数学与应用数学专业数学分析1教学大纲.docx

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数学与应用数学专业数学分析1教学大纲

数学分析

（1）课程教学大纲

第一部份前言

一、课程基本信息

1.课程类别：

专业基础课

2.开课单位：

数学与财经系

3.适用专业：

数学与应用数学专业

4.备选的教材：

《数学分析（第四版）》.华东师范大学数学系编．高等教育出版社，2010．

二、课程性质和目标

本课程是数学与应用数学专业的一门重要专业基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，概率论与数理统计等课程必备的基础。

本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学打下必要的基础。

通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严密的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

三、课程学时与学分

教学时数：

84学时

学分数：

5学分

教学时数具体分配：

教学内容

理论教学（学时）

实践教学（学时）

合计（学时）

第一章实数集与函数

7

1

8

第二章数列极限

14

2

16

第三章函数极限

11

2

13

第四章连续函数

7

1

8

第五章导数与微分

12

2

14

第六章微分学基本定理及其运用

22

2

24

合计

74

10

84

第二部份教学内容及其要求

第一章实数集与函数

1、教学目标：

要求学生理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。

2、教学重点：

函数、确界的概念及其有关性质。

3、教学难点：

确界的概念

4、教学时数

教学内容

理论教学（学时）

实践教学（学时）

合计（学时）

第一节实数

1

1

第二节数集确界原理

3

3

第三节函数概念

1

1

第四节具有某些特征的函数

2

1

3

合计

7

1

8

5、教学内容纲要

§1实数

一、实数及其性质

二、绝对值与不等式

§2数集・确界原理

一、区间与邻域

二、有界集・确界原理

§3函数概念

一、函数的定义

二、函数的表示法

三、函数的四则运算

四、复合函数

五、反函数

六、初等函数

§4具有某些特性的函数

一、有界函数

二、单调函数

三、奇函数和偶函数

四、周期函数

6、课程资源

（1）

（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.

（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.

（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.

（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.

7、实践教学环节

主要安排学生初步应用数学软件绘制函数的图形、观察函数的性态、分析函数的性质；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8、教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第二章数列极限

1、教学目标：

理解和掌握数列极限的概念，能用定义证明一些简单的数列极限；理解数列极限的性质，会运用数列极限的性质进行数列极限的运算，掌握并会应用数列的单调有界定理、柯西收敛准则判断数列的收敛性。

2、教学重点：

数列极限的

定义、数列极限的性质、单调有界原理、柯西收敛准则。

3、教学难点：

数列极限的

定义、单调有界原理、柯西收敛准则。

4、教学时数

教学内容

理论教学

（学时）

实践教学

（学时）

合计（学时）

第一节数列极限概念

6

6

第二节收敛数列的性质

5

1

6

第三节数列极限存在的条件

3

1

4

合计

14

2

16

5、教学内容纲要

§1数列极限概念

§2收敛数列的性质

§3数列极限存在的条件

6、课程资源

（1）

（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.

（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.

（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.

（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.

7、实践教学环节

主要安排学生初步应用数学软件求数列的极限；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8、教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第三章函数极限

1、教学目标：

掌握函数极限的定义，掌握函数极限的性质，能按定义证明函数极限，能根据极限的性质正确地进行极限的计算和无穷小阶的比较。

2、教学重点：

函数极限的定义及其性质、两个重要极限、无穷小量在极限运算中的应用

3、教学难点：

函数极限存在的条件

4、教学时数

教学内容

理论教学

（学时）

实践教学

（学时）

合计（学时）

第一节函数极限的概念

2

2

第二节函数极限的性质

3

1

4

第三节数列极限存在的条件

2

2

第四节两个重要极限

2

2

第五节无穷小量和无穷大量

2

1

3

合计

11

2

13

5、教学内容纲要

§1函数极限概念

一、x趋于∞时函数的极限

二、x趋于x0时函数的极限

§2函数极限的性质

§3函数极限存在的条件

§4两个重要的极限

一、

二、

§5无穷小量与无穷大量

一、无穷小量

二、无穷小量阶的比较

三、无穷大量

四、曲线的渐近线

6、课程资源

（1）

（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.

（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.

（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.

（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴文礼.高等教育出版社，1989.

