线性代数黄廷祝答案.docx

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线性代数黄廷祝答案

线性代数黄廷祝答案

【篇一：

数学_简单三对角矩阵矩阵行列式的基本探究】

s=txt>张云鹏（2014070904021）

指导教师：

李厚彪

【摘要】三对角矩阵的行列式的计算在行列式的计算中占据特殊地位,由于三对角矩阵具有明显的规律性但其行列式运算又有一定的难度经常成为出题的热点，本篇小论文给简单三角矩阵行列式运算做出基本解法，并通过三对角矩阵得到一组cos（nx）与sin（nx）的简明展开公式。

【关键词】三对角矩阵;矩阵;数列递推;三角函数;斐波那契数列

1.引言

在进行行列式计算之前我们先探究一下斐波那契数列通项公式的计算方法。

例1、现已知斐波那契数列满足如下关系：

f0?

1,f,fn?

1?

fn?

fn?

1,?

n?

1?

，试求其1?

1通项公式。

易知对于1、2项为任意值但满足解：

空间八条条件。

则存在满足恒成立。

则任意鉴于

fn?

1?

fn?

fn?

1,?

n?

1?

的数列的加法与数乘满足线性

fn?

1?

fn?

fn?

1,?

n?

1?

的两个数列

a?

kbn;（k≠0）不?

an?

、?

bn?

。

他们的任意n

?

cn?

中的任意一项cn?

k1an?

k2bn使恒成立。

的递推形式，我们不妨设数列

n

n

fn?

1?

fn?

fn?

1,?

n?

1?

?

an?

、?

bn?

为两组几何级数，其

a?

?

q1?

b?

?

q2?

qq公比分别为1、2；且n、n

根据

fn?

1?

fn?

fn?

1,?

n?

1?

nn-1n-22

q=q+qq可列方程，化简可知-q-1=0。

又因为f0?

1,f1?

1，可求得k1?

k2?

n

n

?

1+5?

?

1-5?

1?

5

?

，bn=?

?

。

则an=?

经计算可知q=2?

2?

?

2?

，?

?

?

?

又因为f0?

1,f1?

1，可求得k1?

k2?

nn?

?

?

11?

?

?

则斐波那契数列的表示为fn?

?

?

?

?

?

2?

?

2?

?

?

我们简化上述求法为特征方程法。

并可以广泛运用在三对角矩阵矩阵行列式的计算中。

2.简单三对角矩阵行列式的特征方程

行列式的计算说到底是一种值的计算，对于简单三对角矩阵更可以理解为一种数列?

an?

的通项公式计算。

那么我们计算简单的三对角矩阵的行列式时，可以先按特定的行列展开得到一种递推公式，然后根据递推公式进行计算，得出数列?

an?

的通项公式。

其常用方法与斐波那契数列的求法相似。

750?

00275?

00

例2、计算an=

027?

00?

?

?

?

?

?

000?

75000?

27

解：

设an=an

。

从最后一行展开

an

，可知

an=?

?

1?

n+n

7an-1?

?

?

1?

n+n-1

20

an-2?

0?

005

继续展开可知

an=7an-1?

10an-2。

an=7an-1?

10an-2

的两个等比数列

此时我们可以根据导论中的解法设出满足

bn?

?

q1?

n

、

cn?

?

q2?

n

。

可列方程

q2-7q+10=0

，并可解的

q1=2;q2=5。

52nn

a=5）?

2）。

a=7;a=39。

n12又根据可知33

附注：

《线性代数与空间解析几何学习指导》的36页给出了本题另外一种解法。

但该种运算具有一定的局限性：

其特征方程必有两个不等根（对实根不做要求）。

此要求一旦不满足，就无法构成线性空间进行运算。

210?

00121?

00

例3、计算

an=

012?

00?

?

?

?

?

?

。

000?

21000?

12

解：

设an=an

。

从最后一行展开

an

，可知

an=?

?

1?

n+n

2an-1?

?

?

1?

n+n-1

an-20

?

0?

001

继续展开可知可列方程

an=2an-1-an-2。

，并可解的

q2-2q+1=0

q1=q2=1

此时无法解出

?

an?

的通项公式。

可见此时特征方程的解法是失效的。

我们改写

an=2an-1-an-2

为

an-an-1=an-1-an-2

。

之后就可以轻松得到

an=n+1。

综上所述：

简单三角矩阵的行列式的解可利用特征方程得到，特征方程失效的场合可以根据递推关系轻松推得通项公式。

g

（1）f

（1）

【小猜想：

h

（1）g

（2）?

00

0?

000?

g（n-1）f（n?

1）

000?

h（n?

