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线性代数题库

12级物联网班

李沛华

、填空

1

0、

A=

B=

d

一1丿

J

0丿

1.

则AB=

2.设D为一个三阶行列式，第三列元素分别为-2,3,1,其余子式分别为9,6,

24，贝UD=.

3.n阶矩阵A可逆的充要条件是，设A为A的伴随矩阵，贝UA」=

广1、

2

c（123,4）=

4•若n阶矩阵满足A2-2A-4E=0,则A°=.

c2

5.（1,2,3,4）=

3

11

12.f（x）=-11

10

x

1中，x的一次项系数是._

1

6.已知A,B为n阶矩阵,A=2,|B=-3,则ATB，=

7.设向量组冷，-,-线性相关，则向量组〉i「i,〉2「2,〉3,r一定线性.

8.设A三阶矩阵，若A=3,贝UA」=——A[=.

9.n阶可逆矩阵A的列向量组为：

二:

七」"，：

，“，则rLd—JHFn：

，.

ab0

11.设a,b为实数，则当a=且b=时，-ba0=0.

-101

13.已知向量组=1,2,3T,二2,3,4T「3二3,4,5T,则该向量组的秩

rm」3二.—

14.A为n阶方阵，且|A=d，则kA=.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

广12_1、

设A是三阶可逆矩阵，且A-=021，则A*=

1°03」

已知向量

3,0，则

■-的夹角是

已知a=（1,0,2,2J，则a的模||a||=

1208

行列式0374的值为

2351

46102

已知3阶方阵A的三个特征值为1,-2,3,则A」=.

二次型f（x,y,z）=x2+2y2-z2+2xy-2yz对应的矩阵为

11-1

f（x）=x01中x的一次项系数是.

10-1

已知A为3X3矩阵，且A=3,则2A=——

向量：

=（1,0,0,1）T1=（0,1,-1,0）T，贝u2：

「=.

设n阶方阵A满足A2+2A-9E=0,则A」=

已知向量组％=（1,a,-2$,.=（36-6「线性相关，则a=

『1

*-2、

0

—3^—

0

=:

3

厂1」

乙

已知5

则向量=

x11

f（x）=-111中，x的一次项系数是.

101

已知A为3X3矩阵，且A=1，则2A=.

、工'‘12、斗

设A=，贝UA=.

<25丿

用一初等矩阵右乘矩阵C,等价于对C施行.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

广111、

设矩阵A=121的秩为2,贝U九=.

03人+1』

向量组：

1,：

2,…,〉可由向量组：

1,2…，：

s线性表示且「1,〉2,…,〉线性无

关,则rs.（填空乙＜,＞）

如果线性方程组Ax=b有解则必有r（A）r（代b）.

1

已知A是三阶方阵，A=2,则（2A）=

2111

的值为

行列式

222

二次型fx1,x2,x3=x14x2x3-4X]X2-4x2x3-4X]X3对应的矩阵为

当a=时，1,0,0,1T与a,1,5,3T的内积为5.

若-1/'2线性无关，而冷,〉2,〉3线性相关，则向量组：

1,22,33的极大线性

无关组为

若丸=3是方阵A的一个特征值，则A3必有一个特征值为.

'aa1

设A=a1a，则当a满足条件时，A可逆；当a=_时，r（A）=2.

Jaa」

44.在山3中，向量：

一2,3,4T在基d=1,0,0T,边二0,1,0丁,；3=0,0,1T下的

坐标为

设4阶方阵A的4个特征值为3,1,1,2,则A二

x-i2x23x3x4=0

齐次线性方程组2X1-X2*X3-3x40的基础解系是

x〔■'X31X4=0

已知向量a=（1,3,2,4）t与B=（k,—1,—3,2k）T正交，贝Uk=.

*11］亠=

卫J=.

设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值

为.

如果口1,0（2都是齐次线性方程组An：

xnX=O的解，且。

1式口2，则Anxn-.

向量组〉1h|1,0,0T,=1-1,3,0T,=11,2,-1T线性（填相关或无关）

设'1和'2是3阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，1二1,1,3T和

贝UA12A22A32A42

“2=（4,5,aT依次是A的属于特征值妬和人2的特征向量，则实数a=.

a11

a12

a13

-2a11

-2a12

_2a13

如果行列式

a21

322

323

=2，则

-2a21

-2a22

-2a23

a31

a32

a33

—2a31

—2a32

_2a33

13-12

2

12,且有ABC=E,则AJ=

l34丿

已知3阶方阵A的二个特征值为人，人2,几3，若A=36,人=2,几2=3,则

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

设A,B均为5阶矩阵，A=丄，B=2，则—BTA」=.

