专题12 相交线与平行线精讲精练解析版北师大版.docx
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专题12 相交线与平行线精讲精练解析版北师大版.docx
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专题12相交线与平行线精讲精练解析版北师大版
2019-2020学年七年级下学期期末考试高分直通车(北师大版)
专题1.2相交线与平行线
【目标导航】
【知识梳理】
1.对顶角与邻补角
(1)对顶角:
有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.对顶角的性质:
对顶角相等.
(2)邻补角:
只有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.邻补角的性质:
邻补角互补,即和为180°
2.垂线及其性质:
(1)在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)垂线段:
从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂足之间的线段叫做垂线段.
(3)垂线段的性质:
垂线段最短.
3.同位角、内错角、同旁内角
三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角,完全由那两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时,应从角的两边入手,具有上述关系的角必有两边在同一直线上,此直线即为截线,而另外不在同一直线上的两边,它们所在的直线即为被截的线.同位角的边构成“F”形,内错角的边构成“Z”形,同旁内角的边构成“U”形.
4.平行线的判定:
(1)定理1:
两条直线被第三条所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:
同位角相等,两直线平行.
(2)定理2:
两条直线被第三条所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:
内错角相等,两直线平行.
(3 )定理3:
两条直线被第三条所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:
同旁内角互补,两直线平行.
(4)定理4:
两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行.
(5)定理5:
在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
5.平行线性质定理
定理1:
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
两直线平行,同位角相等.
定理2:
两条平行线被地三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:
两直线平行,同旁内角互补.
定理3:
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:
两直线平行,内错角相等.
6.平行线的性质与判定综合题解题方法:
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
(3)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.
【典例剖析】
【考点1】余角和补角
【例1】(2019秋•五峰县期末)
(1)如图1,∠AOD﹣∠AOC= .
(2)如图2,∠AOC与∠BOD均为直角,当∠BOC=64°时,求∠COD、∠AOD的度数.
【分析】
(1)根据角的和差关系即可求解;
(2)根据直角的定义和角的和差关系即可求解.
【解析】
(1)如图1,∠AOD﹣∠AOC=∠COD;
(2)∵∠BOD=90°,∠BOC=64°,
∴∠COD=90°﹣64°=26°,
∵∠AOC=90°,
∴∠AOD=64°,∠COD=26°,∠AOD=64°.
故答案为:
∠COD.
【点睛】本题考查了余角和补角的知识,解答本题的关键是掌握:
如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角.
【变式1-1】(2019秋•天心区校级期末)如图,已知∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角,OE、OF分别为∠AOB和∠COD的角平分线,如果∠AOD=130°,
(1)求∠BOC的度数;
(2)求∠EOF的度数.
【分析】
(1)根据∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角,可得∠AOB+∠BOC=90°,∠COD+∠BOC=90°,再根据∠AOD=130°,即可得出∠BOC的度数;
(2)根据互为余角的两个角的和等于90°求出∠AOB、∠COD的度数,再根据角平分线的定义以及角的和差关系即可得解.
【解析】∵∠AOB和∠COD都是∠BOC的余角,
∴∠AOB+∠BOC=90°,∠COD+∠BOC=90°,
∴(∠AOB+∠BOC)+(∠COD+∠BOC)=180°,
∴∠BOC=180°﹣∠AOD=180°﹣130°=50°;
(2)解:
∵∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角,∠BOC=50°,
∴∠AOB=90°﹣50°=40°,∠COD=90°﹣50°=40°,
∵OE、OF分别是∠AOB、∠COD的平分线,
∴∠AOE
∠AOB
40°=20°,
∠DOF
∠COD
40°=20°,
∴∠EOF=∠AOD﹣∠AOE﹣∠DOF=130°﹣20°﹣20°=90°.
【点睛】本题考查了余角的定义,角平分线的定义,熟记概念并准确识图,理清图中各角度之间的关系是解题的关键.
【变式1-2】(2019秋•肇庆期末)若∠A与∠B互为余角,∠A=30°,则∠B的补角是( )
A.60°B.120°C.30°D.150°
【分析】根据余角、补角的定义计算.
【解析】∠A与∠B互为余角,∠A=30°,
则∠B=60°;
则∠B的补角=120°.
故选:
B.
【点睛】本题考查补角、余角的定义:
如果两个角的和为180°,则这两个角互为补角,如果两个角的和为90°,则这两个角互为余角.
【变式1-3】(2019秋•崇川区校级期末)如图,∠AOC与∠BOD都是直角,且∠AOB:
∠AOD=2:
11.求∠AOB、∠BOC的度数.
【分析】由∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD知∠AOB=∠COD,设∠AOB=2α,则∠AOD=7α,故∠AOB+∠BOC=5α=90°,解得α.再根据余角的定义即可得出∠BOC的度数.
【解析】∵∠AOB+∠BOC=∠BOC+∠COD,
∴∠AOB=∠COD,
设∠AOB=2α,
∵∠AOB:
∠AOD=2:
11,
∴∠AOB+∠BOC=9α=90°,
解得α=10°,
∴∠AOB=20°.
∠BOC=90°﹣∠AOB=70°.
【点睛】此题主要考查了角的计算以及余角和补角,正确表示出各角度数是解题关键.