1）g（n）

也可以通过特征方程解出。

】

h

（2）?

?

00

?

?

?

an=

0?

00

f

（2）g（3）?

3.三角函数的n次展开。

关于三对角矩阵的行列式的证明题又颇为经典的一道。

cosx1

例4、证明

12cosx1?

00

01?

00

?

?

?

?

000?

1

000?

12cosx

。

cosnx=an=

0?

00

2cosx?

?

2cosx

解：

设an=an

。

从最后一行展开

an

，可知

an=2cosxan-1?

?

?

1?

n+n-1

an-20

?

?

001

继续展开可知

an=2cosxan-1-an-2。

接下来的证明可由数学归纳法与三角恒等变形求得，此处略。

（详见《线性代数与空间解析几何学习指导》48页）

cosx1

接下来我们把

12cosx1?

00

01?

00

?

?

?

?

000?

1

000?

12cosx

视作已知探究

cosnx=an=

0?

00

2cosx?

?

2cosx

cos（nx）的展开式。

2

a=2cosxa-aq-2cosxq+1=0。

nn-1n-2由已得到的递推公式，可列方程

q=cosx?

解得

，即

n

q=cosx?

sinxi

n

。

经计算

?

cosx?

sinxi?

?

?

cosx-sinxi?

cosnx=

2

。

于是我们就得到了用复数表示的cosnx的展开式。

既然cosnx可展开，我们有足够的理由相信sinnx也可以以类似方式展开。

利用三角恒等变形我们可以得到以下结果：

sinnx=sin?

?

?

n-1?

x?

x?

?

=sin?

n-1?

xcosx?

cos?

n-1?

xsinx=sin?

n-1?

xcosx?

sinxcos?

?

?

n-2?

x?

x?

?

=sin?

n-1?

xcosx?

sinxcosxcos?

n-2?

x-sinxsinxsin?

n-2?

x

111

=sin?

n-1?

xcosx+sin2xcos?

n-2?

x+cos2xsin?

n-2?

x-sin?

n-2?

x

22211

=sin?

n-1?

xcosx+sinnx-sin?

n-2?

x

22

化简可得设

sinnx=2cosxsin?

n-1?

x?

sin?

n-2?

x。

an=sinnx，可得an=2cosxan-1-an-2。

n

n

i?

cosx?

sinxi?

?

i?

cosx-sinxi?

sinnx=最终计算结果为。

2

nn

?

i?

cosx?

sinxi?

?

i?

cosx-sinxi?

?

sinnx=?

2?

nn综上所述，我们可以得到。

cosx?

sinxi?

+?

cosx-sinxi?

?

?

cosnx=?

?

2

该表达式利用复数表达实数，并通过i的引入免去的cosnx的奇偶讨论，并使得任意角的三角函数值理论上可计算。

4.通过特征方程构造简单三对角矩阵行列式

谈完了简单三对角矩阵行列式的求解，我们接下来谈谈简单三角行列式的构造。

我们以构造简单三对角矩阵行列式设

sinnx=an为例。

an=sinnx，由（3）中论述可知an=2cosxan-1-an-2。

an-2

+00

00

?

0?

0?

k2

00?

k10

并将递推公式改写为

an=

an-10

0?

?

2cosx

。

其中

k1,k2应满足-k1k2=-1。

k1=k2=1。

我们不妨令

则

an=

an-1?

?

1。

12cosx

a=sinx，a2=又因为递推公式从第三项开始生效，可写出1

sinx0

则可知

sinx0

02cosx。

000?

12cosx

。

02cosx1?

00

01?

00

?

?

?

?

000?

1

sinnx=an=

0?

00

2cosx?

?

2cosx

由构成过程看，展开简单三对角矩阵行列式时最好从最后向上展开。

5.参考文献

[1]黄廷祝，成孝予.线性代数与空间解析几何[m].第三版.北京：

高等教育出版社，2007.

[2]黄廷祝，余时伟，线性代数与空间解析几何学习指导[m].北京：

高等教育出版社，2005.

【篇二：

矩阵的同时相似上三角化问题】

txt>张永伟（2011080010008）

数理基础科学班指导教师：

王也洲、何军华

【摘要】本文讨论了n阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。

【关键词】相似上三角化；特征向量；sylvester不等式

一．引言

文【1】告诉我们：

两个可交换的n阶矩阵a,b在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若a,b能相似对角化，那么a,b一定能同时相似对角化。

但是对于一般的n阶矩阵不一定能相似对角化。

我们又知道，任意方阵都可以和jordan矩阵相似，也就是说，任意n阶矩阵都能相似上三角化。

为此，我们有必要讨论n阶矩阵同时相似上三角化的问题。

二．正文

定义2.1：

对于n阶矩阵a，用rank（a）表示矩阵a的秩。

性质2.1：

若a,b能同时相似上三角化，那么a,b有公共的特征向量。

证明：

因为a,b可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵p，使得

?

a11?