7、实践教学环节

主要安排学生初步应用数学软件绘制函数的图形、观察函数的性态、分析函数极限的性质；利用数学软件工具求函数的极限；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8、教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第四章函数的连续性

1、教学目标：

掌握连续函数的定义，理解一致连续的概念，掌握闭区间上连续函数的性质及零点定理的应用。

2、教学重点：

连续函数的定义、闭区间连续函数的性质及其应用

3、教学难点：

一致连续的概念

4、教学时数

教学内容

理论教学

（学时）

实践教学

（学时）

合计（学时）

第一节连续性概念

2

2

第二节连续函数的性质

3

1

4

第三节初等函数的连续性

2

2

合计

7

1

8

5、教学内容纲要

§1连续性概念

一、函数在一点的连续性

二、间断点及其分类

三、区间上的连续函数

§2连续函数的性质

一、连续函数的局部性质

二、闭区间上连续函数的基本性质

三、反函数的连续性

四、一致连续性

§3初等函数的连续性

一、指数函数的连续性

二、初等函数的连续性

6、课程资源

（1）

（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.

（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.

（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.

（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.

7、实践教学环节

主要安排学生应用数学软件绘制连续函数的图形、观察连续函数的性态、分析连续函数的性质；利用数学软件工具求函数的零点；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。

8、教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第五章导数和微分

1、教学目标

掌握导数和微分的概念，掌握导数的基本公式和求导法则，能熟练地计算复合函数的导数，掌握微分公式及其应用。

2、教学重点：

导数与微分的概念、求导方法

3、教学难点：

一致连续的概念

4、教学时数

教学内容

理论教学

（学时）

实践教学

（学时）

合计（学时）

第一节导数的概念

2

2

第二节求导法则

5

1

6

第三节高阶导数

2

2

第四节微分

3

1

4

合计

12

2

14

5、教学内容纲要

§1导数的概念

一、导数的定义

二、导函数

三、导数的几何意义

§2求导法则

一、导数的四则运算

二、反函数的导数

三、复合函数的导数

四、基本求导法则与公式

§3参变量函数的导数

§4高阶导数

§5微分

一、微分的概念

二、微分的运算法则

三、高阶微分

四、微分在近似计算中的应用

6、课程资源

（1）

（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.

（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.

（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.

（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.

7、实践教学环节

安排学生使用数学软件求函数的导数；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容、总结求导法则和微分在生产生活中的应用，撰写学习小论文。

8、教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第六章微分中值定理及其应用

1、教学目标：

掌握费马定理、洛尔定理、拉格朗日中值及柯西中值定理及其应用，能判断函数的单调性、凸凹性、极值点及拐点，会作函数的图象，会利用函数的图像初步得出函数的一些性质。

2、教学重点：

费马定理、洛尔定理、拉格朗日中值及柯西中值定理及其在判断函数形态方面的应用。

3、教学难点：

中值定理之间的关系

4、教学时数

教学内容

理论教学

（学时）

实践教学

（学时）

合计（学时）

第一节拉格朗日定理和函数的单调性

5

5

第二节柯西中值定理和不定式极限

5

6

第三节泰勒公式

4

1

5

第四节函数的极值与最大（小）值

2

2

第五节函数的凸性与拐点

3

3

第六节函数图象的讨论

2

1

3

第七节方程的近似解

1

1

合计

22

2

24

5、教学内容纲要

§1拉格朗日定理和函数的单调性

一、罗尔定理与拉格朗日定理

二、单调函数

§2柯西中值定理和不定式极限

一、柯西中值定理

二、不定式极限

§3泰勒公式

一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式

二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式

三、在近似计算上的应用

§4函数的极值与最大（小）值

一、极值判别

二、最大值与最小值

§5函数的凸性与拐点

§6函数图象的讨论

*§7方程的近似解

本节主要介绍集中求方程近似解方法的思想，可结合数学软件实现。

6、课程资源

（1）

（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.

（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.

（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.

（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.

7、实践教学环节

安排学生使用数学软件求极限、绘制函数图象；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，总结泰勒公式的应用、总结求极限的方法，撰写学习小论文。

8、教学策略及教学方法建议

本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。

第三部份课程的考核方式及要求

课程成绩以百分制呈现。

课程实行严格的考勤制度,累计缺课达到本门课程的三分之一者,本门课程重修，不得参加期末考试。

平时作业、课堂教学情况和考勤占本门课程成绩的30%，期末考核采用闭卷方式进行，考试成绩占课程总评成绩的70%，总评成绩60分及以上为合格。

考试时应着重考查本门课程的基本概念、基本方法、基本技能，注意数学应用能力的考核，特别注重与中学数学有密切联系的相关内容考核。

撰稿人：

刘浏

审稿人：

肖维中

审核人：

何聪