数值分析试题集.docx

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数值分析试题集

数值分析试题集

（试卷一）

一（10分）已知％=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，判断x-ix2及x1-x2

有几位有效数字。

二（10分）由下表求插值多项式

X

0

1

2

y

2

3

4

Fy

1

-1

三（15分）设f（x）・C4［a,b］，H（x）是满足下列条件的三次多项式

H（a）二f（a）,H（b）二f（b）,H（c）=f（c）,H（c）二f（c）（a：

：

：

c：

：

b）

求f（x）-H（x），并证明之。

1

四（15分）计算，:

=10』。

o1+X

五（15分）在［0，2］上取X。

=0,X1=1,X2=2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代

数精度。

六（10分）证明改进的尢拉法的精度是2阶的。

七（10分）对模型y■=■・y,■：

■0，讨论改进的尢拉法的稳定性。

八（15分）求方程x34x2-7x-1=0在-1.2附近的近似值，；=10"。

（试卷二）

一填空（4*2分）

1{k（x）}k£是区间［0，1］上的权函数为'（x）=x2的最高项系数为1的正交多项式族，其中

1

0（x）=1，贝y.X0（x）dx=，1（X）工

0

2aJ：

；［则||A「一—

仙二

'a+12

3设「_1J，当a满足条件

时，A可作LU分解。

32***

4设非线性方程f（x）二（x-3x-3x-1）（x•3）=0，其根&=-3,他=-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。

广1—0.5a'

二（8分）方程组AX=b，其中A=—0.52-0.5，X,R3

l-a-0.51』

1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代

收敛最快？

2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。

"V"=f（Xy）

三（9分）常微分方程初值问题丿'的单步法公式为yn*=yn」+2hf（xn,yn），求该

、、y°=y（x°）

公式的精度。

四（14分）设AX=b为对称正定方程组

1求使迭代过程Xk1二Xk•〉（b-A・Xk）收敛的数〉的变化范围；

『2-1-1、

、1、

『0、

2用此法解方程组

-120

-

X2

=

1

L10

（取初值X。

=（1,1,1）T，小数点后保留4位，给出前6次迭代的数据表）

（试卷三）

on

一设A=，求A的谱半径P（A），范数为1的条件数cond（A）1。

（—51丿

设f（x）=3x25,xi=i,（i=0,1,2，…），分别计算该函数的二、三阶差商

f[Xn,xn1

x2],

f[xn,Xn1

xn'2,xn'3]

若定义||x

若定义11X||二

2

-1

-1

x13x2

-1

2

0

X3，问它又是不是一种向量范数？

请说明理由。

-1

0,将矩阵分解为

1」

A二LU，其中L是对角线元素lH0（^1,2,3）的

设向量x=（%,X2,X3）t

X"+2x2+x3,问它是不是一种向量范数？

请说明理由。

、2

五设有解方程12-3x2cosx=0的迭代法xn1=4亠cosxn

3

1证明：

对任意x0三（-：

：

：

：

），均有limXn=x（x为方程的根）;

2取X。

=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10；，列出各次迭代值;

3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

六对于求积公式

111

f（x）dx：

3【2f（4）

-f（!

）2f

2

1求该求积公式的代数精度；

2证明它为插值型的求积公式。

（试卷四）

一填空题（每空5分，共25分）

位有

1设精确值为x=0.054039412，若取近似值x^0.05410281，该近似值具有效数字。

2

2设f（x）=3x5，Xi=i（i=0,1,2,），则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]

（11、

3A=，贝UP（A）=。

51丿

L是对角线元

勺+12"T亠

4设A=，当a满足条件时，必有分解式A=LL，其中

'、、a4丿

素为正的下三角阵。

1

1211123

5求积公式f（x）d^-f（—）_一f（—）•_f（—）的代数精度为。

0343234

二（10分）设f（X）•C3[0,1]，试求一个次数不超过2的多项式P（x），使得

p（0）=f（0）=1,p

（1）=f

（1）=e,p

（1）=f

（1）=e

三（20分）1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式

b

f（x）dx:

a

b「aI

f（a）f（b）

（b-a）2

12

1f（b）-f（a）

且其余项为

「窘宀）（（a®）2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式

Xnh2

f（X）dX：

「f（Xn）-f（Xo）1

xo12

这里：

Tn=h」f（Xo）f（X!

