河北省定州中学届高中毕业班下学期期中考试数学试题Word版含答案.docx

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河北省定州中学届高中毕业班下学期期中考试数学试题Word版含答案

河北定州中学2017-2018学年第二学期高四数学期中考试试题

一、单选题

1．已知函数，若恰有两个不同的零点，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

2．已知定义域为的函数的导函数为，且满足，则下列正确的是（）

A.B.

C.D.

3．双曲线:

的左顶点为，右焦点为，过点作一条直线与双曲线的右支交于点，连接分别与直线：

交于点，则（）

A.B.C.D.

4．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）

A.2448B.2525C.2533D.2652

5．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）

A.B.C.D.

6．已知函数在上满足，当时，.若，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

7．记函数在区间内的零点个数为，则数列的前20项的和是（）

A.430B.840C.1250D.1660

8．定义域为的函数的图象的两个端点分别为，，是图象上任意一点，其中，向量.若不等式恒成立，则称函数在上为“函数”.若函数在上为“函数”，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

9．已知等差数列的前项和为，且，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（）

A.B.C.D.

10．定义域为的函数的图象的两个端点分别为，，是图象上任意一点，其中，向量.若不等式恒成立，则称函数在上为“函数”.已知函数在上为“函数”，则实数的最小值是（）

A.1B.2C.3D.4

11．已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥外接球的表面积是（）

A.B.C.D.

12．若直线和曲线的图象交于，，三点时，曲线在点、点处的切线总是平行的，则过点可作曲线的（）条切线.

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

13．数列中，为数列的前项和，且，则这个数列前项和公式__________．

14．数列中，，，设数列的前项和为，则_______.

15．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．

16．若对任意的，不等式恒成立，则__________．

三、解答题

17．已知函数，函数是区间上的减函数.

（1）求的最大值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）讨论关于的方程的根的个数.

18．已知动点到定点和到直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线，过点作垂直于轴的直线与曲线相交于两点，直线与曲线交于两点，与相交于一点（交点位于线段上，且与不重合）.

（1）求曲线的方程；

（2）当直线与圆相切时，四边形的面积是否有最大值？

若有，求出其最大值及对应的直线的方程；若没有，请说明理由.

19．已知函数，.

若恒成立，求的取值范围；

已知，是函数的两个零点，且，求证：

.

20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.

（1）求此抛物线的方程；

（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.

21．已知函数.

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

22．在平面直角坐标系中，已知椭圆：

的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线交椭圆于不同两点，.为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

参考答案

CACBCAABDD

11．B

12．C

13．

14．

15．

16．0或

17．

（1）；

（2）；（3）当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解.

（1）∵，∴，

又∵在上单调递减，∴在恒成立，

∴，∴故的最大值为-1；

（2）∵，

∴只需在上恒成立，

既，

令，

则需则，

又∵恒成立，∴；

（3）由于，令，

∵，∴当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减，∴，

又∵，

∴当，即时，方程无解；

当，即时，方程有一个解；

当，即时，方程有两个解.

18．

（1）；

（2）直线

（1）设点P（x，y），由题意可得，，得.

∴曲线E的方程是

（2）设，由条件可得.

当m＝0时，显然不合题意.

当m≠0时，∵直线l与圆x2＋y2＝1相切，∴，得.

联立消去y得,

则△，.

，

当且仅当，即时等号成立，

此时代入得.

经检验可知，直线和直线符合题意.

19．

（1）

（2）见解析

令，有，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，

若恒成立，则即.

方法一：

，，

，

即

，

欲证：

，只需证明，只需证明，

只需证明.

设，则只需证明，

即证：

.

设，，

在单调递减，，

，所以原不等式成立.

方法二：

由

（1）可知，若函数有两个零点，有，则，且，

要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，

只需证，

又，

即证

即证，.

令，，

有在上单调递增，，.

所以原不等式成立.

20．

（1）

（2）2

（1）设，将代入，得.

其中，.

所以，.由已知，.

所以抛物线的方程.

（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.

设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，

所以，

，

所以与的面积比为2.

21．

（1）；

（2）

（1），

∵在处取到极值，

∴，即，∴.

经检验，时，在处取到极小值.

（2），令，

①当时，，在上单调递减.

又∵，∴时，，不满足在上恒成立.

②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.

a.当，即时，在上恒成立，

∴，从而在上单调递增.

又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.

b.当，即时，存在，使时，，单调递减；

时，，单调递增，∴.

又∵，∴，故不满足题意.

③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，

，∴，在上单调递减.

又∵，∴时，，故不满足题意.

综上所述，.

22．

（1）；

（2）

（1）∵，∴.

又∵，∴，∴，∴椭圆的方程是.

（2）设，，，的方程为，

由，整理得.

由，得.

∵，，

∴，

则，.

由点在椭圆上，得，化简得.①

又由，即，

将，代入得，

化简，得，则，，∴.②

由①，得，联立②，解得.

∴或，即.