八年级数学培优10.docx
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八年级数学培优10
八年级数学培优(10)二次函数
一、选择题
1.抛物线y=﹣3x2+2x﹣1的图象与坐标轴的交点情况是( )
A.没有交点B.只有一个交点C.有且只有两个交点D.有且只有三个交点
2.已知直线y=x与二次函数y=ax2﹣2x﹣1的图象的一个交点M的横坐标为1,则a的值为( )
A.2B.1C.3D.4
3.如图,二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A,B两点,交y轴于C,则△ABC的面积为( )
A.6B.4C.3D.1
4.函数y=ax2+bx+c中,若a>0,b<0,c<0,则这个函数图象与x轴的交点情况是( )
A.没有交点B.有两个交点,都在x轴的正半轴
C.有两个交点,都在x轴的负半轴D.一个在x轴的正半轴,另一个在x轴的负半轴
5.若(2,5)、(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点,则它的对称轴是( )
A.x=﹣
B.x=1C.x=2D.x=3
6.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.二次函数y=2x2﹣4x+5的最小值是 .
8.某二次函数的图象与x轴交于点(﹣1,0),(4,0),且它的形状与y=﹣x2形状相同.则这个二次函数的解析式为 .
9.若函数y=﹣x2+4的函数值y>0,则自变量x的取值范围是 .
10.某品牌电饭锅成本价为70元,销售商对其销量与定价的关系进行了调查,结果如下:
定价(元)
100
110
120
130
140
150
销量(个)
80
100
110
100
80
60
为获得最大利润,销售商应将该品牌电饭锅定价为 元.
11.函数y=ax2﹣(a﹣3)x+1的图象与x轴只有一个交点,那么a的值和交点坐标分别为 .
12.某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内,涵洞所在抛物线的函数表达式是 .
三、解答题
13.已知抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A,与y轴的交点为B,求过A、B两点的直线的解析式.
14.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示,求该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标.
15.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:
y=﹣ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,且点P到x轴的距离为2.
(1)求抛物线和直线l的解析式;
(2)求点Q的坐标.
16.工艺商场以每件155元购进一批工艺品、若按每件200元销售,工艺商场每天可售出该工艺品100件;若每件工艺品降价1元,则每天可多售出该工艺品4件.问每件工艺品降价多少元出售,每天获得的利润最大?
获得的最大利润是多少元?
17.杭州休博会期间,嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施.若不计维修保养费用,预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后,从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元),且y=ax2+bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元),g也是关于x的二次函数;
(1)若维修保养费用第1个月为2万元,第2个月为4万元.求y关于x的解析式;
(2)求纯收益g关于x的解析式;
(3)问设施开放几个月后,游乐场的纯收益达到最大;几个月后,能收回投资?
18.如图所示,图
(1)是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图,拱高为30m,支柱A3B3=50m,5根支柱A1B1,A2B2,A3B3,A4B4,A5B5之间的距离均为15m,B1B5∥A1A5,将抛物线放在图
(2)所示的直角坐标系中
(1)直接写出图
(2)中点B1的坐标为 ,B3的坐标为 ,B5的坐标为 ;
(2)求图
(2)中抛物线的函数表达式是 ;
(3)求图
(1)中支柱A2B2的长度为 ,A4B4的长度为 .
四、附加题
19.如图,已知A(2,2),B(3,0).动点P(m,0)在线段OB上移动,过点P作直线l与x轴垂直.
(1)设△OAB中位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与m之间的函数关系式;
(2)试问是否存在点P,使直线l平分△OAB的面积?
若有,求出点P的坐标;若无,请说明理由.
二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1.B.2.D3.C.4.D.5.D.6.B.
二、填空题
7.3.
8.y=﹣x2+3x+4或y=x2﹣3x﹣4.
9.﹣2<x<2.
10.x=130元时利润最大.
11.0,1,9,(﹣
,0),(﹣1,0)、(
,0).
12.y=﹣
x2.
三、解答题
13.已知抛物线y=x2﹣2x﹣2的顶点为A,与y轴的交点为B,求过A、B两点的直线的解析式.
【解答】解:
∵抛物线y=x2﹣2x﹣2=(x﹣1)2﹣3
∴抛物线顶点坐标为(1,﹣3),与y轴的交点坐标为(0,﹣2),
即A(l,﹣3),B(0,﹣2)
设所求直线的解析式为y=kx+b
则
,
解得
,
∴所求直线的解析式为y=﹣x﹣2.
14.抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示,求该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标.