）f（xnjp-f（Xn）,Xi

IL22

四（15分）试确定系数：

•，[,，使微分方程的数值计算公式

yi•（ynjyn）hy.」yn）

具有尽可能高的局部截断误差。

（符号说明：

Ynj=y（Xn_1）,yn=Y（Xp））

32

五（15分）方程X-X-1=0在X。

=1.5附近有根，对于给定的迭代关系式

1

Xk1=1兀，试问：

Xk

1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。

2、估计该迭代式的收敛速度。

广1

-0.5

a、

「1、

六（15分）方程组AX=b，其中A=

-0.5

2

-0.5

，b=

2

-0.5

1>

L丿

试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的

a取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。

（说明：

数值实验的数据请以列表形式写出。

）

（试卷五）

一填空题（每空5分，共25分）

1已知x1=1.3409，x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1x2的有效数字是几

位。

2

2设f（x）=3x5，Xi=i（i=0,1,2,），则二阶差商f[Xn,Xn1,Xn2H。

‘11、

3A=，则IIA||1=。

心1丿

a+12、

4设A=，当a满足条件时，A可作LU分解。

T4丿

n

5设Xi（i=0,1,2,,n）是互异节点，对于k=0,1,2厂，n，、x：

li（x）二。

i=0

二（10分）由下表求插值多项式

X

0

1

2

y

2

3

4

三（25分）1设f（x）在〔a,b1上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式

f（x）dx

a

f（a）（b-a）f（a）（b一a）

2

f（a）

（b-a）3

6

2利用这个公式推导以下复化求积公式

xn

f（x）dxTn

xo

f（xn）-f（X。

）1

二x。

ih,h=

这里：

Tn-h2f（X。

）f（xjf（Xn」）2f（Xn）,Xi

2

dx

i

3对于给定精度＜-10-4，利用上述求积公式Tn，选取合适的求积步长h，计算I二e

0

的近似值。

四（10分）常微分方程初值问题

y二f（x,y）

y。

=y（x°）

的数值公式为

yn1二2头一yn」—hf（Xn，yn）,

求该公式的精度。

2

五（15分）设有解方程12—3x•2cosx二0的迭代法xnd-4-cosxn

3

1证明：

对任意X。

•（-==<=），均有limxn二x*（x*为方程的根）；

n—^c

2取xo=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10"，列出各次迭代值;

3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

六（15分）设方程组

|5x12x2x3--12

-x14x22x3二20

2x1-3x210x3=3

1给出雅可比迭代算式；

2说明其收敛性；

3取初始向量X。

=（0,0,0）T，给出其前6步迭代所求出的近似值。

（说明：

数据请以列表形式写出。

）

/、_4、/A、》\

（试卷八）

一填空题（每空5分，共25分）

1已知x1=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1x2的有效数字是几

位。

2设f（x）-3x25,Xj=i（i=0,1,2,），则二阶差商f[xn,xn1,xn.2^。

A门

3a=51，则||A||严。

<51丿

a+12、

4设A=，当a满足条件时，A可作LU分解。

n

5设Xi（i=0,1,2,,n）是互异节点，对于k=0,1,2厂，n,、x：

li（x）二。

i=0

二（10分）由下表求插值多项式

x

0

1

2

y

2

3

4

y

1

-1

（25分）1设f（x）在〔a,b1上具有二阶连续导数，利用泰勒展开推导以下求积公式

b23

（b—a）（b—a）

f（x）dx：

f（a）（b-a）f（a）f（a）-

a26

2利用这个公式推导以下复化求积公式

Xnh2

f（X）dx：

「—If（Xn^f（Xo）I

xo6

f（xo）f（xi）中（—。

M好

1

3对于给定精度•；：

=10一4,利用上述求积公式Tn,选取合适的求积步长h，计算I=.e

0

的近似值。

hf（xn，yn），

位有

L是对角线元

y'=f（x,y）

四（10分）常微分方程初值问题丿y'"的数值公式为yn出=2yn—ynJL

iy。

=y（x°）-

求该公式的精度。

2

五（15分）设有解方程12—3x•2cosx二0的迭代法xn.1=4-cosxn

3

1证明：

对任意X。

•（-二，二），均有limxn二x*（x*为方程的根）；

n—^c

2取xo=4，用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10"，列出各次迭代值;

3此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。

六（15分）设方程组

|5x12x2x3--12

-x14x22x3二20

2x1-3x210x3=3

1给出雅可比迭代算式；

2说明其收敛性；

3取初始向量X。

=（0,0,0）T，给出其前6步迭代所求出的近似值。

（说明：

数据请以列表形式写出。

）

/、_4、/A、》\

（试卷八）

一填空题（每空5分，共25分）

1设精确值为x=0.054039412，若取近似值X*=0.05410281,该近似值具有效数字。

2

2设f（x）=3x5,Xi=i（i=0,1,2,），则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]