【考点2】对顶角与邻补角
【例2】(2019秋•定州市期末)如图,直线AB、CD相交于点O.已知∠AOD=105°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE:
∠EOC=2:
3.
(1)求∠AOE的度数;
(2)若OF是∠BOE的平分线,那么OB是∠DOF的平分线吗?
请说明理由.
【分析】
(1)根据邻补角的定义求出∠AOC的度数,设∠AOE=2x,根据题意列出方程,解方程即可;
(2)根据角平分线的定义求出∠BOF的度数即可.
【解析】
(1)∵∠AOE:
∠EOC=2:
3.
设∠AOE=2x,则∠EOC=3x,∠AOC=5x,
由∠AOD=105°可得∠AOC=75°,
即5x=75°,
解得:
x=15°,
则2x=30°,
即∠AOE=30°;
(2)OB是∠DOF的平分线;
理由如下:
∵∠AOE=30°,
∴∠BOE=180°﹣∠AOE=150°,
而OF平分∠BOE,
∴∠BOF
∠BOE=75°,
∵∠AOD=105°,
∴∠BOD=75°,
∴∠BOD=∠BOF,
即OB是∠COF的角平分线.
【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质、角平分线的定义,掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键.
【变式2-1】(2019秋•宜宾期末)如图所示,直线AB与CD相交于O点,∠1=∠2,若∠AOE=138°,则∠AOC的度数为( )
A.45°B.90°C.84°D.100°
【分析】由于∠AOE+∠BOE=180°,∠AOE=138°,易求∠2=42°,而∠1=∠2,那么∠BOD=84°,再利用对顶角性质可求∠AOC.
【解析】∵∠AOE+∠BOE=180°,∠AOE=138°,
∴∠2=42°,
∵∠1=∠2,
∴∠BOD=2∠2=84°,
∴∠AOC=∠BOD=84°.
故选:
C.
【点睛】本题主要考查的是对顶角和邻补角的定义,熟练掌握相关概念是解题的关键.
【变式2-2】如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOE=90°,则∠EOC和∠AOD的关系( )
A.相等B.互补
C.互余D.以上三种都有可能
【分析】直接利用对顶角的性质结合互余的定义得出答案.
【解析】∵∠AOE=90°,
∴∠EOB=90°,
∴∠EOC+∠COB=90°,
∵∠BOC=∠AOD,
即∠EOC和∠AOD互余.
故选:
C.
【点睛】此题主要考查了余角的定义以及对顶角的性质,正确得出∠EOC+∠AOD=90°是解题关键.
【变式2-3】(2019秋•海口期末)如图,直线AB、CD相交于点O,∠AOE=2∠AOC,若∠1=38°,则∠DOE等于( )
A.66°B.76°C.90°D.144°
【分析】根据条件∠AOE=2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案.
【解析】如图,∠1=∠AOC=38°.
∵∠AOE=2∠AOC,
∴∠AOE=76°.
∴∠DOE=180°﹣∠AOC﹣∠AOE=180°﹣38°﹣76°=66°.
故选:
A.
【点睛】此题主要考查了邻补角和对顶角,关键是掌握对顶角相等.
【变式2-4】(2019秋•姑苏区期末)如图,直线AB,CD交于点O,OE平分∠COB,OF是∠EOD的角平分线.
(1)说明:
∠AOD=2∠COE;
(2)若∠AOC=50°,求∠EOF的度数;
(3)若∠BOF=15°,求∠AOC的度数.
【分析】
(1)利用角平分线、对顶角的性质,可得结论;
(2)根据∠AOC=50°,根据互补、角平分线的意义可求出答案;
(3)设未知数,利用角平分线的意义,分别表示∠DOF,∠EOB,∠COB,再根据平角的意义求出结果即可.
【解析】
(1)∵OE平分∠COB,
∴∠COE
∠COB,
∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD=2∠COE;
(2)∵∠AOC=50°,
∴∠BOC=180°﹣50°=130°,
∴∠EOC
∠BOC=65°,
∴∠DOE=180°﹣∠EOC=180°﹣65°=115°,
∵OF平分∠DOE,
∴∠EOF
∠DOC=57.5°;
(3)设∠AOC=∠BOD=α,则∠DOF=α+15°,
∴∠EOF=∠DOF=α+15°,
∴∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+30°,
∴∠COB=2∠EOB=2α+60°,
而∠COB+∠BOD=180°,即,3α+60°=180°,
解得,α=40°,
即,∠AOC=40°.
【点睛】考查角平分线、互为补角的意义,掌握找出各个角之间的关系是正确解答的关键.
【考点3】同位角、内错角、同旁内角
【例3】(2019秋•张家港市期末)如图,给出下列说法:
①∠B和∠1是同位角;②∠1和∠3是对顶角;③∠2和∠4是内错角;④∠A和∠BCD是同旁内角.其中说法正确的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
【分析】根据对顶角,内错角以及同旁内角的定义作答.
【解析】如图所示,①∠B和∠1是同旁内角,故说法错误;
②∠1和∠3不是对顶角,故说法错误;
③∠2和∠4是内错角,故说法正确;
④∠A和∠BCD不是同旁内角,故说法错误.
综上所述,说法正确的结论有1个.
故选:
B.
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角.解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解,对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义.
【变式3-1】(2019秋•叙州区期末)如图,下列结论中错误的是( )
A.∠1与∠2是同旁内角B.∠1与∠
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