0

p?

1ap?

?

?

?

?

?

0a12?

a1n?

?

b11b12

?

?

a22?

a2n?

0b22

且p?

1bp?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

0?

ann?

?

00?

b1n?

?

?

b2n?

。

?

?

?

?

?

bnn?

设p=（a1,a2,k,an），则a?

1?

a11?

1，b?

1?

b11?

1。

所以a,b有公共的特征向量?

1。

■

：

若a,b能同时相似上三角化，那么ab-ba为幂零矩阵。

证明：

由性质2.1的证明可知,

?

0c12?

?

00

ab?

ba?

?

?

?

?

?

00?

00?

?

c1n?

1?

c2n?

1?

?

?

?

00

c1n?

?

c2n?

?

?

。

?

cn?

1n?

0?

?

又因为

?

0c12?

?

00?

?

?

?

?

00?

00?

所以（ab-ba）

n-1

?

c1n?

1?

c2n?

1?

?

?

?

00

c1n?

?

c2n?

?

?

?

cn?

1n?

0?

?

n?

1

?

0，

=0，即ab-ba为幂零矩阵。

■

性质2.3：

设a,b为2阶矩阵，那么

（1）若ab?

ba为幂零矩阵，则rank?

ab?

ba?

?

1；

（2）rank?

ab?

ba?

?

1当且仅当a,b有公共的特征向量。

证明：

因为a?

0或b?

0时，结论显然成立，所以不妨假定a?

0,b?

0，当ab?

ba为幂零矩阵时，易知ab?

ba的特征值一定为0，于是存在可逆矩阵q使得

?

0c?

ab?

ba?

q?

1?

?

q，

00?

?

所以rank?

ab?

ba?

?

1。

又因为

?

b?

ab?

ba?

（ab）?

?

，

?

a?

?

当rank?

ab?

ba?

?

0时，有rank?

然?

是a,b的公共特征向量；

当rank?

ab?

ba?

?

1时，根据sylvester不等式，知

rank?

ab?

ba?

?

rank（ab）?

rank?

?

b?

?

b?

?

2，从而方程?

?

?

x?

0有非零解?

，显?

?

a?

?

?

a?

?

b?

?

?

2。

?

?

a?

?

b?

rnk若rank?

显然a,b有公共特征向量；若a?

?

2，

?

a?

?

?

b?

则arnk（）a1b?

，?

2?

?

，

?

a?

?

此时必有rank?

a?

?

1,rank?

b?

?

1，于是存在可逆矩阵t使得

?

a0?

?

0b?

t?

1at?

?

?

或?

?

，

0000?

?

?

?

其中a,b?

0。

设tbt?

?

?

1

?

0?

b11b12?

?

a0?

?

1

ab?

ba?

ttat?

，则当时，?

?

?

?

bb00?

?

?

?

ab21?

2122?

?

1

ab12?

?

1

?

t，0?

所以ab12?

0或ab21?

0，显然，此时a,b有公共特征向量；同理当tat?

?

?

0b?

?

时，00?

?

a,b也有公共特征向量。

以上我们证明了二阶矩阵a,b有公共特征向量是rank?

ab?

ba?

?

1的必要条件，接下来我们证明这个条件也是充分的。

不妨设?

是a,b的公共特征向量，将?

扩充为二维空间的一组基?

?

，令p?

（?

?

）,

?

1?

1

b?

bax显然pap,pbp为上三角矩阵。

当a,b有公共特征向量?

时，则?

a?

?

0有非

零解?

，所以rank?

ab?

ba?

?

1。

■

下面讨论更为一般的情形。

性质2.4：

假定a,b为n阶矩阵且n?

3，若rank?

ab?

ba?

?

1，则a,b有公共特征向量。

证明：

因为ab?

ba?

（ab）?

?

b?

?

，由sylvester不等式得到?

?

a?

?

b?

rank?

ab?

ba?

?

rank（ab）?

rank?

?

?

n。

?

a?

?

若rank?

?

b?

?

b?

?

ank，则有公共特征向量；若则有rank（ab）?

1，a,b?

?

?

?

n，?

?

a?

?

?

a?

?

b?

?

?

rank?

b?

?

rank?

a?

所以n?

2，此?

a?

?

于是rank?

a?

?

1,rank?

b?

?

1，又因为rank?