【解答】解:
如图知,抛物线y=ax2+2ax+a2+2过点(1,0)
∴a+2a+a2+2=0,a<0,
解得a=﹣1或﹣2,
∵抛物线与x轴交于两点,
∴△=4a2﹣4a(a2+2)>0,a<0,
解得,a<﹣1,
∴a=﹣2,
∴y=﹣2x2﹣4x+6,
令y=0,得﹣2x2﹣4x+6=0,
解得x=1或﹣3,
当x=﹣3时,y=0,
该抛物线在y轴左侧与x轴的交点坐标为:
(﹣3,0).
15.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点是C(0,1),直线l:
y=﹣ax+3与这条抛物线交于P、Q两点,且点P到x轴的距离为2.
(1)求抛物线和直线l的解析式;
(2)求点Q的坐标.
【解答】解:
(1)由抛物线的顶点为(0,1),
得:
b=0,c=1,
即y=ax2+1;
由于抛物线经过P点,
则有:
2=ax2+1,
即x2=
;
同理可得到:
﹣ax+3=2,x=
;
故
=(
)2,解得a=1;
所以抛物线的解析式为:
y=x2+1,直线l的解析式为:
y=﹣x+3.
(2)联立抛物线和直线l的解析式,得:
,
解得
,
;
故Q(﹣2,5).
16.工艺商场以每件155元购进一批工艺品、若按每件200元销售,工艺商场每天可售出该工艺品100件;若每件工艺品降价1元,则每天可多售出该工艺品4件.问每件工艺品降价多少元出售,每天获得的利润最大?
获得的最大利润是多少元?
【解答】解:
设每件工艺品降价x元出售,获利y元,
则根据题意可得:
y=(200﹣x﹣155)(100+4x)=4(﹣x2+20x+1125);
当x=10时,y取得最大值4900元.
即降价10元时,y最大=4900(元).
17.杭州休博会期间,嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施.若不计维修保养费用,预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后,从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元),且y=ax2+bx;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元),g也是关于x的二次函数;
(1)若维修保养费用第1个月为2万元,第2个月为4万元.求y关于x的解析式;
(2)求纯收益g关于x的解析式;
(3)问设施开放几个月后,游乐场的纯收益达到最大;几个月后,能收回投资?
【解答】解:
(1)由题意得:
x=1时y=2;
x=2时,y=2+4=6代入得:
解之得:
∴y=x2+x;
(2)由题意得:
g=33x﹣150﹣(x2+x)
=﹣x2+32x﹣150;
(3)g=﹣x2+32x﹣150=﹣(x﹣16)2+106,
∴当x=16时,g最大值=106,
即设施开放16个月后,游乐场的纯收益达到最大,
又∵当0<x≤16时,g随x的增大而增大;
当x≤5时,g<0;而当x>6时,g>0,
∴6个月后能收回投资.
18.如图所示,图
(1)是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图,拱高为30m,支柱A3B3=50m,5根支柱A1B1,A2B2,A3B3,A4B4,A5B5之间的距离均为15m,B1B5∥A1A5,将抛物线放在图
(2)所示的直角坐标系中
(1)直接写出图
(2)中点B1的坐标为 (﹣30,0) ,B3的坐标为 (0,30) ,B5的坐标为 (30,0) ;
(2)求图
(2)中抛物线的函数表达式是 y=﹣
(x﹣30)(x+30) ;
(3)求图
(1)中支柱A2B2的长度为
m ,A4B4的长度为
m .
【解答】解:
(1)B1(﹣30,0),B3(0,30),B5(30,0);
(2)设抛物线的表达式为y=a(x﹣30)(x+30),
把B3(0,30)代入得y=a(0﹣30)(0+30)=30.
∴a=﹣
.
∴所求抛物线的表达式为:
y=﹣
(x﹣30)(x+30).
(3)∵B4点的横坐标为15,
∴B4的纵坐标y4=﹣
(15﹣30)(15+30)=
.
∵A3B3=50,拱高为30,
∴立柱A4B4=20+
=
(m).
由对称性知:
A2B2=A4B4=
(m).
四、附加题
19.如图,已知A(2,2),B(3,0).动点P(m,0)在线段OB上移动,过点P作直线l与x轴垂直.
(1)设△OAB中位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与m之间的函数关系式;
(2)试问是否存在点P,使直线l平分△OAB的面积?
若有,求出点P的坐标;若无,请说明理由.
【解答】解:
(1)当0≤m≤2时,
S=
;
当2<m≤3时,
S=
×3×2﹣
(3﹣m)(﹣2m+6)=﹣m2+6m﹣6.
(2)假设有这样的P点,使直线l平分△OAB的面积,
很显然0<m<2,
由于△OAB的面积等于3,
故当l平分△OAB面积时:
S=
.
∴
.
解得m=
.
故存在这样的P点,使l平分△OAB的面积.
且点P的坐标为(
,0).
答:
在这样的P点,使l平分△OAB的面积,点P的坐标为(
,0).
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- 八年 级数 学培优 10