简单的线性规划练习附答案详解.docx
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简单的线性规划练习附答案详解
简单的线性规划练习-附答案详解
简单的线性规划练习附答案详解
一、选择题
1.在平面直角坐标系中,若点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方,则t的取值范围是( )
A.(-∞,1)B.(1,+∞)C.(-1,+∞)D.(0,1)
2.若2m+2n<4,则点(m,n)必在( )
A.直线x+y-2=0的左下方B.直线x+y-2=0的右上方C.直线x+2y-2=0的右上方D.直线x+2y-2=0的左下方
3.不等式组
所表示的平面区域的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
4.不等式组
所围成的平面区域的面积为( )A.3
B.6
C.6D.3
5.设变量x,y满足约束条件
,则目标函数z=2x+y的最小值为( )A.2B.3C.5D.7
6.已知A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,则z=x-y的最大值及最小值分别是( )
A.-1,-3B.1,-3C.3,-1D.3,1
7.在直角坐标系xOy中,已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )A.95B.91C.88D.75
8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是( )A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元
9.已知实数x,y满足
,若z=ax+y的最大值为3a+9,最小值为3a-3,则实数a的取值范围为( )
A.a≥1B.a≤-1C.-1≤a≤1D.a≥1或a≤-1
10.已知变量x,y满足约束条件
,且有无穷多个点(x,y)使目标函数z=x+my取得最小值,则m=( )
A.-2B.-1C.1D.4
11.当点M(x,y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时,目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为(1,2),则实数k的取值范围是( )
A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.[-1,1]
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,1)
12.已知x、y满足不等式组
,且z=2x+y的最大值是最小值的3倍,则a=( )
A.0B.
C.
D.1
13.已知实数x,y满足
,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( )
A.7B.5C.4D.3
二、填空题14.设变量x,y满足约束条件
,则目标函数z=2x+y的最大值为________.
15.毕业庆典活动中,某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景,支部先派一人去了解船只的租金情况,看到的租金价格如下表,那么他们合理设计租船方案后,所付租金最少为________元.
船型
每只船限载人数
租金(元/只)
大船
5
12
小船
3
8
16.已知M、N是不等式组
所表示的平面区域内的不同两点,则|MN|的最大值是________.
17.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于M、N两点,且M、N关于直线x+y=0对称,点P(a,b)为平面区域
内任意一点,则
的取值范围是________.
18.若由不等式组
(n>0)确定的平面区域的边界为三角形,且它的外接圆的圆心在x轴上,则实数m=________.
三、解答题
19.若x、y满足条件
,求z=x+2y的最小值,并求出相应的x、y值.
20.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都有一部分是一等品,其余是二等品,已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25,甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲,P乙;
(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示,且该厂有工人32名,可用资金55万元.设x,y分别表示生产甲、乙产品的数量,在
(1)的条件下,求x,y为何值时,z=xP甲+yP乙最大,最大值是多少?
工人(名)
资金(万元)
甲
4
20
乙
8
5
[答案] B
[解析] ∵点O(0,0)使x-2y+4>0成立,且点O在直线下方,故点(-2,t)在直线x-2y+4=0的上方⇔-2-2t+4<0,∴t>1.
[点评] 可用B值判断法来求解,令d=B(Ax0+By0+C),则d>0⇔点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0的上方;d<0⇔点P在直线下方.
由题意-2(-2-2t+4)>0,∴t>1.
[答案] A
[解析] ∵2m+2n≥2
,由条件2m+2n<4知,
2
<4,∴m+n<2,即m+n-2<0,故选A.
[答案] C
[解析] 平面区域如图.解
得A(1,1),易得B(0,4),C
,
|BC|=4-
=
.
∴S△ABC=
×
×1=
.
[答案] D
[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC,易求B(4,4),A(1,1),C(2,0)
∴S△ABC=S△OBC-S△AOC
=
×2×4-
×2×1=3.
[答案] B
[解析] 在坐标系中画出约束条件
所表示的可行域为图中△ABC,其中A(2,0),B(1,1),C(3,3),则目标函数z=2x+y在点B(1,1)处取得最小值,最小值为3.
