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成考高等数学二重点及解析
成考专升本高等数学
(二)重点知识及解析(占130分左右)第一章、函数、极限和连续(22分左右)
第一节、函数(不单独考,了解即可)
一、复合函数:
要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
例如:
yInsin2x是由yInu,uv2和vsinx这三个简单函数复合而
成•
例如:
yarctane3x是由yarctanu,uev和v3x这三个简单函数复合
而成.
该部分是后面求导的关键!
二、基本初等函数:
(1)
常值函数:
y
c
(2)幕函数:
yx
(3)指数函数:
yax(a>
0,且a
1)
(4)
对数函数:
y
logax(a>0,且a1)
(5)
三角函数:
y
sinx,ycosx,y
tanx,ycotx,ysecx,
ycscx
(6)反三角函数:
yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx其中:
(正割函数)(余割函数)
cosxsinx
三、初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算,并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
他是高等数学的主要研究对象!
第二节、无穷小与无穷大(有时选择题会单独考到,也是后面求极限的基础)
一、无穷小
1、定义:
以0为极限的量称为无穷小量。
注意:
(1)一个变量否是无穷小量与他的自变量的变化趋势紧密相关。
(2)只有0能能作为无穷小的唯一常量,千万不能将无穷小与很小的常量混为一谈。
例1:
|极限limx210,即当x1时,变量x21是无穷小;
但是当x0时,x21就不是无穷小,因为此时他的极限值不为零。
所以表述无穷小时必须指明自变量的变化趋势。
例2:
|下例变量在给定的变化过程中为无穷小的是().
1
A
.1(sin—(x
0)B、ex(x
0)C、ln1
2x3
x2(x0)D2x3
x
x9
E、
1cosx(x
0)F、2x
1(x0)G
12(x1)HSinx(x0)
x1x
答案:
选C、
E、F、H,
因为上述选项
页的极限值均为零!
二、
无穷大
1、
定义:
当
xX。
(或
x)时,
f(x)无限地增大或无限减小,则
称f(x)是当xx(或x)的无穷大。
注意:
(1)无穷大是变量,不能与很大的常量混为一谈。
(2)无限增大是正无穷大(),无限减小是负无穷大()
三、无穷小和无穷大的关系:
若f(x)为无穷大,则1为无穷小;若f(x)
f(x)为无穷小(f(x)0),则丄为无穷大
f(x)
例如:
|当x2时,x24为无穷小,则亠为无穷大。
x4
当x时,2x1为无穷大,则丄为无穷小。
2x1
第三节、极限的运算方法(重中之重!
选择、填空和解答题都会考到)
、直接代入法:
对于一般的极限式(即非未
定式),只要将X。
代入到函数表达式中,函数值即是极限值。
注意:
(1)常数极限等于他本身,与自变量的变化趋势无关.即
limCC,C为任意常数
xXo
(2)求极限时首先考虑用代入法,但是该方法只能针对
数!
断出。
2、四则运算中常见的几个未定式和确定式
(1)000,000,0?
00,0为未定式
0
(2)为未定式,为未定式,
,—为未定式
数,也可能是无穷大。
注意:
■确定,式是指极限值是确定的一个值,不用通过计算就可以推
上述和下述的0都代表无穷小,即极限值为零的量
3、几个重要未定式的计算方法
(1)对于0未定式:
分子、分母提取公因式,然后消去公因式后,将
0
Xo代入后函数值即是极限值。
(对于分子、分母有根号的特殊情况,
要先消去根号,然后提取公因式)
(2)对于—未定式:
分子、分母同时除以未知量的最高次幕,然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。
(3)对于未定式:
先通分将转化成-或一的形式,然后再
0
用上述0或-的计算方法进行计算。
0
例1:
计算limX222x1.9未定式,提取公因式
X1X210
2
解:
原式=lim—=limx1=-0
x1x1x1x1x12
13Qc
例刃十算x“2汽.……0未定式’提取公因式
例石计算ximiH迸………一未定式,分子分母同除以x3
是0分母是2
注意常用的几个代数转换公式:
a2b2
的替换)
再将原极限式中的变量x用新变量t的进行代换,然后转化为公式的形式,最后进行计算。
注意:
由于换元时引入了新变量,要求出新变量的变化趋势。
I11
例1:
计算lim13xx.1未定式,先换元然后用公式求解
x0
解:
令t3x,得x-,即13将复杂的变量3x换元成新
3xt
变量t
313
所以原式=lim1tt=iim1tt=e3……转换成新变量的极限式后t0t0
再用公式求
1X1一
例2:
计算lim1一1未定式,先换兀然后用公式求解
x2x
解:
令t—,得x丄,即x1丄1先换元
2x2t2t
当x时,t0求出新变量的变化趋势
1
、1111-21
所以原式=lim1t2t=lim1t2t?
lim(1t)1=lim1tt?
