高中指数函数知识点文档7篇.docx
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高中指数函数知识点文档7篇
高中指数函数知识点(文档7篇)
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第一篇
指数函数知识点总结
一.根式
1.n次方根
如果x=a,那么x叫做a的n次方根(n>1,n∈N)
则(1)
n
*
=a
n
⎧⎪a,n为奇数
⎨,
a,n为偶数⎪⎩
二分数指数幂
1.a(a>0,m,n∈N且n>1)2.a
m
n
*
-
mn
=
1a
mn
(a>0,m,n∈N且n>1)
*
3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义4.指数幂的运算性质
(1)aa=a
rsr
s
r+s
(a>0,r,s∈Q)
(2)(a)=a(a>0,r,s∈Q)
rr
(3)(ab)=ab(a>0,b>0,r∈Q)
r
rs
三无理数指数幂
无理数指数幂的结果是一个确定的实数,有理数的运算性质也适用无理数指数幂四指数函数及其性质
1.指数函数:
函数y=a(a>0且a≠1)其中x是自变量,函数的定义域是R
2.指数函数的图象与性质
x
3.比较大小的方法
(1)同底数时直接利用指数函数的单调性(2)同指数时利用作商法
(3)既不同底也不同指时构造第三个量1(4)形如a与b一般构造a或b(5)利用图象五跟踪练习1.求值
b
a
a
b
2.比较大小
(1)2
0.8
0.7
(2)0.7
-0.3
-0.1
0.2
3
(3)1.23.方程3
-0.2
1.2(4)0.890.89
2
1
的解是9
1-3134-3
4.-(-2)+(-2)+(-)-(-)=
22
x-1
=
5.当x∈[-1,1]时,函数f(x)=3x-2的值域为6.已知函数y=2
(1)作出其图象;
(2)由图象指出单调区间;
(3)由图象指出当x取何值时函数有最小值,最小值为多少?
x
7.解不等式a
8.已知x+x=5,求值(1)x+x(2)x+x
12
-12
2
-2-1
3x-7
>a5x-1(a>0且a1)
第二篇
(一)整数指数幂
n*
1.整数指数幂概念:
a=a(n∈N)a=1(a≠0)⋅a⋅⋅a
n个a
a-n=
1*
a≠0,n∈N()n
a
m
n
m+n
mn
2.整数指数幂的运算性质:
(1)a⋅a=a
(m,n∈Z)
(2)(a)
nnn
(3)(ab)=a⋅b(n∈Z)
n
=amn(m,n∈Z)
其中a÷a=a⋅a
mnm-n
an⎛a⎫-1nn-nm-n
=a,⎪=(a⋅b)=a⋅b=n.
b⎝b⎭
3.a的n次方根的概念即:
若x
n
一般地,如果一个数的n次方等于an>1,n∈N
),那么这个数叫做a的n次方根,
=a,则x叫做a的n次方根,(n>1,n∈N)
*
*
(
例如:
27的3次方根27=3,-27的3次方根-27=-3,
32的5次方根=2,-32的5次方根-32=-2.
说明:
①若n是奇数,则a的n次方根记作a;若a>0则a>0,若a②若n是偶数,且a>0则a的正的n次方根记作a,a的负的n次方根,记作:
-a;(例如:
8的平方根±=±2216的4次方根±=±2)
③若n是偶数,且a1,n∈N
n
(
*
)
=0;
⑤式子a叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。
∴
n
=a.
.
4.a的n次方根的性质
一般地,若n是奇数,则a
n
=a;
若n是偶数,则a=a=⎨
n
⎧a⎩-a
a≥0a.
(二)分数指数幂
1.分数指数幂:
=a=a
2
105
(a>0)
=a=a
4
123
(a>0)
即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;
k
如果幂的运算性质
(2)a
()
3
n
=akn对分数指数幂也适用,
4
2255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫25例如:
若a>0,则a3⎪=a3=a,a4⎪=a4=a,
=a3
⎝⎭⎝⎭
=a.
4
5
即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定:
(1
)正数的正分数指数幂的意义是a(2
)正数的负分数指数幂的意义是a
m
nm-n
=a>0,m,n∈N*,n>1);
=1a
mn
=
a>0,m,n∈N
*
n>1).