2

设〉=（1,—2,1）t,设A=T，贝UA6=.

设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，若•是矩阵A的一个特征值，则A*的一

个特征值可表示为.

设向量〉=（2,1,3,2）丁「：

=（1,2,-2,1）T，则〉与'■的夹角-_—

若3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3,则A+E

非齐次线性方程组AmnX^b有唯一解的充要条件是

设A为86的矩阵，已知它的秩为4,则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为.

*100、设A为三阶可逆阵，210，则A=.

<32b

若A为mn矩阵,则齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件

是

1

2

3

4

5

3

0

4

1

2

已知行列式D=

1

1

1

1

1

，贝UA41+A42+A43+A44+A45

1

1

0

2

3

5

4

3

2

1

若^=（1,k,1T与B=（1-2,1正交，则k=.

<92536丿

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

、几1—11）（123）nt[

设A=,B=.则A+2B=.

j1j丿日_24丿

设向量2,—3,5与向量-4,6,a线性相关，则a=.

设A是3X4矩阵，其秩为3,若1,2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.

设A是mn矩阵，A的秩为r（：

：

：

n），则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为.

设向量亠:

的模依次为2和3，则向量、；1：

与、—I，的内积

设3阶矩阵A的行列式A=8，已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值

为

的特征值为

若4阶矩阵A的行列式|A=-5，A是A的伴随矩阵，贝UA=

A为nn阶矩阵，且A2-A-2E=0，贝U（A-2E）_1

设三阶方阵A的行列式A=2,A为其伴随矩阵，则A

-4*

3A—4A

r_100'

83.三阶方阵A与对角阵人=090相似,则A=

<002丿

84.设A,B均为n阶矩阵，且B为可逆矩阵，若AB二B,则A二.

85.当k时，向量组宀二12-3,〉2二-2,_3,6,〉3二3,5,k线性无关.

86.设A,B均为n阶矩阵,A2-B2=（AB）（A-B）成立的充分必要条件是_

87.已知A33的特征值为1,2，5，B=A-3E，则B的特征值是

B=.

88.矩阵的不同特征值对应的特征向量必.

89.已知n阶矩阵A各行元素之和为0,则A.

i'5101

90.已知A=410，则A"1=.

e04丿

二、单项选择题

1.设A是n阶方阵，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则A（）.

A）必为0B）必不为0C）必为1D）可取任何值

2.已知矩阵满足A2=3A，则A的特征值是（）.

A）入=1B）入=0C）入=3或入=0D）入=3和入=0

3.假设A,B,C都为n阶方阵，下列等式不一定成立的是（）.

A）AB=BAB）AB=BAC）ABC=ABCD）2AB=2AB

4.如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组（）.

6.下列各式中（）的值为0.

A）行列式D中有两列对应元素之和为0B）D中对角线上元素全为0

C）D中有两行含有相同的公因子

D）D中有一行元素与另一行元素对应成比例

7.矩阵A可逆，且AB=0，贝9（

）.

C）矩阵B=I

D）B无法确定

A）矩阵B=0

B）矩阵B=O

8.向量组冷二1,1,1,

一：

：

2=0,2,5\,S

二1,3,6是（

）.

A）线性相关B）

线性无关C）

:

-r亠2亠"：

：

3=°

D）2=”亠很2亠很3=0

9.若A为三阶方阵，且A+2E|=0,2A+E=0,3A—4E=0,贝UA=（）

A）8B）-8

C）

4

D）--

3

3

10.设A为n阶矩阵，如果rA二n

-1,

则齐次线性方程组

Ax二0的基础解系所

含向量的个数是（）.

A）0B）1

C

）2D

）n

11.设A，B为n阶方阵，满足等式

AB

-0，则必有（

）.

A）A=0或B=0B）A+B=0C）A=0或B=0D）A+B=0

12.A和B均为n阶矩阵，且（AB）2二A2ABB2，则必有（）.

A）A=EB）B=EC）A=BD）AB二BA

13.关于正交矩阵的性质，叙述错误的是（）.

A）若A是正交矩阵，则AJ也是正交矩阵

B）若A和B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵

C）若A和B都是正交矩阵，则A-B也是正交矩阵

D）若A是正交矩阵，则A=1或-1

14.设A为mn矩阵，齐次方程组Ax=0仅有零解的充要条件是（）.

A）A的列向量线性无关

B）

A的列向量线性相关

C）A的行向量线性无关

D）

A的行向量线性相关

n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是（

）.

