概率论与数理统计统计课后习题答案总主编邹庭荣主编程述汉舒兴明.docx

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概率论与数理统计统计课后习题答案总主编邹庭荣主编程述汉舒兴明

第一章习题解答

1.解：

（1）Q={0,1,…，10}；

i

（2）Q={一|丨0,1,…，100n}，其中n为小班人数；

n

（3）Q={V,XV,XXV,xxxV,…},其中"表示击中，X表示未击中;

22

（4）Q={（x,y）|xy<1}o

2.解：

（1）事件ABC表示该生是三年级男生，但不是运动员；

（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式CB是正确的；

（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；

（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，A=B成立。

3.解：

（1）ABC

（2）ABC；（3）ABC；（4）（AB）C；（5）ABC；

（6）ABACBC;（7）ABC;（8）ABCABCABC

4.解：

因ABCAB,贝UP（ABC）

所以A、BC至少有一个发生的概率为

P（AUBUC）=P（A+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

=3X14-1/8+0

=5/8

5.解：

（1）P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9

P（AB）=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1

（2）因为P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）

又P（A）wP（AUB）,P（B）wP（AUB）,故最小值minP（AUB）=max（a,3）

6.解：

设A表示事件"最小号码为5”，B表示事件"最大号码为5”。

由题设可知样本点总数nC10,kAC；,kC：

o

所以PA

C；丄

Cw12

C30

1

20

7.解：

设A表示事件“甲、乙两人相邻”，

若n个人随机排成一列，则样本点总数为

n!

kAn1!

.2!

n1L2!

2

n!

i表示按逆

若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。

时针方向乙在甲的第

i个位置，i

1,2,...,n1。

则样本空间

°=1,2，…，n1

，事件A=

1,n1所以

2

PA

n1

&解：

设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中

取，因此A包含的基本事件数为9411

94，样本点总数为104。

故

9^

104

9.解：

设AB、C分别表示事件“恰有2件次品”、“全部为正品”、“至少有1件次品”。

由题设知样本点总数nCw,kAC；C；,kBC7,

P

A

kA

3,PBkB1,

而BC，所以

n

10n6

5

P

C

1P

B_

6

10

•解:

设A、

B、C、D分别表示事件

“5张牌为同一花色”、“3张同点数且另2张牌也同

点数”、“5张牌中有2个不同的对（没有3张同点）”、“4张牌同点数”。

5151312

样本点总数nC52，各事件包含的基本事件数为kAC4C13,kBC13C4C12C4

kC

222

C13C4C4C

1

44,

kD

141

C13C4C48故所求各事件的概率为:

P

A

kA

c4c；3p

5,P

BkB-

1312

C13C4C12C4

C1

n

C5

52

n

C52

P

C

kC

C13C：

C：

C

1

44,PD

kDc

1c4c1

13448

n

C5

C52

n

C52

11.

解：

PB

1PB

0.4,PAB

PA

PAB

0.70.50.2

（1）

PAAB

0.7

7

rMMD

PAB

0.7

0.40.2

9

（2）

P

AB|AB

PAB

0.2

2

PAB

0.9

9

0.5

（3）PA|ABPAB

PAB10.2

12.解：

令A=

一件为合格品｝

｛两件产品中有一件是废品｝,B=

D=｛两件产品中一件是合格品，另一件是废品｝

｛两件产品均为废品｝,C=

。

贝U

｛两件产品中有

cm

C1c1

mJmm

c2

Cm

P

ABg,PC

CM

C2c1

MmM

C2

Cm

©,PCd

C1C1

MmJm

C2

Cm

所求概率为:

（1）

B|A

PAB

（2）

D|C

2Mm1

PCD

PC

2m

P（A）=0.05

13.解：

P（B|A）=0.4

P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）

分别表示事件甲、乙、丙得病，

P（C|AB）=0.8则甲、

乙、丙均得病的概率为:

=0.016

由已知有：

14.解：

令Aj从甲团中任选两人

有i名中国旅游者

i

0,1,2

B=｛从乙团中随机选一人是中国人｝

，则:

PAi护

Cnm

PB|Ai

由全概率公式有:

2i

m

C2

i0nm

2cnc

15.解：

令A=

｛天下雨｝,

B=｛外出购物｝

则：

P（A）

=0.3,P（B|A）

=0.2,

P（B|A）

=0.9

（1）

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）

=0.69

（2）

P（A|B）=PAPB|A

PB

23

｛学生不知道答案｝,C=｛学生答对｝

P（A）=0.5P｛B｝=0.5P（C|A）=1P（C|B）由全概率公式：

P（C）=P（A）P（C|A）+P（B）

=0.5+0.50.25=0.62505所求概率为：

P（A|C）=0.8

0.625

16.解：

令

A=｛学生知道答案｝,B=

=0.25

P（C|B）

17.解：

令事件A第i次取到的零件是一等品

i1,2

Bi取到第i箱,i1,2则PB1PB20.5

（1）PA

PB,PA,|B,PB2PA|B2

0.5

10

50

0.5

0.4

30

（2）PA21A1

PA,A2PBiPA,A2|BiPB2PA,A2|B2

PA,0.4

0.5

29

5049

0.5

8仃

3029

0.4

0.4856

〔8•证明：

因PA|BPA|B则

PAB

PAB

PA

PAB

PB

PB

PB

经整理得：

PAB

PAPB

即事件A与B相互独立。

伯.解：

由已知有PABPAB，又A、B相互独立，所以A与B相互独立；A与

4

B相互独立。

则可从上式解得：

P（A）=P（B）日/2

20•解：

设A密码被译出”，

A=第i个人能译出密码”，i=,,2,3

则P（A,）fP（A2）£p（A3）+

534

P（A）P（A,

A2A3）

又A,A2,A3相互独立,

因此P（A）,P（A,A2A3）

=,P（A）P（A2）P（A3）

,,

r仆丄）U丄）0丄）0.6

534

2,•解：

设Ai第i次试验中A出现”，i,,2,3,4则此4个事件相互独立。

由题设有:

PA,a2a3A,PAa2a3a4

4

,PA0.59

解得P（A）=0.2

D表示敌机被击落。

22.解：

设A、B、C分别表示事件：

甲、乙、丙三门大炮命中敌机,

于是有D=ABCABCABCABC故敌机被击落的概率为:

PDPABCPABCPABCPABC

PAPBPCPAPBPCPAPBPCPAPBPC

0.70.80.90.70.80.10.70.20.90.30.80.9

=0.902

23•解：

设A、B、C分别表示事件：

甲、乙、丙三人钓到鱼，则

P（A）=0.4,P（B）=0.6,P（C）=0.9

（1）三人中恰有一人钓到鱼的概率为：

PABCABCABC

PABCPABCPABC

=0.4@4%.1+0.60.6&1+0.6（X40.9

=0.268

（2）三人中至少有一人钓到鱼的概率为：

PD|A1,PD|B

0,PD|CPD.由全概率公式得:

PA

B

C1PABC1

PAP

BPC

=1-0.6040.1

=0.976

24.解:

设

D=“甲最终获胜”，A=

第一、二

1回合甲取胜”；

B=第一

-、二回合乙取胜

c=第-

、

:

■回合甲、乙各取胜一次

”。

则：

PA2,P

B

2,PC2

PAPD|APBPD|BPCPD|C

2

所以P（D）=-

12

25.解：

由题设500个错字出现在每一页上的机会均为1/50，对给定的一页，500个错字是

否出现在上面，相当于做500次独立重复试验。

因此出现在给定的一页上的错字个数服从二项概率公式，所以所求概率为：

P=

500

k1k

C500501

k3

1500k

50

c5°0

50

49500k

50

0.9974

5个顾问向厂长贡献正确意见相当于做5次

26•解：

设A=“厂长作出正确决策”。

每个顾问向厂长贡献意见是相互独立的，因此重复试验，则所求概率为：

5

kk5k

P（A）=C50.60.40.3174

k3

附综合练习题解答

1.

0.3;3/7;0.6

2.

0.829;0.988

3.

0.2;0.2

4.

0

5.

2/3

6.

7/12

7.

1/4

&

2/3

9.

C3135'

C1066

一、填空题

7

10.3/64

二、选择题

1.C;2.D;3.D;4.D;5.B;6.B;7.B;8.C;9.C;10.D

三、1.