时与n?

3矛盾。

■

性质2.5：

满足条件rank?

ab?

ba?

?

1的任意n阶矩阵a,b可以同时上三角化。

证明：

由条件知矩阵a,b具有公共特征向量，不妨设?

1是a,b的公共特征向量，将其扩充为n维空间的一组基?

1,?

2,?

?

n；当n?

2时，由性质2.4知，a,b可以同时上三角化；假设当n=k-1时结论也成立，现在考虑n=k时的情况。

不妨设?

1是a,b的公共特征向量，同样将之扩充为k维空间的一组基?

1,?

2,?

?

k，令p?

?

?

1,?

2,?

?

k?

，则有

?

?

1

pap?

?

?

0

?

1?

?

?

?

1?

1

?

，pbp?

?

a1?

?

0?

?

?

。

b1?

b1?

?

a1，1所以

?

于是ab

?

?

0

b?

a?

p

?

0a1b?

1?

?

1

，p因为ran?

a1kb?

?

1

b1?

a1

rank?

ab?

ba?

?

1，由数学归纳法知a,b可以同时上三角化。

■

推论2.1：

假定rank?

ab?

ba?

?

k，那么当n?

2k时，a,b有公共特征向量。

性质2.6：

如果存在a,b?

r使得ab?

ba?

aa?

bb成立，则a,b可以同时上三角化。

证明：

因为ab?

ba?

aa?

bb?

（ab）?

论。

■

推论2.2：

若存在k?

r满足条件ab?

kba,则a,b可同时相似上三角化。

推论2.3：

若存在k?

r使得a?

b?

0成立，则a,b可同时相似上三角化。

k

k

?

b?

ai?

?

?

0,与前面证明类似，可以得出结

?

a?

bi?

?

三．总结

本文主要讨论了两个矩阵能同时相似上三角化的充分条件、必要条件、以及充要条件。

通过分析证明过程，我们还做出了进一步的推广。

这对将来解决类似问题带来很大的方便。

参考文献

【1】黄廷祝，成孝予，线性代数与空间解析几何,高等教育出版社，2008.【2】黄廷祝，何军华，李永彬，高等代数,高等教育出版社，2012.

【篇三：

2011线性代数与空间解析几何b大纲（商）】

ss=txt>linearalgebraandanalyticgeometryb

课程编码：

09101180学分：

3.5课程类别：

专业基础必修课

计划学时：

56其中讲课：

54实验或实践：

0上机：

2

适用专业：

经济、国贸、市场营销等商学类各专业

推荐教材：

于朝霞张苏梅苗丽安主编.线性代数与空间解析几何.高等教育出版社，北京，2009.参考书目：

1、郑宝东主编.线性代数与空间解析几何.高等教育出版社，北京，2008.

2、马柏林等主编.线性代数与解析几何.科学出版社，北京，2001.

3、黄廷祝，成孝予主编.线性代数与空间解析几何.高等教育出版社，北京，2008.

4、韩旭里主编.线性代数与空间解析几何.科学出版社，北京，2004.

5、龚冬保等主编.线性代数与空间解析几何要点与解题.西安交通大学出版社，西安，2006.

6、黄廷祝，余时伟主编.线性代数与空间解析几何学习指导教程.高等教育出版社，北京，2005.

课程的教学目的与任务

线性代数与空间解析几何是讨论代数学中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性与逻辑性，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。

由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，而某些非线性问题在一定条件下，可以转化为线性问题，因此本课程所介绍的方法广泛地应用于各个学科。

通过本课程的教学，使得学生系统地掌握线性代数与解析几何的基本知识、基本理论与基本方法，在抽象思维、逻辑推理、有限维线性运算和矩阵运算方面的能力及空间想象能力有所提高，培养学生用线性分析的方法解决问题的能力。

课程的基本要求

通过本课程的教学，使得学生系统地掌握行列式、矩阵、向量理论、空间直线与平面、空间曲线与曲面、线性方程组、特征值与特征向量、二次型的基本知识、基本理论与基本方法，具有较熟练的运算能力，一定的逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力，特别是用代数理论去解决几何及经济方面的问题。

学会理性的数学思维技术和模式，培养学生的创新意识和能力，能运用所获取的知识去分析和解决问题，并为后继课程的学习和进一步深造打下良好的基础。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）

第一章：

行列式建议学时：

8

[教学目的与要求]

1．知道n阶行列式的定义。

2．了解行列式的性质，掌握行列式的计算。

3.了解克莱姆（cramer）法则。

[教学重点与难点]行列式的性质，行列式的计算。

[授课方法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]

