数学新课标人教A版11 算法与程序框图 教案.docx
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数学新课标人教A版11算法与程序框图教案
数学新课标人教A版必修3:
1.1算法与程序框图(教案)
第一章算法初步
一、课标要求:
1、本章的课标要求包括算法的含义、程序框图、基本算法语句,通过阅读中国古代教学中的算法案例,体会中国古代数学世界数学发展的贡献。
2、算法就是解决问题的步骤,算法也是数学及其应用的重要组成部分,是计算机科学的基础,利用计算机解决问需要算法,在日常生活中做任何事情也都有算法,当然我们更关心的是计算机的算法,计算机可以解决多类信息处理问题,但人们必须事先用计算机熟悉的语言,也就是计算能够理解的语言(即程序设计语言)来详细描述解决问题的步骤,即首先设计程序,对稍复杂一些的问题,直接写出解决该问题的程序是困难的,因此,我们要首先研究解决问题的算法,再把算法转化为程序,所以算法设计是使用计算机解决具体问题的一个极为重要的环节。
3、通过对解决具体问题的过程与步骤的分析(如二元一次方程组的求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义。
理解程序框图的三种基本逻辑结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
理解并掌握几种基本的算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
进一步体会算法的基本思想。
4、本章的重点是体会算法的思想,了解算法的含义,通过模仿、操作、探索,经过通过设计程序框图解决问题的过程。
点是在具体问题的解决过程中,理解三种基本逻辑结构,经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本的算法语句。
二、编写意图与特色:
算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用,并日益融入社会生活的许多方面,算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。
在本模块中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力。
1、结合熟悉的算法,把握算法的基本思想,学会用自然语言来描述算法。
2、通过模仿、操作和探索,经历设计程序流程图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中理解程序流程图的三种基本逻辑结构:
顺序结构、条件结构、循环结构。
3、通过实际问题的学习,了解构造算法的基本程序。
4、经历将具体问题的程序流程图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句--输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,体会算法的基本思想。
5、需要注意的问题
1)从熟知的问题出发,体会算法的程序化思想,而不是简单呈现一些算法。
2)变量和赋值是算法学习的重点之一,因为设置恰当的变量,学习给变量赋值,是构造算法的关键,应作为学习的重点。
3)不必刻意追求最优的算法,把握算法的基本结构和程序化思想才是我们的重点。
4)本章所指的算法基本上是能在计算机上实现的算法。
三、教学内容及课时安排:
1.1算法与程序框图(约2课时)
1.2基本算法语句(约3课时)
1.3算法案例(约5课时)
复习与小结(约2课时)
四、评价建议
1.重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数学语言的学习过程中,是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣;在学习过程中,能否体会集合语言准确、简洁的特征;是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。
2.正确评价学生的数学基础知识和基本技能
关注学生在本章(节)及今后学习中,让学生集中学习算法的初步知识,主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。
算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分,在其他相关部分还将进一步学习算法
1.1.1算法的概念
一、教学目标:
1、知识与技能:
(1)了解算法的含义,体会算法的思想。
(2)能够用自然语言叙述算法。
(3)掌握正确的算法应满足的要求。
(4)会写出解线性方程(组)的算法。
(5)会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
(6)会应用Scilab求解方程组。
2、过程与方法:
通过求解二元一次方程组,体会解方程的一般性步骤,从而得到一个解二元一次方程组的步骤,这些步骤就是算法,不同的问题有不同的算法。
由于思考问题的角度不同,同一个问题也可能有多个算法,能模仿求解二元一次方程组的步骤,写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。
3、情感态度与价值观:
通过本节的学习,使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解,明确算法的要求,认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具,进一步提高探索、认识世界的能力。
二、重点与难点:
重点:
算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点:
把自然语言转化为算法语言。
三、学法与教学用具:
学法:
1、写出的算法,必须能解决一类问题(如:
判断一个整数n(n1)是否为质数;求任意一个方程的近似解;......),并且能够重复使用。
2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。
3、要保证算法正确,且计算机能够执行,如:
让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的,但让计算机去执行"倒一杯水""替我理发"等则是做不到的。
教学用具:
电脑,计算器,图形计算器
四、教学设想:
①、创设情境:
算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。
但是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。
如,做四则运算要先乘除后加减,从里往外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。
我们知道解一元二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数的最大公因数的算法等。
因此,算法其实是重要的数学对象。
②、探索研究
算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算过程。
后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。
菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。
在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。
比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法,等等。
③、例题分析:
例1任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数1做出判定。
算法分析:
根据质数的定义,很容易设计出下面的步骤:
第一步:
判断n是否等于2,若n=2,则n是质数;若n2,则执行第二步。
第二步:
依次从2至(n-1)检验是不是n的因数,即整除n的数,若有这样的数,则n不是质数;若没有这样的数,则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
例2用二分法设计一个求议程x2-2=0的近似根的算法。
算法分析:
回顾二分法解方程的过程,并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005,则不难设计出以下步骤:
第一步:
令f(x)=x2-2。
因为f
(1)0,f
(2)0,所以设x1=1,x2=2。
第二步:
令m=(x1+x2)/2,判断f(m)是否为0,若则,则m为所长;若否,则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。
第三步:
若f(x1)·f(m)0,则令x1=m;否则,令x2=m。
第四步:
判断|x1-x2|0.005是否成立?