（1）假；

（2）假；（3）假；（4）真；（5）真

2.解：

设A=｛所取两球颜色相同｝

11

样本点总数为nC9C654，若A发生，意味着都取到黑球或白球，故A包含的基本事件数为k2C3C212，所以p（A）=2/9

3.解：

设A=“第三次才取得合格品”

7

120

Ai"第i次取得合格品",i1,2,3则Aa1a2a3

327PAPA2|APAs|AA2=

1098

4.

解：

从0,1，…，9中不放回地依次选取3个数，组成一个数码。

若0在首位，该

数码为两位数，否则为三位数，于是可组成的数有10X9X8=720个。

（1）设A=“此数个位为5”，kA9872,p（a）=1/10

（2）设B=“此数能被5整除”，kB298,p（B）=1/5

5.解：

设A=“系统可靠”，Ai元件i工作正常,i1,...,5，由全概率公式有:

PAPA3PA|AsPA3PAIA3

当第3号元件工作不正常时，系统变为如下:

12

22

pA|A3p2p

当第3号元件工作正常时，系统变为如下:

12

图

2

PA|A3P22P2

从而

PAP.P22P21

PP22P2

234

2P2P5P

2P5

6.解：

设A=“某人买到此书”，Ai=“能从第i个新华书店买到此书”，i1,2,3

由题设PA1

Pa2

PA3

1

2

11

~24

PAAP

A2A3

PA1A3

1

4

11

416

Pa1a2a3

111

44Z

1

64

故所求概率为：

PA

PA1

A2

A3訝

第二章习题解答

1.

设Fi（x）与F2（x）分别是随机变量

X与Y的分布函数，为使aFi（x）

bF2（x）是某个随机

变量的分布函数，则a,b的值可取为（A）.

3

b

2

2—

2

A.a

—

—

B.a

b

—

5

5

3

3

1

b

3

1

b

3

C.a

D.a

2

2

2

2

2.一批产品20个，其中有5个次品，从这批产品中随意抽取4个，求这4个产品中的次品数X的分布律•

解：

因为随机变量X=｛这4个产品中的次品数｝

X的所有可能的取值为:

0,1,2,3,4.

且P{X0}

C；0

91

323

0.2817；

X

0

1

2

3

4

P

0.2817

0.4696

0.2167

0.0310

0.0010

0的概率的两倍，写出X的分布律和

0-1分布，又知X取1的概率为它取

P{X

1}

P{X

2}

P{X

3}

P{X

4}

G；c5

455

C；0

969

g

70

C0

323

10

c20

323

C15C5

1

C0

969

的分布律为:

0.4696；

0.2167；

0.0310；

0.0010.

因此所求X

3.如果X服从分布函数•

解：

设P{x1}

p，则P{x

0}1p.

由已知，p2（1

p），所以p

0时，F（x）P{Xx}

X的分布律为:

x1时，F（x）P{X

x}P{X

1时，F（x）P{Xx}

P{X

0}

P{X1}1.

X

0

1

P

1/3

2/3

0；

0

X的分布函数为：

F（x）1/3

1

4.一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取

出不合格品数的概率分布•

解：

设X={在取出合格品以前，已取出不合格品数}.

则X的所有可能的取值为0,1,2,3.

7

30

P{x

P{x

P{x2}

P{x3}

3

2

7

9

8

3

2

1

10

9

8

7；

120

71

7120

所以X的概率分布为:

X

0

1

2

3

P

7/10

7/30

7/120

1/120

5.从一副扑克牌（52张）中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布解：

设X={其中黑桃张数}.

则X的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.

P{x

0}

C：

P{x

1}

GC

52

P{x

2}

G3C39~C^

C52

P{x

3}

C13C39

C5

C52

P{x

4}

C13C39

C52

P{x

5}

C1；c39

C5

C52

所以X的概率分布为:

2109

9520

0.2215;

27417

66640

0.4114;

27417

0.2743；

99960

16302

0.0815；

199920

429

0.0107；

39984

33

0.0005.