1.1二阶与三阶行列式

1.1.1二阶行列式

1.1.2三阶行列式

1.2n阶行列式的定义

1.2.1排列与逆序数

1.2.2n阶行列式的定义

1.3行列式的性质与计算

1.3.1行列式的性质（可只讲性质1、3、6的证明）

1.3.2行列式的计算（重点讲三角法和降价法）

1.4克拉默法则（此法则的证明过程可省略）

习题课

第二章：

矩阵及其运算建议学时：

10

[教学目的与要求]

1．理解矩阵的概念，知道单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、行阶梯矩阵、行最简矩阵等矩阵的定义及性质。

2．熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置及相关运算性质。

3．理解伴随阵概念及性质，理解逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆充要条件，掌握判断矩阵是否可逆的方法，会利用逆阵解矩阵方程。

4．理解矩阵的初等变换，熟练地用初等行变换将矩阵化为其行阶梯矩阵与行最简矩阵。

5．理解矩阵秩的概念，知道满秩矩阵及其性质。

熟练地用初等行变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程。

6．掌握分块矩阵的运算。

[教学重点与难点]

重点：

矩阵、逆矩阵、矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念。

矩阵的加法、乘法、数乘、转置及矩阵行列式的运算及运算性质。

矩阵可逆的充要条件。

初等矩阵与初等变换的关系性质，用初等变换求逆矩阵、求矩阵的秩、解矩阵方程的方法。

难点：

矩阵秩的概念，有关矩阵秩的性质的应用问题。

[授课方法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]

2.1矩阵及其运算

2.1.1矩阵的概念

2.1.2矩阵的运算

2.2逆矩阵

2.2.1逆矩阵的定义

2.2.2方阵可逆的充要条件

2.3分块矩阵及其运算

2.3.1分块矩阵的概念

2.3.2分块矩阵的运算（重点讲授准对角矩阵的运算性质）

2.4矩阵的初等变换与矩阵的秩

2.4.1矩阵的初等变换

2.4.2矩阵秩的概念与求法（定理2.3及性质2.7只说明结论及应用，不进行证明）

2.5初等矩阵

2.5.1初等矩阵及其性质

2.5.2用初等变换求逆矩阵

2.6矩阵应用实例（只讲例2.19）

习题课

第三章：

向量与向量空间建议学时：

8

[教学目的与要求]

1.理解n维向量的概念、理解线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念。

掌握有关向量组相关性的性质定理及判定定理，会判别向量组的线性相关性。

2.理解向量组的秩、向量组的最大无关组等概念，理解向量组的秩与矩阵秩的关系。

掌握用矩阵的初等变换求向量组的最大无关组及秩的方法。

3.理解n维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，会求向量空间的基、维数的方法。

了解基变换公式及坐标变换公式。

[教学重点与难点]

重点：

向量组的线性相关与线性无关的概念及性质，向量组的线性相关性的矩阵判别法及其推论以及上述结论的应用；向量组的最大无关组与秩的概念与求法；三秩相等定理及应用；向量空间及基底的概念。

难点：

向量组的线性相关与线性无关，向量组的最大无关组与秩。

[授课方法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]

3.1几何向量及其线性运算（简单复习）

3.1.1几何向量的基本概念

3.1.2几何向量的线性运算

3.2空间直角坐标系

3.2.1空间直角坐标系

3.2.2几何向量的坐标表示（简单介绍）

3.2.3用坐标进行向量运算

3.3n维向量及其线性运算

3.3.1n维向量的概念

3.3.2n维向量的线性运算

3.4向量组的线性相关性

3.4.1向量组及其线性组合

3.4.2线性相关与线性无关的概念

3.4.3线性相关性的性质

3.4.4线性相关性的判定（定理3.1的证明不讲）

3.5向量组的秩

3.5.1最大线性无关组

3.5.2向量组的秩（定理3.2的证明可不讲）

3.5.3矩阵的秩与向量组的秩的关系

3.6向量空间

3.6.1向量空间的概念

3.6.2坐标变换（简单介绍）

习题课

第四章：

欧氏空间建议学时：

8

[教学目的与要求]

1.了解向量的内积、长度、夹角等概念及性质；理解标准正交基、正交矩阵概念；会求几何向量的内积和外积。

2.知道空间直线与平面方程。

3.理解空间曲面、空间曲线的概念，知道二次曲面方程及其所表示图形的形状，会求两曲面交线在坐标面上的投影。

[教学重点与难点]

重点：

标准正交基；直线与平面方程、曲面方程。

[授课方法]以课堂多媒体讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]

4.1向量的内积欧氏空间

4.1.1r3中向量的内积（可不讲）

4.1.2n