若是,则x1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根;若否,则返回第二步。
小结:
算法具有以下特性:
(1)有穷性;
(2)确定性;(3)顺序性;(4)不惟一性;(5)普遍性
典例剖析:
1、基本概念题
x-2y=-1,①
例3写出解二元一次方程组的算法
2x+y=1②
解:
第一步,②-①×2得5y=3;③
第二步,解③得y=3/5;
第三步,将y=3/5代入①,得x=1/5
学生做一做:
对于一般的二元一次方程组来说,上述步骤应该怎样进一步完善?
老师评一评:
本题的算法是由加减消元法求解的,这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。
下面写出求方程组的解的算法:
第一步:
②×A1-①×A2,得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0;③
第二步:
解③,得;
第三步:
将代入①,得。
此时我们得到了二元一次方程组的求解公式,利用此公司可得到倒2的另一个算法:
第一步:
取A1=1,B1=-2,C1=1,A2=2,B2=1,C2=-1;
第二步:
计算与
第三步:
输出运算结果。
可见利用上述算法,更加有利于上机执行与操作。
基础知识应用题
例4写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解:
算法如下。
S1先假定序列中的第一个整数为"最大值"。
S2将序列中的下一个整数值与"最大值"比较,如果它大于此"最大值",这时你就假定"最大值"是这个整数。
S3如果序列中还有其他整数,重复S2。
S4在序列中一直到没有可比的数为止,这时假定的"最大值"就是这个序列中的最大值。
学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的,下面我们用数学语言来描述本题的算法。
S1max=a
S2如果bmax,则max=b.
S3如果Cmax,则max=c.
S4max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析:
可以按逐一相加的程序进行,也可以利用公式1+2+...+n=进行,也可以根据加法运算律简化运算过程。
解:
算法1:
S1:
计算1+2得到3;
S2:
将第一步中的运算结果3与3相加得到6;
S3:
将第二步中的运算结果6与4相加得到10;
S4:
将第三步中的运算结果10与5相加得到15;
S5:
将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2:
S1:
取n=6;
S2:
计算;
S3:
输出运算结果。
算法3:
S1:
将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7;
S2:
计算3×7;
S3:
输出运算结果。
小结:
算法1是最原始的方法,最为繁琐,步骤较多,当加数较大时,比如1+2+3+...+10000,再用这种方法是行不通的;算法2与算法3都是比较简单的算法,但比较而言,算法2最为简单,且易于在计算机上执行操作。
学生做一做求1×3×5×7×9×11的值,写出其算法。
老师评一评算法1;第一步,先求1×3,得到结果3;
第二步,将第一步所得结果3再乘以5,得到结果15;
第三步,再将15乘以7,得到结果105;
第四步,再将105乘以9,得到945;
第五步,再将945乘以11,得到10395,即是最后结果。
算法2:
用P表示被乘数,i表示乘数。
S1使P=1。
S2使i=3S3使P=P×i
S4使i=i+2
S5若i≤11,则返回到S3继续执行;否则算法结束。
小结由于计算机动是高速计算的自动机器,实现循环的语句。
因此,上述算法2不仅是正确的,而且是在计算机上能够实现的较好的算法。
在上面的算法中,S3,S4,S5构成一个完整的循环,这里需要说明的是,每经过一次循环之后,变量P、i的值都发生了变化,并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验,一旦发现i的值大于11时,立即停止循环,同时输出最后一个P的值,对于循环结构的详细情况,我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的概念,算法就是解决问题的步骤,平时列论我们做什么事都离不开算法,算法的描述可以用自然语言,也可以用数学语言。
例如,某同学要在下午到体育馆参加比赛,比赛下午2时开始,请写出该同学从家里发到比赛地的算法。
若用自然语言来描述可写为
(1)1:
00从家出发到公共汽车站
(2)1:
10上公共汽车
(3)1:
40到达体育馆
(4)1:
45做准备活动。
(5)2:
00比赛开始。
若用数学语言来描述可写为:
S11:
00从家出发到公共汽车站
S21:
10上公共汽车
S31:
40到达体育馆
S41:
45做准备活动
S52:
00比赛开始
大家从中要以看出,实际上两种写法无本质区别,但我们在书写时应尽量用教学语言来描述,它的优越性在以后的学习中我们会体会到。
5、自我评价
1、写出解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法(打印结果)
6、评价标准
1、解:
算法如下
S1计算△=b2-4ac
S2如果△〈0,则方程无解;否则x1=
S3输出计算结果x1,x2或无解信息。
2、解:
算法如下:
S1使i=1
S2i被3除,得余数r
S3如果r=0,则打印i,否则不打印
S4使i=i+1
S5若i≤1000,则返回到S2继续执行,否则算法结束。
7、作业:
1、写出解不等式x2-2x-30的一个算法。