'11、

3A=，则P（A）=。

<51丿

a+12、T

4设A=，当a满足条件时，必有分解式a=llt，其中

素为正的下三角阵。

1

1211123

5求积公式If（x）dxf（）f（）f（）的代数精度为。

0343234

二（10分）设f（X）•C3[0,1]，试求一个次数不超过2的多项式P（x），使得

p（0）=f（0）=1,p

（1）=f

（1）=e,p

（1）=f

（1）=e

三（20分）1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式

f（x）dx：

b「|_f（a）.f（b）l〔f（b）—f（a）1

a212

且其余项为

喘宀）（（a，b））

2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式

Xnh2

f（x）dxTn---If（xn^f（Xo）1

x012

--b—a

这里：

Tn二h—f（Xo）f（Xi）f（Xn』）-f（Xn）,Xi=Xoih,h=

IL22n

四（15分）试确定系数〉，一：

，，使微分方程的数值计算公式

y1「（yn」yn）h（1〕n」yn）

具有尽可能高的局部截断误差。

（符号说明：

YnJ-y（Xn_i）,yn=Y（Xn））

QQ

五（15分）方程X-X-1=0在X。

=1.5附近有根，对于给定的迭代关系式

1

Xk1—，试问：

Xk

1、问迭代是否收敛；若收敛，用列表形式给出其前6步迭代的近似根。

2、估计该迭代式的收敛速度。

r1

-0.5

a、

『1、

六（15分）方程组AX=b，其中A=

-0.5

2

-0.5

，b=

2

i—a

-0.5

1丿

试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，给出使雅可比迭代收敛最快的

a取值，并用2至3个a的具体值进行计算，数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。

（说明：

数值实验的数据请以列表形式写出。

）

（试卷七）

一填空题（每空4分，共24分）

1已知石=1.3409，x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值，x1x2的有效数字是几

位。

'a十12、

2设A=，当a满足条件时，A可作LU分解。

IT4丿

3设非线性方程f（x）=（X3-3x23x-1）（x•3）=0，其根x1=-3，x2=-1，则求x1的

近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。

'21\

4设4，则丨A「二，P（A）=。

8dx1

2X2

取个结点。

5用积分21n2计算In2，为使误差的绝对值不超过10^，问用复化梯形公式至少要

（21分）设f（x）•C5[0,2]，插值条件如下表

x

0

1

2

y

2

3

4

yH

1

-1

1给出满足上述插值条件的插值多项式P（x）；

2求其余项f（x）-P（x）；

3给出f（0.5），f（1.5）的近似值。

（25分）设f（x）C2[a,b]

b

推导中矩公式.f（x）dx=（b-a）f

（a,b）；

导出复化中矩公式;

利用复化中矩公式，计算定积分

1

务e

■:

0

’dx（精度为；=10一4，

并将各次复化的计算结果

排成一张数据表）。

四（15分）求常数A、B、C、

D，使解微分方程初值问题

y=f（x,y），y（xo）=yo

的下列数值计算公式

（1）

yn1=A7n4h（Byn1C7nDyn」）

yn1=f（Xn1,yn1）

Yn=f（XnS

=f（Xn」，yn」）

的局部截断误差尽可能地高（假设

（1）式右端所用信息均为准确的）。

五（15分）设AX-b为对称正定方程组

1求使迭代过程Xk1=Xk•〉（b-A・Xk）收敛的数：

•的变化范围;

『2-1-1、

『0、

2用此法解方程组

-120

-

X2

=

1

1-101」

<0>

（取初值X。

=（0.5,0.6,1）T，给出前6次迭代的数据表）

第1问提示：

考虑使迭代矩阵G=\-1A的范数G2：

：

：

1的］取值。

（试卷八）

一（15分）已知精确值为x二0.054039412，若取近似值0.05410281，试问该近似值具有几位有效数字。

（15分）方程X-X-—O在Xo^1*5附近有根，对于给定的迭代关系式

Xk1=1•飞，试问：

Xk

1、该迭代是否收敛？

2、若收敛，估计收敛速度。

（15分）已知函数表如下，求二次拉氏插值多项式L2（x）

x31

y42

四（20分）在［—1，1］上，取节点Xo--1,儿=0%T，构造插值型求积公式，并

求它的代数精度

五（15分）写出线性方程组

|2-d—1

-120

-121一

的雅可比迭代式六（20分）试确定系数:

，使微分方程的数值计算公式

Yn1二：

（Yn-1Yn）h（：

丁n_1Yn）

具有尽可能高的局部截断误差

（符号说明：

Yn

Y（Xn_1）,Yn二Y（Xn））

（试卷九）

填空题（每空4分，共24分）

X2_X2

-110心，从而

2

（+X2）—（X[+X2）兰x〔一+X?

