福建省考之几何最值专题.docx
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福建省考之几何最值专题
几何最值
【原理分析】
常见四种几何最值原理分析:
一.两点之间,线段最短。
B
B
BA
A
A
P l
P P′ l
lA′
二.点到直线的距离,垂线段最短。
P
ABCDl
三.两边之差小于第三边。
(线段差最大)
BB
AA
lPl
四.圆外一点与圆上的点最大、最小距离:
A′
B
A
P P′ l
P
A
O
P
B A
O
P
A
O
C
B
B
【题型举例】
例 1. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,P 是 AC 上一动点。
连结 BD,由正方形对称性可知,B
与 D 关于直线 AC 对称,求 PB+PE 的最小值.
B
E
A
P C
D
变式训练:
1.如图,已知正方形 ABCD 的边长是 8,点 E 在 BC 边上,且 CE=2,点 P 是对角线 BD 上的一个动点,求 PE+
PC 的最小值。
AD
P
B
E C
2.一次函数 y=kx+b 的图象与 x、y 轴分别交于点 A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O 为坐标原点,设 OA、AB 的中点分别为 C、D,P 为 OB 上一动点,求 PC+PD 的最小值,并求取得最小
值时 P 点坐标.
y
B
D
P
OCAx
例 2. 如图,AB=AC=5,BC=6,点 P 是线段 BC 上的一个动点,求 AP 的最小值。
A
55
B
P 6 C
例 3.在
POQ 中,OP=OQ=4.M 是 PQ 中点,把一把三角尺的直角顶点放在点 M 处,以 M 为旋转中心.旋
转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点 A、B。
(1)求证:
MA=MB;
(2)连接
.探究:
在旋转三角尺的过程中. AOB 的周长是否存在最小值.若存在,求出最小值;若不存
在,请说明理由.
P
M
A
OBQ
例 4.如图,△ ABC 中, ∠ BAC = 60 ︒ , ∠ ABC = 45 ︒ ,AB= 22 ,D 是线段 BC 上的一个动点,以 AD 为直
径画⊙O 分别交 AB,AC 于 E,F,连接 EF,则线段 EF 长度的最小值为。
A
O
E
B
F
D C
例 5.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,动点 P 满足 AP⊥BP,连接 PD,则 PD 的取值范围是。
A
D
P
BC
变式训练:
1.如图,在锐角△ ABC 中,AB= 4 2 ,∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D,M 和 N 分别是 AD,AB 上的
动点,则 BM+MN 的最小值是.
C
A
D
M
N B
2.如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠BAD=60°,点 E、F、P 分别是 AB、BC、AC 上的动点,则 PE+PF 的最小值
为。
DC
PF
A
E B
3.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠A=60°,M 是 AD 边的中点,N 是 AB 边上的一动点,将△AMN 沿 MN
所在直线翻折得到△A′MN,连接 A′C,则 A′C 长度的最小值是。
DC
M
A'
A
N B
例 5.如图,∠AOB=45°,P 是∠AOB 内一点,PO=10,Q、R 分别是 OA、OB 上的动点,求△PQR 周长的最小值.
B
P
R
O
Q A
例 6 如图,以矩形 OABC 的顶点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OC 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标
系.已知 OA=3,OC=2,点 E 是 AB 的中点,在 OA 上取一点 D
BDA 沿 BD 翻折,使点 A 落在 BC 边上
的点 F 处.
(1)直接写出点 E、F 的坐标;
(2)在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N,使得四边形 MNFE 的周长最小?
如果存在,求出周长的最小值;如
果不存在,请说明理由.
y
CFB
E
ODAx
例 7.如图,河流两旁分别有村镇 A、B,现要在河流上架设一座浮桥 MN(横跨),怎样架设才能使由 A 到 B 的路
线最短,作图解释说明。
若 A 到河边距离为 1km,B 到河边距离为 3km,河宽 2km,A、B 两点距离为 10km,
则最短路程为km。
A
B
例 8.在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,OA = 3 ,
OB = 4 ,D 为边 OB 的中点.
(1)若 E 为边 OA 上的一个动点,当△ CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标;
(2)若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点,且 EF = 2 ,当四边形 CDEF 的周长最小时,求点 E 、 F 的坐标.
y
BC
D
OEAx
y
B C
D
O A x
【综合运用】
例 1.已知,如图,二次函数 y = ax2 + 2ax - 3a (a≠0)图像的顶点为 H,与 x 轴交于 A、B 两点(B 在 A 点右侧),
点 H、B 关于直线 l:
y =3 x + 3 对称。
3
(1)求 A、B 两点坐标,并证明点 A 在直线 l 上;
(2)求二次函数解析式;
(3)过点 B 作直线 BK∥AH 交直线 l 于 K 点,M、N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点,连接 HN、NM、
MK,求 HN+NM+MK 的最小值。
yy
H
l H
l
K
K
AOBxAOBx
备用图
例 2.P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点,求 PA+PB+PC 的最小值.
AD
A D
P
BC
AD
B C
备用图
BC
备用图
例 3.已知:
平面直角坐标系中,点 M 的坐标为(x1, 1), 点的坐标为(x2, 2),则线段 MN =
( x - x )2 + ( y - y )2 ,
1 2 1 2
这称为点与点的距离公式.
(1)点(1,-2)与点(-2,2)的距离为.
(2)在平面直接坐标系中,已知点 A(0,1),D(3,5),以 AD 为边作如图所示的正方形 ABCD,顶点在原点
的抛物线恰好过点 B,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E.求抛物线的解析式.
(3)在
(2)的条件下,若点 P 为抛物线上一动点,则请探究:
①点 P 到点 A 的距离与到 x 轴的距离有何关系?
②当点 P 位于何处时,△APD 的周长有最小值,并求出△APD 周长的最小值.
y
CC
y
D
P
D P
B
B
A
A
EOxEO
x
【总结归纳】
线段(和、差)最值问题属于动态几何模型的一种,关键之处在于转化为两点之间线段最短或者点到直线的
距离,垂线段最短,特别要注意的是,可能是两线段之和,也可能是三条线段之和。
遇到此类较难问题,无法马
上解决时,解题的入手点可以假设满足最短条件后,再分析图形上有什么特征,由图形的特征去确定使得线段(和、
差)最短的动点的位置,再来求相应的值。
【课后巩固】
1.如图 1,在菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,M 是 AB 的中点,P 是对角线 AC 上的一个动点,若 PM+PB 最小值
是 3,则 AB 长为.
A
D
C
AP
M
C O B
B
图 1图 2
2. 如图 2,⊙O 的半径为 2,点 A、B、C 在⊙O 上,OA⊥OB,∠AOC=60°,P 是 OB 上一动点,求 PA+PC 的最
小值是;
3. 如图,村庄 A、B 位于河岸彼此平行的两条小河的两侧,今要在两条河上各架设一座与河岸垂直的桥,问要使
从 A 到 B 路程最近,应怎样选择桥址?
A
l
1
l2
l3
l4
B
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- 福建省 几何 专题