A）A的秩小于n

B）

A=0

1

则AJ等于（

17.设矩阵A=0

0

$

0

0^

1

0

0^

4

0

0、

0

0"

A）

0

1

2

0

B）

0

1

2

0

C）

0

1

0

D）

0

1

0

1°

0

b

1°

0

1

3丿

1°

0

1

T丿

1°

0

b

18.对于一个给定向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（

）•

D）极大线性无关组一定是唯一的

）-2

A）-6

20.设A是方阵，如有矩阵关系式AB二AC，贝U必有（

B）B=C时A=0

C）A=0时B=C

D）A=0时B=C

21.已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A）等于（）.

A）1B）2C）3D）4

22.设两个向量组和ij,川，〈均线性相关，则（）.

A）有不全为0的数\,，2」山’s，使’1〉1•'2〉2V's〉s=0和

B）有不全为0的数‘1,‘2,川，’s，使‘1（〉1「1）•‘2（〉2」）71（•'sCs：

s）=0

C）有不全为0的数‘1,‘2,川，’s，使‘1（〉1」1）‘2（〉2-：

2）川’s（：

s一：

s）=0

D）有不全为0的数'1,'2,川Js和不全为0的数%鮎川匕,使

27.设A是一个n（_3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）.

A）如存在数入和向量二使A-、「，则二是A的属于特征值入的特征向量

B）如存在数入和非零向量［，使（■E-A）」-0,则入是A的特征值

C）A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D）女如'1,匕，‘3是A的3个互不相同的特征值，W3依次是A的属于'1/2,'3的特征向

量，则〉1,〉2,〉3有可能线性相关

28.设A,B为n阶矩阵，且A,B相似，贝U（）.

A）'E-A「E-BB）A,B有相同的特征值和特征向量

C）A与B都相似于一个对角矩阵D）对任意常数t,tE-A与tE-B相似

29.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，

则必有（）.

A）k乞3B）k3C）k=3D）k3

2

A）A必为1

B）

A必为1

C）A」二At

D）

A的行（列）向量组是正交单位向量组

31.要断言矩阵A的秩为r，

只须条件（

）满足即可.

A）A中有r阶子式不为0;

B）

A中任何r1阶子式为0

C）A中不为0的子式的阶数小于等于r

D）A中不为0的子式的最高阶数等于r

33.n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是（）.

A）矩阵A有n个线性无关的特征向量B）矩阵A有n个特征值

C）矩阵A的行列式A=0D）矩阵A的特征方程没有重根

34.若1,2为非齐次线性方程组Ax二1的解，则（）仍必为Ax二1的解.

A）「2B）ci-2*iC）i-2D）ci（c为任意常数）

35.向量组：

-i/-2/\：

r线性相关且秩为s，则（）

A）r=sB）r辽sC）s三rD）s：

：

r

36.

设向量组A能由向量组B线性表示，则（）.

37.

二次型f（xi,X2,X3）=（x!

X2）2的矩阵为（）

38.设阶矩阵A的行列式等于D，则（kA）”等于（）.

A）kAB）knAC）kn，AD）A

39.设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是（）.

A）AB二AC贝UB二CB）AB=0,则A=0或B=0

■x-ix2x3=0

40.若齐次线性方程组x1...x2x3=0有非零解,贝U■=（）

x-ix2，x3=0

A）1或2B）—1或—2C）1或—2D）—1或2.

41.已知4阶矩阵A的第三列的元素依次为1,3,-2,2，它们的余子式的值分别为

3,21,1，则A二（）.

A）5B）-5C）-3D）3

42.

设A,B均为n阶矩阵，下列运算规则正确的是（）

C）AB二BAD）ABA-B二A2-B2

43.设A、B均为n阶矩阵，满足AB=O，贝U必有（）.

A）A+|B|=0B）r（A）r（B）

C）A=O或B=OD）A=0或B=0

44.设「，：

2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则下列向量中仍为该方程

组解的是（）.

C）

1

A）—B）一（3：

12j）

5

45.

下列矩阵为正交矩阵的是（

方程组的解.

A）「2B）1T-2C）1-2D）c1（c为任意常数）

49.设A是sn矩阵，则齐次线性方程组Ax=O有非零解的充分必要条

件是（）.

A）A的行向量组线性无关B）A的列向量组线性无关

C）A的行向量组线性相关D）A的列向量组线性相关

50.设向量宀二3,0,-2J-二2,-1,-5T,，1,-2,kT，则k=（）时，一：

才能由「仆「2线性表示.