2.分数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)(3)(ab)
r
∈)Q
(2)(ar)=ars(a>0,r,s
s
=arbr(a>0b,>0r,∈Q)
说明:
(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。
二、指数函数
1.指数函数定义:
一般地,函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R.
x
2.指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质:
x
第三篇
本节知识点
1、
(一般的,如果x=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.)n
⎧⎪正数的n次方根是正数◆
当n是奇数时,⎨⎪⎩负数的n次方根是负数=5=-5
⎧⎪正数的n次方根有2个,且互为相反数如:
a>0,则n次方根为±当n是偶数时,⎨◆
⎪⎩负数没有偶次方根
◆0的任何次方根都是0
2
◆
当n=a
⎧a,a≥0◆
当n=a=⎨-a,a≤0⎩3、分数指数幂
m⎧*n⎪正分数指数幂的意义a=a>0,m,n∈N,且n>1)⎪m◆
当a为正数时,⎨-1*n⎪负分数指数幂的意义a=m(a>0,m,n∈N,且n>1)⎪an⎩
◆当a为0时,⎨⎧0的正分数指数幂等于0
⎩0的负分数指数幂无意义
4、有理指数幂运算性质
①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)
rsrs(a)=a(a>0,r,s∈Q)②
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)
5、指数函数的概念
6、指数函数x
在底数a>1及0
7、比较指数或指数幂的大小
(1)30.8,30.7
(2)1.70.8,0.92.3(3)aman(a>1)
x8、指出函数y=2与y=()图象间的关系(动手画图,猜想概括)1
2x
9、方法总结
第四篇
指数函数
(一)整数指数幂
1.整数指数幂概念:
a=a⋅a⋅⋅a(n∈N*)a0=1(a≠0)
n
n个a
a
-n
=
1
a≠0,n∈N*)n(a
2.整数指数幂的运算性质:
(1)am⋅an=am+n(m,n∈Z)
(2)a
nn
(3)(ab)=a⋅b(n∈Z)
n
()
mn
=amn(m,n∈Z)
其中a÷a=a⋅a
mnm-n
=a
m-n
an⎛a⎫-1nn-n
,⎪=(a⋅b)=a⋅b=n.
b⎝b⎭
n
3.a的n次方根的概念
n
一般地,如果一个数的n次方等于an>1,n∈N*,那么这个数叫做a的n次方根,即:
若x=a,则x叫做a的n次方根,n>1,n∈N*例如:
27的3次方根27=3,-27的3次方根-27=-3,
32的5次方根=2,-32的5次方根-32=-2.
说明:
①若n是奇数,则a的n次方根记作a;若a>0则a>0,若a②若n是偶数,且a>0则a的正的n次方根记作a,a的负的n次方根,记作:
(例如:
8的平方根±=±2216的4次方根±=±2)-a;
③若n是偶数,且an*
④0=0n>1,n∈N
=0;
(
(
)
)
()
⑤式子a叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。
∴
n
=a.
.
4.a的n次方根的性质
一般地,若n是奇数,则an=a;
⎧a
若n是偶数,则a=a=⎨
⎩-a
n
a≥0
.a
(二)分数指数幂
1.分数指数幂:
=a=a
2
105
(a>0)
=a=a
4
123
(a>0)
即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;如果幂的运算性质
(2)a
3
()
kn
=akn对分数指数幂也适用,
4
2255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫25例如:
若a>0,则a3⎪=a3=a,a4⎪=a4=a,
=a3
⎝⎭⎝⎭
=a.
4
5
即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定:
(1
)正数的正分数指数幂的意义是a=a>0,m,n∈N*,n>1;(2
)正数的负分数指数幂的意义是a
m
-n
mn
)
=
1a
mn
=
a>0,m,n∈N
*
n>1).
2.分数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)
(2)a
()
rsr
=ars∈)Q(a>0,r,s
rr
>0r,∈Q)(3)(ab)=ab(a>0b
说明:
(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。
二、指数函数
1.指数函数定义:
一般地,函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R.
2.指数函数x
在底数a>1及01.1实数指数幂及其运算
(一)
(一)选择题
1.下列正确的是()A.a0=1
B.a
-2
=
1-a
2C.101
=0.12.4
的值为()A.±2
B.2C.-22
3.(125-3
27
)的值为()
A.
25259
B.