解:
第一步:
x2-2x-3=0的两根是x1=3,x2=-1。
第二步:
由x2-2x-30可知不等式的解集为{x|-1x3}。
评注:
该题的解法具有一般性,下面给出形如ax2+bx+c0的不等式的解的步骤(为方便,我们设a0)如下:
第一步:
计算△=;
第二步:
若△0,示出方程两根(设x1x2),则不等式解集为{x|xx1或xx2};
第三步:
若△=0,则不等式解集为{x|x∈R且x};
第四步:
若△0,则不等式的解集为R。
2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法:
第一步:
取x1=a1,y1=b1,x2=a2,y1=b2;
第二步:
若x1=x2;
第三步:
输出斜率不存在;
第四步:
若x1≠x2;
第五步:
计算;
第六步:
输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解:
算法:
第一步:
取x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3;
第二步:
计算;
第三步:
在第二步结果中令x=0得到y的值m,得直线与y轴交点(0,m);
第四步:
在第二步结果中令y=0得到x的值n,得直线与x轴交点(n,0);
第五步:
计算S=;
第六步:
输出运算结果
1.1.2程序框图(第二、三课时)
一、教学目标:
1、知识与技能:
掌握程序框图的概念;会用通用的图形符号表示算法,掌握算法的三个基本逻辑结构;掌握画程序框图的基本规则,能正确画出程序框图。
2、过程与方法:
通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程;学会灵活、正确地画程序框图。
3、情感态度与价值观:
通过本节的学习,使我们对程序框图有一个基本的了解;掌握算法语言的三种基本逻辑结构,明确程序框图的基本要求;认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个基本步骤,也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点:
重点是程序框图的基本概念、基本图形符号和3种基本逻辑结构,难点是能综合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、学法与教学用具:
1、通过上节学习我们知道,算法就是解决问题的步骤,在我们利用计算机解决问题的时候,首先我们要设计计算机程序,在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图,使整个程序的执行过程直观化,使抽象的问题就得十分清晰和具体。
有了这个流程图,再去设计程序就有了依据,从而就可以把整个程序用机器语言表述出来,因此程序框图是我们设计程序的基本和开端。
2、我们在学习这部分内容时,首先要弄清各种图形符号的意义,明确每个图形符号的使用环境,图形符号间的联结方式。
例如"起止框"只能出现在整个流程图的首尾,它表示程序的开始或结束,其他图形符号也是如此,它们都有各自的使用环境和作用,这是我们在学习这部分知识时必须要注意的一个方面。
另外,在我们描述算法或画程序框图时,必须遵循一定的逻辑结构,事实证明,无论如何复杂的问题,我们在设计它们的算法时,只需用顺序结构、条件结构和循环结构这三种基本逻辑就可以了,因此我们必须掌握并正确地运用这三种基本逻辑结构。
3、教学用具:
电脑,计算器,图形计算器
四、教学设想:
1、创设情境:
算法可以用自然语言来描述,但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观,我们更经常地用图形方式来表示它。
基本概念:
(1)起止框图:
起止框是任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
(2)输入、输出框:
表示数据的输入或结果的输出,它可用在算法中的任何需要输入、输出的位置。
图1-1中有三个输入、输出框。
第一个出现在开始后的第一步,它的作用是输入未知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步,就可以把给定的数值写在输入框内,它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机,另外两个是输出框,它们分别位于由判断分出的两个分支中,它们表示最后给出的运算结果,左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值,右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果,即输出无法求解信息。
(3)处理框:
它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。
图1-1中出现了两个处理框。
第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值,第二个处理框的作用是计算x1=(b1a22-b2a12)/D,x2=(b2a11-b1a21)/D的值。
(4)判断框:
判断框一般有一个入口和两个出口,有时也有多个出口,它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成"是"与"否"(也可用"Y"与"N")两个分支,在图1-1中,通过判断框对D的值进行判断,若判断框中的式子是D=0,则说明D=0时由标有"是"的分支处理数据;若D≠0,则由标有"否"的分支处理数据。
例如,我们要打印x的绝对值,可以设计如下框图。
开始
输入x
是x≥0?