A）一2B）-4C）-6D）-8

51.对于一个向量组的极大线性无关组的描述，错误的是（）.

A）含非零向量的向量组一定存在极大线性无关组

B）—个向量组的极大线性无关组和这个向量组等价

C）若一个向量组线性无关，则其极大线性无关组就是向量组本身

D）极大线性无关组一定是唯一的

52.若xi是方程Ax=b的解，X2是方程Ax=0的解，则（）是方程Ax=b的

解（cR）

A）x-icx2B）cx2C）一cx2D）x2

53.n维向量组一:

刁，二2,…，二m线性无关的充分必要条件为（）.

A）〉1,〉2,…，〉m均不为零向量B）〉1,〉2「，〉m中任意两个不成比例

C）〉1,〉2,…，〉m中任意一个向量均不能由其余m-1个向量线性表示；

D）以上均不对.

54.设矩阵A的秩为r，则A中

（

）.

A）所有r-1阶子式都不为0

B）

所有r-1阶子式全为0

C）至少有一个r阶子式不等于

0

D）

所有r阶子式都不为0

55.设n阶方阵A是奇异阵，则

A

中（）.

A）必有一列元素为0

B

必有两列元素对应成比例

C）必有一列向量是其余列向量的线性组合

D）任意一列向量是其余列向量的线性组合

56.若n阶矩阵A的秩为n-3（n—4）,则A的伴随矩阵A*的秩为（）.

A）AB二BAB）AB=0,贝UA=0或B=0

C）（A-B）（AB）二A2-B2D）AC=BC且C可逆，则A=B

61.设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）.

A）AH0B）A」式0C）r（A）=nD）A的行向量组线性相关

62.向量组：

‘，〉2」1（,：

\的秩为r,则下述说法不正确的是（）

A）〉1,〉2」l（,〉s中至少有一个r个向量的部分组线性无关

B）〉1,〉2」l（」s中任何r个向量的线性无关部分组与〉1,〉2,川，：

丄可互相线性表示

C）〉1」2」l（」s中r个向量的部分组皆线性无关

D）〉1」2」l（」s中任意r+1个向量的部分组皆线性相关

63.向量组：

仆诂川宀线性无关的充要条件是（）.

A）向量组中不含0向量B）向量组的秩等于它所含向量的个数

C）向量组中任意r-1个向量无关

D）向量组中存在一个向量，它不能由其余向量表出

64.向量组可由冷，：

2川宀线性表出，且线性无关，则s与t的关系为（）.

A）s=tB）stC）s：

：

tD）s_t

65.若两个向量组等价，则这两个向量组具有性质（）.

C）向量都相同

A）秩相等B）极大无关组中向量相同

）向量个数相等

66.

如果一个线性方程组有解，则只有唯一解的充要条件是它的导出组（）.

68.已知A=A,则A的特征值是（

70.设A,B均为n阶矩阵,满足AB=0,

有（）

77.设A为4阶矩阵且A—2，贝AA=（）.

55

A）4B）2C）-2D）8

78.设A,B为n阶矩阵，A丰O且AB=0AB=q则（）.

79.

A）B=0B）

A）1

B）2

C）3D）4

24”

81.设A=

x2

，且A的特征值为1,2,

3,则x=（

）

<0

01」

A）3

B）4

C）

-1D）5

82.下列矩阵为初等矩阵的是（）

0

0

1、

q

0

0、

■'-1

0、

「1

0

0X

A）

0

1

0

B

）

0

0

-1

C）

0

0

D）

0

3

0

<2

0

0>

<0

1

0」

<0

b

<0

0

1」

83.设mn矩阵A的秩为r,P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则矩阵PAQ

的秩为（）.

A）rB）r1C）mD）n

84.设A与B分别代表一非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若方程组无解，则（）.

A）r（A）=r（B）

B）

r（A）2二r（B）

C）r（A）r（B）

D）

r（A）1=r（B）

=（1,0,0）的秩为（

85.向量组、纠=（0,0,1）,2=（0,1,1）,用3=（1,1,1）,用4

A）1

B）

C）3

D）4

86.已知

0

1

—I

3

，则

'12'

*93"

*6-5、

©9、

A）

B）

C）

D）

<93」

02；

<90」

<60」

£1丿

1

则有（

成立.

r，

87.设n阶矩阵A的秩为

B）

A=0

C）

D）

88.向量组.,：

■

:

s线性无关的充要条件是

A）s0

C）s1

B）它有一个部分向量组线性无关

D）

它的所有部分向量组线性无关