1=e2
t0t0t0t0
四、利用等价无穷小的代换求极限(重点、每年必考一题!
)
1、等价无穷小的定义:
设和是同一变化过程中的两个无穷小,即limlim0
如果lim—=1,称与是等价无穷小,记作~.
例1:
由公式可知极限limsinx=1,所以当x0时,sinx与x是等价x0x
无穷小.
例2:
当x0时,函数f(x)与tanx是等价无穷小,则limf(x)二丄.
x02tanx2
2、用等价无穷小的代换求极限
(1)定理:
设、’、、'均为无穷小,又〜',〜',且
lim—存在
I
I
则lim—=lim—或lim?
lim'?
'
I
注意:
利用等价无穷小的代换求极限能起到简化运算的作用,但是等价无穷小的代换只能对分子、分母的乘除因子进行代换,不能对分子、分母的加减式子进行代换。
(2)常用的等价无穷小代换(7个):
当x0时,1cosx〜丄x2,
2
ln(1x)〜x,
ex1~x,sinx〜x,tanx〜x,arcsinx〜x,arctanx〜x,,
注意:
这7个等价无穷小务必熟记,是我们做一些极限题目的必备
“工具”。
在使用时要注意这7个等价无穷小的代换前提是x
时候,代换时也要根据题意要灵活运用!
例1:
当x0时,sin2x〜2x,tan(3x)〜3x,arcsin(x)〜
x,arctan4x2〜4x2,
1225x
cosx1〜-x,1cos2x〜2x,ln(12x)〜2x,e1〜5x
例2:
极限limsin2x=lim=lim—=—sin2x用2x等价代换
x05xx05xx055极限limtan3x=lim3x=lim33tan3x用3x等价代换
x0xx0xx0例3:
计算lim1cos2x.
x0x?
sinx
解:
当x0时,1cos2x〜2x2,sinx〜x等价代换
2
所以原式=lim2笃Tim2=2计算
x0xx0
例4:
计算limln(13x).
x0sin2x
解:
当x0时,ln(13x)〜3x,sin2x〜2x等价代换
所以原式=lim虫*=lim虫3计算
x02xx022
例5:
计算lim"x1」.
x0tan2x
解:
当x0时,tan2x〜2x等价代换
lim=丄先去根号,再计算
x02.x114
第四节、函数的连续性(每年考一题,都以选择或填空形式出现)
一、函数的连续性(往往考已知函数在某点沧处连续,求一个未知量常数)
1、函数在点x0处的连续
定义:
设函数f(x)在X0的某范围内有定义,如果函数f(x)满足
limf(x)f(Xo),则称f(x)在点xo处连续
Xx0
2、函数在点x0处连续的充要条件limf(x)limf(x)f(x0)
xxoxxo
即函数在xo既满足左连续又满足右连续(左连续对应左极限,右
连续对应右极限)
例1:
设函数f(齐二在x0处连续,求k.(分段函数)
解:
因为函数f(x)在x0处连续,即满足limf(x)f(0)
x0
因为叽仙=犯'巳诃:
啟守叫”、代3)=;且f(0)=k,所以k=-.
6
ke2x,xV0
例2:
设函数fJx)二在x0处连续,求k.(分段函数)
1cosx,x0
解:
因为函数f(x)在x0处连续,limf(x)limf(x)f(0)
x0x0
因为limf(x)=limke2xk,limf(x)=lim(1cosx)2,且f(0)=2
x0x0x0x0
所以k2.
沁,xV0
x
例3:
|设函数fjx)二在x0处连续,求a.
2
3x2xa,x0解:
因为函数f(x)在x0处连续,limf(x)limf(x)f(0)
x0x0
=2,limf(x)=lim(3x22xa)a
xx0x0
因为limf(x)=limSin2x=lim2x
x0x0xx0
且f(0)=a,所以a2
注:
以上三题均为分段函数,由于数学编辑器问题,大括号打不出
来,请同学们自己填加!
第二章、一元函数微分学(45分左右)
第一节、导数与微分
一、导数的概念(知道导数的符号如何表示即可)
1、导数的表示符号
(1)函数f(x)在点X。
处的导数记作:
f(X0),y|,巴或业2|
yixq,dxxx^dx1xx°
(2)函数f(x)在区间(a,b)内的导数记作:
f'(x),y',dy或dfd(x)
dxdx
二、求导公式(重点,是解题的关键,必须记住!
)
(1)
(c)0(C为常数)
(2)(x)x
1
(3)
(ax)'axlna,(ex)'ex(4)(logaX)'
1
xlna'
1
(lnx)
x
(5)
(sinx)cosx(6)(cosx)sinx
(7)
(tanx)'sec2x—(8)(cotx)'cosx
2cscx
1
・2sinx
(9)
(arcsinx)'”1(10)(arccosx)'
v1x2
1
&~x2
(11)
(arctanx)2(12)(ar
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