925
C.-
9
4.化简a2
⋅
3
a
5
⋅a-
5⋅52a
6
的结果是()
2A.a
B.a3
C.a2
(二)填空题
5.把下列根式化成分数指数幂的形式(其中a,b>0)3
(1)1a2
=______;
(2)b
a
2=______;6.(b324b3b23
2)÷(--7)⨯(-)=______.
3
9
37.化简m2
m-
2
=______.
1
8.(0.25)
-0.5
+
(1)-
3-6250.2527
=______(三)解答题19.计算2a4
b-112
3
÷(-1-4-3
4
ab)
10.计算23⨯3
.5⨯6
D.a2
=a
D.4
D.-
925
D.a3
1.2实数指数幂及其运算
(二)
(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
*
1.下列说法正确的是(n∈N)()A.正数的n次方根是正数B.负数的n次方根是负数C.0的n次方根是02.函数y=A.R3.(xxA.x
-1
3
D.a是无理数
的定义域为()
C.(0,+∞)
D.(-∞,1]
n
x2+
1x
3
B.[0,+∞)
13
-23
)可以简化为()
B.x
25
-
85
C.x
415
D.x
4-15
4.化简
xxxxxx
2-3
23
18
--233
的结果是()
A.x
(二)填空题
4
3
B.x2C.x3D.x4
5.8=________,100
23
23
-
12
1
=________()-3=________252=________.
4
3
11-
6.125+()-2-()3=________.
227
7.计算(325-)÷425=________.8.若a+a1=3,则a2+a2=______.
(三)解答题
-
-
1
10.若a
2x
a3x+a-3x
=2-1,求x-x的值.
1.3指数函数
(一)
(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
1.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成八个……每天分裂一次.现在将一个该细胞放入一个容器,发现经过10天就可充满整个容器,则当细胞分裂到充满容器一半时需要的天数是()
A.5B.9C.6D.82.下列函数中为指数函数的是()
-
A.y=23xB.y=-3xC.y=3xD.y=1x3.若0.2m=3,则()A.m>0B.m<0C.m=0D.以上答案都不对4.函数f(x)=ax+1(其中a>0且a≠1)的图象一定经过点()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)
(二)填空题
5.若函数f(x)是指数函数且f(3)=8,则f(x)=______.
6.函数y=-2x的定义域为______,值域为______.
x
7.函数y=2x-1的图象一定不经过第______象限;若函数y=()+b的图象不经过
12
第一象限,则实数b的取值范围是______.
8.若2m>4,则m的取值范围是______;若(0.1)t>1,则t的取值范围是______.9.指数函数y=(a2-1)x在R上是减函数,则实数a的取值范围是______.(三)解答题
10.根据函数f(x)=2x的图象,画出下列函数的草图.
||
(1)y=-2x
(2)y=-2x+1(3)y=2x
1
11.求函数y=2x
+1
的定义域和值域.
12.已知a>0且a≠1,函数f1(x)=a值范围.
x2-3x+1
,f2(x)=a
x2+2x-5
,若f1(x)<f2(x),求x的取
1.4指数函数
(二)
(一)选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)
x
1.若()>27,则x的取值范围是()
13
A.(-∞,-3]B.(-∞,-3)C.[-3,+∞)D.R
---
2.已知三个数M=0.320.32,P=0.323.2,Q=3.20.32,则它们的大小顺序是()A.M<P<QB.Q<M<PC.P<Q<MD.P<M<Q
3.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与0和1的大小关系是(
)
A.0<a<b<1<c<dC.1<a<b<c<d
-
4.函数y=2x-2x()A.在R上减函数B.在R上是增函数
C.在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数D.无法判断其单调性
(二)填空题
+
5.函数y=3x1-2的图象是由函数y=3x的图象沿x轴向______平移______个单位,再沿y轴向______平移______个单位得到的.
6.函数f(x)=3x+5的值域是______.
-
7.函数y=ax1+1(其中a>0且a≠1)的图象必经过点______.
8.若指数函数y=ax在区间[0,1]上的最大值和最小值的差为9.函数g(x)=x2-x的单调增区间是______,函数y=2
x2-x
B.0<b<a<1<d<cD.0<a<b<1<d<c
1
,则底数a=______.2
的单调增区间是______.
(三)解答题
10.函数f(x)是R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=2x-1,求x<0时函数的解析式.
11.若关于x的方程|2x-1|=a有两个解,借助图象求a的取值范围.