[答案] B
[解析] 当直线y=x-z经过点C(1,0)时,zmax=1,当直线y=x-z经过点B(-1,2)时,zmin=-3.
[答案] B
[解析] 由2x+3y=30知,y=0时,0≤x≤15,有16个;
y=1时,0≤x≤13;y=2时,0≤x≤12;
y=3时,0≤x≤10;y=4时,0≤x≤9;
y=5时,0≤x≤7;y=6时,0≤x≤6;
y=7时,0≤x≤4;y=8时,0≤x≤3;
y=9时,0≤x≤1,y=10时,x=0.
∴共有16+14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=91个.
[答案] D
[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,
由题意得
,
获利润ω=5x+3y,画出可行域如图,
由
,解得A(3,4).
∵-3<-
<-
,∴当直线5x+3y=ω经过A点时,ωmax=27.
[答案] C
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示,则z在点A处取得最大值,在点C处取得最小值.又kBC=-1,kAB=1,∴-1≤-a≤1,即-1≤a≤1.
[答案] C
[解析] 由题意可知,不等式组表示的可行域是由A(1,3),B(3,1),C(5,2)组成的三角形及其内部部分.当z=x+my与x+y-4=0重合时满足题意,故m=1.
[答案] B
[解析] 由目标函数z=kx+y得y=-kx+z,结合图形,要使直线的截距z最大的一个最优解为(1,2),则0≤-k≤kAC≤1或0≥-k≥kBC=-1,∴k∈[-1,1].
[答案] B
[解析] 依题意可知a<1.作出可行域如图所示,z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.
由
得A(a,a),
由
得B(1,1),
∴zmax=3,zmin=3a.∴a=
.
[答案] B
[解析] 画出x,y满足条件的可行域如图所示,可知在直线y=2x-1与直线x+y=m的交点A处,目标函数z=x-y取得最小值.
由
,
解得
,
即点A的坐标为
.
将点A的坐标代入x-y=-1,得
-
=-1,即m=5.故选B.
[答案] 2
[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC,显然当直线2x+y=z经过可行域内的点A(1,0)时,z取最大值,zmax=2.
[答案] 116
[解析] 设租大船x只,小船y只,则5x+3y≥48,租金z=12x+8y,作出可行域如图,
∵-
<-
,∴当直线z=12x+8y经过点(9.6,0)时,z取最小值,但x,y∈N,
∴当x=9,y=1时,zmin=116.
[答案]
[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示,由图形易知,点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大,所以|MN|的最大值为
.
[答案]
[解析] ∵直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my-4=0相交于M、N两点,且M、N关于x+y=0对称,∴y=kx+1与x+y=0垂直,∴k=1,而圆心在直线x+y=0上,∴-
+
=0,∴m=-1,∴作出可行域如图所示,而
表示点P(a,b)与点(1,-1)连线的斜率,
∴kmax=
=-
,kmin=-1,
∴所求取值范围为
.
[答案] -
[解析] 根据题意,三角形的外接圆圆心在x轴上,
∴OA为外接圆的直径,
∴直线x=my+n与x-
y=0垂直,
∴
×
=-1,即m=-
.
[解析] 根据条件作出可行域如图所示,
解方程组
,得A(-2,2).
再作直线l:
x+2y=0,把直线l向上平移至过点A(-2,2)时,z取得最小值2,此时x=-2,y=2.
[解析]
(1)依题意得
,
解得
,
故甲产品为一等品的概率P甲=0.65,乙产品为一等品的概率P乙=0.4.
(2)依题意得x、y应满足的约束条件为
,且z=0.65x+0.4y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分),即可行域.
作直线b:
0.65x+0.4y=0即13x+8y=0,把直线l向上方平移到l1的位置时,直线经过可行域内的点M,且l1与原点的距离最大,此时z取最大值.
解方程组
,得x=2,y=3.
故M的坐标为(2,3),所以z的最大值为zmax=0.65×2+0.4×3=2.5
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