—x?

故X1X2具有4位有效数字。

A可作LU分解。

2、

，当a满足何条件时,

4丿

若a=a1=0，A2=4（a1）2=0，即:

a=-1,a=-3，则A可作LU分解。

2

qr\***

3设非线性方程f（x）=（x-3x•3x-1）（x•3）=0，其根X1--3，X2--1，则求为的近似值时，求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。

32

f（x）=（x-1）（x3），f（x）=（x-1）（4x8），其迭代式为

Xn1•二Xn

区-呱3）

4xn+8.

Xn1

2

3xn6xn3

4Xn8

Xn1

4-3）二

3（Xn-（-3））2

4Xn8

，故en1

2

Xn1_（_3）

（Xn-（-3））2

-3（n>

4

二）

因此，上述迭代为二阶局部收敛的

{21

4设A=“'，求||A|口P（A）。

1_14丿

hL=—1+4=5，IA亠”||=（3-九）2，P（A）=3

8dx

5用积分—

2x

=2ln2计算In2，为使误差的绝对值不超过

110*，问用复化梯形公式至少要

2

取多少个结点。

h=6，取结点Xi=2ih（^0,1,…,n），作复化梯形求积公式「，其误差为

n

2ln2-Tn=

5o52153

茨「欲使256h^210，取心610，

GQ

-<1610”，n_3103，结点个数n-375即可。

n8

二（21分）设f（x）•C5[0,2]，插值条件如下表

X

0

1

2

y

2

3

4

1给出满足上述插值条件的插值多项式P（x）；

2求其余项f（x）-P（x）;

3给出f（0.5）,f（1.5）的近似值。

设P（x）

e=2，

令:

:

」（t）二f（t）

abcde=3，16a8b4c2de=4，d=1,32a12b4cd=-1

二ax4bx3cx2dxe，利用插值条件可得线性方程组

22

—P（t）—k（x）t（t_1）（t_2），其中k（x）使:

:

』（x）=0,x为异于0，1,2的点

G（t）在0，1，2，x四个互异点处值为零，据罗尔定理与插值条件，G（t）在［0，2］上有五个互

异的零点，反复使用罗尔定理可知，在（0,2）上，至少存在一点'，使门⑸「）=0，亦即

f（5）（匕）

f（x）-P（x）

f（5）（）

5!

x2（x-1）（x-2）2

（0,2）

0»：

」（5）（）=f（5）（）—o—k（x）5!

，故k（x）二（）

在函数库中建立插值多项式，可求得

77121

f（0.5）:

P（0.5）2.40625，f（1.5）:

P（1.5）3.78125

3232

三（25分）设f（x）C2[a,b]

推导中矩公式

b

f（x）dx=（b-a）f

a

24

（b-a）3

（a,b）；

2导出复化中矩公式；

1

2_2

3利用复化中矩公式，计算定积分.e^dx（精度为；=10亠，并将各次复化的计算结果

、二0

排成一张数据表）。

f（x）二f

勺+b〕+

<2丿

心）

1!

f（）ab2

Qi2）2

b

两边积分有f（x）dx

a

二（b「a）f

a+fB（b_a）3

24

b-a

h，取结点Xi

n

复化中矩公式为Rn二h'，

i=0

f（xi1），其中xi

2

h，截断误差为

2

h2

2乂⑹-®

欲计算定积分2e

丁兀0

这里

，f（x）-

4_x2

Txe，

h2

□

24

el0]=

h2

6e.■:

22

hh

I-Rn

6x3x236

h2

欲使一：

:

:

10一4，即

36

h：

：

610

_221

，可取h=510阪

b-a口=20

1/20

2

（i1/2）

'400

Xj=ih（i=0,1,,20）

1,

R20e

100i=0

19

在HP38G上进行计算可得R20

-0.842787

DEG

HOME

MAKELISTCeA<-<1+0.5）a...

<・999375195272,・99439„,SLIST

.8427S72S628S

絲;HOME澱飆絲鹼鮫獗縫

S

DEG

=aih（^0,1/,n），作复化中矩公式

2n_1

n1xi1n1

I_if（x）dx=h'f（x1）一7f（i）h

i=Qx；7匕24y

nAh2

f（x1）^[f（b）-f（a）]

7i224

STDk

四（15分）求常数A、B、C、D，使解微分方程初值问题

y=f（x,y），y（