2c2≥a2,所以≤e<1,故选A. 5.(2018·云南昆明一中摸底)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( ) A.B.C.D.1 答案 A 解析 由题意可得F,设P(y0>0), 则=+=+=+(-) =+=, 可得k==≤=. 当且仅当=时取得等号,故选A. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C: x2=4y,点P是C的准线l上的动点,过点P作C的两条切线,切点分别为A,B,则△AOB面积的最小值为( ) A.B.2C.2D.4 答案 B 解析 设P(x0,-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 又A,B在抛物线上,所以y1=,y2=. 因为y′=, 则过点A,B的切线分别为y-=(x-x1),y-=(x-x2)均过点P(x0,-1), 则-1-=(x0-x1),-1-=(x0-x2),即x1,x2是方程-1-=(x0-x)的两根,则x1+x2=2x0,x1x2=-4,设直线AB的方程为y=kx+b,联立得x2-4kx-4b=0,则x1x2=-4b=-4, 即b=1,|AB|=|x1-x2| =· =·, O到直线AB的距离d=, 则S△AOB=|AB|d=≥2, 即△AOB的面积的最小值为2,故选B. 7.椭圆C: +y2=1(a>1)的离心率为,F1,F2是C的两个焦点,过F1的直线l与C交于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最大值等于________. 答案 7 解析 因为椭圆C的离心率为,所以=, 解得a=2,由椭圆定义得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, 即|AF2|+|BF2|=8-|AB|, 而由焦点弦性质,知当AB⊥x轴时,|AB|取最小值2×=1,因此|AF2|+|BF2|的最大值等于8-1=7. 8.(2018·晋城模拟)已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,如果|PF1|=t|PF2|(t∈(1,3]),则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________. 答案 (0,] 解析 由双曲线的定义及题意可得 解得 又|PF1|+|PF2|≥2c, ∴|PF1|+|PF2|=+≥2c, 整理得e=≤=1+,
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