否
打印x-打印x
结束
从图中可以看到由判断框分出两个分支,构成一个选择性结构,其中选择的标准是"x≥0",若符合这个条件,则按照"是"分支继续往下执行;若不符合这个条件,则按照"否"分支继续往下执行,这样的话,打印出的结果总是x的绝对值。
在学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:
(1)使用标准的图形符号。
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
(3)除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的惟一符号。
(4)判断框分两大类,一类判断框"是"与"否"两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2、典例剖析:
例1:
已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。
解:
程序框如下图所示:
开始
输入4,24和2分别是x和y的值
w=3×4+4×2
输出w
结束
小结:
此图的输入框旁边加了一个注释框,它的作用是对框中的数据或内容进行说明,它可以出现在任何位置。
基础知识应用题
1)顺序结构:
顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的。
例2:
已知一个三角形的三边分别为2、3、4,利用海伦公式设计一个算法,求出它的面积,并画出算法的程序框图。
算法分析:
这是一个简单的问题,只需先算出p的值,再将它代入公式,最后输出结果,只用顺序结构就能够表达出算法。
程序框图:
2)条件结构:
一些简单的算法可以用顺序结构来表示,但是这种结构无法对描述对象进行逻辑判断,并根据判断结果进行不同的处理。
因此,需要有另一种逻辑结构来处理这类问题,这种结构叫做条件结构。
它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。
例3:
任意给定3个正实数,设计一个算法,判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在,画出这个算法的程序框图。
算法分析:
判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在,只需要验收这3个数当中任意两个数的和是否大于第3个数,这就需要用到条件结构。
程序框图:
a+bc,a+cb,b+ca是否
否同时成立?
是
3)循环结构:
在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:
(1)一类是当型循环结构,如图1-5
(1)所示,它的功能是当给定的条件P1成立时,执行A框,A框执行完毕后,再判断条件P1是否成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到某一次条件P1不成立为止,此时不再执行A框,从b离开循环结构。
(2)另一类是直到型循环结构,如下图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P2是否成立,如果P2仍然不成立,则继续执行A框,直到某一次给定的条件P2成立为止,此时不再执行A框,从b点离开循环结构。
AA
P1?
P2?
不成立
不成立
成立
bb
当型循环结构直到型循环结构
(1)
(2)
例4:
设计一个计算1+2+...+100的值的算法,并画出程序框图。
算法分析:
只需要一个累加变量和一个计数变量,将累加变量的初始值为0,计数变量的值可以从1到100。
程序框图:
i≤100?
否是
3、课堂小结:
本节课主要讲述了程序框图的基本知识,包括常用的图形符号、算法的基本逻辑结构,算法的基本逻辑结构有三种,即顺序结构、条件结构和循环结构。
其中顺序结构是最简单的结构,也是最基本的结构,循环结构必然包含条件结构,所以这三种基本逻辑结构是相互支撑的,它们共同构成了算法的基本结构,无论怎样复杂的逻辑结构,都可以通过这三种结构来表达
4、自我评价:
1)设x为为一个正整数,规定如下运算:
若x为奇数,则求3x+2;若x为偶数,则为5x,写出算法,并画出程序框图。
2)画出求21+22+23+...2100的值的程序框图。
5、评价标准:
1.解:
算法如下。
S1输入x
S2若x为奇数,则输出A=3x+2;否则输出A=5x
S3算法结束。
程序框图如下图:
i≤30?
是否2、解:
序框图如下图:
i≥100?
否是6、作业:
课本P11习题1.1A组2、3
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