66640

X

0

1

2

3

4

5

P

0.2215

0.4114

0.2743

0.0815

0.0107

0.0005

6.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行

调整，求在两次调整之间生产的合格品数X的概率函数•

解：

由已知，X”G（p）

所以P（Xi）p（1p）1i0,1,2川||.

7.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿是相互独立的，且红、绿两种信号显示时间相同.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数.求X的概率分布.

解：

X的所有可能的取值为0,1,2,3.

口1

且P{X0}

P{X1}

P{X2}

P{X3}

1

1

1.

—

—

—;

2

2

4

1

1

1

1

—

—

—

—;

2

2

2

8

1

1

1

1

2

2

2

8；

所以X的概

X

0

1

2

3

P

1/2

1/4

1/8

1/8

8.一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%

的培训者不能完成培训任务•求：

（1）恰有6个人不能完成培训的概率；

（2）不多于4个的概率•

解：

设X={不能完成培训的人数}.则X什B（100,0.04）,

（1）P{X6}g6）00.0460.96940.1052；

4

kk100k

（2）P{X4}C10°0.040.960.629•

k0

9.一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一

批产品的概率•假设你是使用方，允许次品率不超过p0.05，你方的验收标准为从这批产

品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品.试求使用方风险是多少？

（假设这批产品实际次品率为0.06）.

解：

设X={100个产品中的次品数}，则X#B（100,0.06）,

所求概率为P{X3}C1O0（0.06）k（0.94）100k0.1430.

k3

10.甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博.约定若出现正面，

则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，贝y甲输10元，乙赢10元分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数

解：

设X甲={投掷一次后甲的赌本},X乙={投掷一次后乙的赌本}.

则X甲的取值为20,40,且

10}P{X乙30}

P{X甲20}P{X甲40}丄,P{X乙

2

所以X甲与X乙的分布律分别为:

20

40

X乙

10

30

1/2

1/2

P

1/2

1/2

0,

x

20

0,

x

10

1

FX（x）,

甲2

20

x40,FXz（x）

1

2,

10

x30

1,

x

40

1,

x

30

11.设离散型随机变量

X的概率分布为:

（1）PX

（2）PXk

a2k,k1,2,*I，分别求

（1）、

（2）中常数a的值.

解:

100

100

a2k

k1

1,

（1）因为P

k1

X

k

即

2（12100）

a

1,

所以

1

12

2（2100

1）

⑵

因为PX

k

a2k1,

k1

k

1

1

即a1，所以a1.

11

2

12.已知一电话交换台服从4的泊松分布，求：

（1）每分钟恰有8次传唤的概率；

（2）

每分钟传唤次数大于8次的概率.

解：

设X=｛每分钟接到的传唤次数｝，则X祐P（），查泊松分布表得

（1）P{X8}

P{X8}P{X9}

0.05110.02140.0297;

（2）P{X8}0.02136.

13.一口袋中有5个乒乓球，编号分别为小号码，写出X的概率分布.

解：

X的所有可能的取值为1,2,3.

1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最

P{x1}

10

P{x2}£

C5

3

10；

P{x3}

1

10

所以X的概率分布为:

14.已知每天去图书馆的人数服从参数为

（0）的泊松分布•若去图书馆的读者中每个

人借书的概率为p（0p1），且读者是否借书是相互独立的.求每天借书的人数X的概率

分布.

解：

设Y｛每天去图书馆的人数｝,则Y“p（），

i

P{Yi}汀e,i0,1,2,MM当{Yi}时，XRB（i,p），

P{Xk}P{Yi}Cikpk（1p）ik

ik

i

e

iki!

kk,

Cip（1

ik

p）

i

e

iki!

i!

k!

（i

^pk（1p）i

i

e

iki!

i!

k!

（ik）!

（1

p）

k!

k（i

ik

K1

ik

p）

kk

pek!

（i

p）i

k

p

e

k!

（1

p）

（p）k

e

k!

即X的概率分布为

P{X

k}

k

Eke卩

k!

0,1,2,卅.

15.设随机变量X的密度函数为f（x）

axb

0

0x1

其它

且

PX

1

PX

1

r、.、—.I

—

试求常数a和b

3

3

解

1

1

ab

P

X

3

（axb）dx

3

0

183

P

X

1

1

b）dx

4a

2b

1（ax

3

3

9

3

由