+
12.已知函数f(x)=22x-2x1-3,其中x∈[0,1],求f(x)的值域.
第五篇
指数函数知识总结
(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念:
一般地,如果x=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N.
*
n
①负数没有偶次方根;②0的任何次方根都是0,记作0=0。
③当n当nan=|a|=⎨an=a,
⎧a(a≥0)
⎩-a(a2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
(1)a=am(a>0,m,n∈N*,n>1)
(2)a
-mn
mn
=
1a
mn
=
1
am
(a>0,m,n∈N*,n>1)
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)aa=a
r
rr+s
(a>0,r,s∈R);
rsrs
(a)=a
(2)(a>0,r,s∈R);rrs
(ab)=aa(3)
(a>0,r,s∈R).
题型一、计算
等于()1.A、a
16
44
B、a
8
C、a
4
D、a
2
34
2.⑴(-2)=⑵(-2)=
622
⑶(3-π)=⑷x+2xy+y=
3.①5-26+5+26②2++2-
4.计算(1+
5.计算(0.0081)
-14
122048
)(1+
121024
)…(1+
111
)(1+)(1+).
22422
70-13---0.25
-[3×()][81+(3)3]2.
88
11
题型二、化简
1.
aa
-
23
12
⎛a-1b-1÷
ba∙b⎝
2⎫a⎪2.(a>0).
⎪2a∙a⎭
-
2
3
a2
3.化简:
bb3a
a
(a>0,b>0).b3
题型三、带附加条件的求值问题1.已知a+a
12
-12
=3,求下列各式的值:
⑴a+a
-1
⑵a+a
2-2
⑶
a-aa-a
12
32
-
32
1-2
2.已知2+2
12
1212
x
-x
x-x
=a(常数),求8+8的值。
3.已知x+y=12,xy=9,且x<y,求
x-yx+y
1
2
的值。
4.已知a、b是方程x-6x+4=0的两根,且a>b>0,求
2
a-ba+b
的值。
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:
。
2、指数函数的图象和性质
指数函数例题解析
题型一、求定义域与值域
【例1】求下列函数的定义域与值域:
(1)y=3
12-x
(2)y=2x+2-1
(3)y=3-3x-1
(1)y=2练习1:
2.函数y=
1
x-4
xx+1
;
(2)y=();(3)y=4+2+1;
23
|x|
1
的值域是()x
2-1
A、(-∞,1)B、(-∞,0)(0,+∞)C、(-1,+∞)D、(-∞,-1)(0,+∞)
题型二、多个指数函数底数的大小比较
【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]
A.a<b<1<c<dB.a<b<1<d<cC.b<a<1<d<cD.c<d<1<a<b练习:
指数函数①().
②
满足不等式
则它们的图象是
题型三、比较大小
例:
(1)1.7
2.5
与1.7
(2)0.8-0.1
3
与0.8
-0.2
(3)1.7
题型四、定点问题
0.3
与0.9
3.1
(4)
3.5
2.1
和
2.7
2.0
例函数y=ax-2+1过定点。
题型五、对指数函数性质的考查
1.函数f(x)=a-1在R上是减函数,则a的取值范围是()A、a>1B、a、a(
2
)
x
、12.函数f(x)=()
2
3.已知函数y=⎪
-x2+x+2
的减区间是。
⎛1⎫⎝3⎭
x2+2x+5
,求其单调区间及值域。
2x-1
4.函数y=x是()
2+1
A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数
【巩固练习】
1.函数y=⎪
2.已知05.已知x∈[-3,2],求f(x)=
2x-1
2
⎛1⎫⎝3⎭
-2x2-8x+1
(-3≤x≤1)的值域是。
x
)=x-2,则f(125)=11
-+1的最小值与最大值。
4x2x
a⋅2x+a-2
(x∈R),试确定a的值,使f(x)为奇函数。
6.设a∈R,f(x)=
2x+1
7.函数f(x)=3+ax在[1,2]上的最大值与最小值的差是a/2,求a的值。
x
⎧a,x>1⎪
8.函数f(x)=⎨是定义在R上的增函数,则a的取值范围a
(4-)x+2,x≤1⎪2⎩
(4,8),+∞)A.(1B.C.D.[4,8)(1,8)
21、若函数y=4x-32x+3的值域为[1,7],试确
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